Отображение гауссово

Всякое лагранжево отображение локально эквивалентно градиентному (нормальному, гауссовому). Особенности градиентных (нормальных, гауссовых) отображений общего положения — те же, что у общих лагранжевых отображений. Простейшие из них классифицируются по группам отражений 4 , Е,., Е , Е [c.449]

Полученное отображение гиперповерхности на сферу той же размерности называется гауссовым отображением. [c.104]

Теорема. Множество критических значений гауссова отображения типичной гиперповерхности в пространстве размерности локально диффеоморфно каустике группы евклидовых отражений Л , или Эти особенности устойчивы гауссовы отображения близких гиперповерхностей локально эквивалентны указанным. [c.104]

Сосуществование особенностей. Типичные лагранжевы (особенности все реализуются в виде гауссовых отображений яли нормальных отображений в евклидовом пространстве. Од-аа ко это относится только к локальным особенностям в точке. В целом каустика лагранжева отображения может и не реализоваться как каустика системы лучей. [c.106]

Топологические проблемы, связанные с естественными стратификациями пространств функций и отображений, очень трудны. В этой главе мы представим несколько конкретных результатов (как вещественных, так и комплексных). Проблемы, касающиеся топологических свойств типичных гладких, лагранжевых, лежандровых или гауссовых отображений, далеки от разрешения даже в размерности 2. Теорема о [c.113]

Определим гауссовы коэффициенты второго порядка 1 , для сферического отображения поверхности Д. [c.408]

Таким образом, в общем случае гауссова кривизна на М должна заменяться якобианом J = (/ ш)/г отображения /. Тогда возникает проблема какие функции на М являются якобианами гладких отображений из М,т) в стандартную сферу Разумеется, интеграл от такой функции должен равняться объёму стандартной сферы. Образ множества J > О должен покрывать сферу. Но существуют ли другие ограничения Подобные проблемы возникают и для произвольных лагранжевых отображений [гауссово отображение — только частный случай таких отображений), и для гауссовых отображений иммерсированных или вложенных гиперповерхностей). [c.147]

Мго + 8гз1. Выбирая Го = —бг о, можно заставить наиболее удаленный луч пересечь гауссову плоскость точно на оси (рис. 65). Сравнивая рис. 63 и рис. 65, видим, что наиболее удаленный луч, выходящий из точки на оси, пересекает плоскость изображения в точке бг ь в то время как наиболее удаленный луч, начинающийся при —бг о, пересекает плоскость изображения на оптической оси. Лучи, выходящие из промежуточных точек, очевидно, пересекут где-нибудь аберрационный диск в плоскости изображения. Это можно интерпретировать как отображение аберрационного диска в плоскости объекта в аберрационный диск в плоскости изображения. [c.266]

Радиус диска хроматической аберрации отличается от радиального смещения непараксиального луча и смещения параксиального луча в гауссовой плоскости изображения. Таким образом, отображением точечного предмета будет не точка, а диск радиусом 1бГс,1 с центром в гауссовой точке изображения. Фигурой аберрации будет руг радиуса [бгс], пропорционального начальному наклону наиболее удаленного от центра луча и относительному энергетическому разбросу. [c.302]

Идеальную систему формирования изображения математически можно описать как отображение точек из плоскости предмета П , расположенной в пространстве предмета в точки плоскости Щ в пространстве изображения Ej. В присутствии аберраций для конечных длин волн и ограниченного зрачка одиночный точечный источник, расположенный в точке (л , образует распределение поля К(х, у Xq, Уо), называемое имп тьсным откликом который отличается от делу функции o( )(x — X, у — у), имеющей ненулевое значение в точке (х, у) гауссова изображения предмета. Это означает, что аберрации и дифракция нарушают взаимно-однозначное соответствие между и Ej. Если же с помощью высококачественных составных линз и уменьшения апертуры инструментального зрачка удается исключить аберрации, то импульсный отклик определяется лишь дифракционными эффектами в этом случае говорят, что оптическая система является дифракционно-ограниченной. [c.319]

Полезно провести еще одну модификацию. Гауссовы поперечные увеличения предмет—изображение (IJla) и входной—выходной зрачки (Xi/Я-о) можно определить из (4.4.14) и (4.4.10) или просто из тех соображений, что отображение сферической поверхностью является проекцией из центра соответствующей сферы. Тогда с учетом (4) получим [c.213]

Перегибы, исчезающие в морсовской особой точке. Пусть / (С", 0)- (С, 0)—росток фунюц ии с морсовсюой особенностью, [—его неособое малое шевеление (например, вида /-1-е). Рассмотрим гауссово (касательное) отображение многообразия У= /=0 , действующее из У в пространство всех аффинных гиперплоскостей в С". Особое множество 2 этого отображения пусто близи точки 0. Действительно, это множество соответствует точкам, в которых гессиан ограничения функции 7 на касательную плоскость к V имеет дефект 2. Но ранг гессиана полунепрерывен, а в исходной особой точке исходной функции / он ни для какой касательной гиперплоскости не меньше п—2. Итак, все особенности гауссова отображения поверхности V вблизи О — это морэновские особенности 5й. При этом в случае общего положения коразмерность осо- [c.233]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Гауссово отображение. Сопрставим каждой точке (трансверсально ориентированной, т. е. снабженной полем нормалей) гиперповерхности в евклидовом пространстве направление нормали (точку сферы на единицу меньшей размерности, чем объемлющее пространство). [c.104]

Пример. Гауссовы отображения типичных поверхностей трехмерного пространства имеют особенностями лишь складки (Лг) и сборки Уитнн (Лз). [c.104]

Гауссовы отображения, как и нормальные, можно рассматривать как лагранжевы. Соответствующее симплектиче-ское многообразие — это многообразие всех ориентированных прямых евклидова пространства. Оно естественно расслоено над сферой (прямой сопоставляем параллельный орт в нуле). Ориентированные нормали к гиперповерхности образуют в пространстве прямых лагранжево подмногообразие. Проектирование этого лагранжева многообразия иа сферу — искомое лагранжево отображение. Применение к этому отго15раженик> общей теории лагранжевых отображений дает формулированные результаты о гауссовых отображениях (типичные гиперповерхности определяют, как легко видеть, типичные гауссовы отображения). [c.104]

Предъявим препятствие к алгебр аичности функции Ук для четномерного К. Пусть Рс — множество аффинных гиперплоскостей в С Р очевидным образом отождествляется с подмножеством в Рс. Выберем в С линейную форму L, принимающую на R вещественные значения и такую, что ограничение L на многообразие дК — морсовская функция. (Та1кая форма L существует в силу леммы Сарда, примененной к гауссову отображению Пусть т и М — минимальное и максимальное значения L на дК- Пусть — петля в Рс, состоящая из комплексных гиперплоскостей, на каждой из которых значение функции L постоянно, а такие значения, соответствующие разным гиперплоскостям, пробегают в С путь, изображенный на рис. 105., Г [c.165]

А ехр (— I г р/4 для каждого 2 е С и, таким образом, заключить, что л 0. Подставляя 2 = О в полученный выше результат, находим, что А — ненулевой оператор проектирования. Следовательно, в Ж существует по крайней мере один нормированный вектор Ф, такой, что ЛФ = Ф. Так как по предположению 28зс (С) — неприводимое представление, вектор Ф циклический (см. лемму к теореме 7). Для этого вектора образуем отображение ф ) = (Ф, W г) Ф) = (Ф, АШ (г) ЛФ) = = (Ф, ЛФ) ехр —I 2 Р/4 == ехр —12 р/4 . Заметим, что в представлении Шредингера в пространстве 2" (К) для всех e2 (R) справедливо равенство (и (г) )( ) = ехр —/ ( — х)/2 Р( — л ). Вычисляя ф (г) = (Ф, (г) Ф) для вакуумного вектора Ф( ) = = Я" / ехр — 1 /2 , получаем ф (г) = ехр — 2 р/4 . На основании теоремы 7 мы заключаем, что всякое неприводимое представление канонических перестановочных соотношений в форме Вейля для системы с одной степенью свободы унитарно-эквивалентно представлению Шредингера. Если бы исходное представление не было неприводимым, то всякое подпространство гильбертова пространства Ж, натянутое на векторы (1 (г) Ф 2 е С , где Ф удовлетворяет соотношению ЛФ = Ф, было бы устойчиво относительно рассматриваемого представления и, следовательно, могло бы служить носителем для неприводимого представления, унитарно-эквивалентного представлению Шредингера. Рассматривая эту конструкцию для ортонормированного базиса Ф/ в подпространстве гильбертова пространства Ж, образованном всеми векторами, устойчивыми относительно действия оператора Л, мы получаем полное доказательство теоремы 6. Действительно, обобщение на случай л(<оо) степеней свободы тривиально, поскольку для получения его достаточно заменить меру ёц г) в начале доказательства теоремы гауссовой мерой = которая, кстати сказать, является [c.310]

Пример 2. Гауссово отображение типичной поверхности в евклидовом 3-пространстве имеет только складки (Л2) (в типичных точках параболической линии) и сборки (Лз) (в изолированных точках пара/-болической линии, в которых асимптотическое направление касается этой линии). Более подробно это изложено в [23]-[26]. [c.28]

Начнём с примера рассмотрим гауссово отображение коориентирован-ной поверхности в евклидовом 3-пространстве. Это лагранжево отображение отправляет точку поверхности в единичный нормальный век- [c.146]

Задача 7-Г. Квадратичное отображение Латтэ. Пусть Т — тор С/Ж[г], где Z[i] = Z (В iZ — рещетка гауссовых целых чисел, и Ь Т —> Т — линейное отображение Ь г) = (1 + г)г степени 1 + гр = = 2. (Ср. теорему 6.1 и задачу 6-а.) Пусть р Т —> С ассоциированное отображение Вейерштрасса такое, что р(—г) = р г), и Р = роЬор ассоциировано с квадратичным рациональным отображением. Покажите, что Р имеет критические орбиты [c.95]

Следовательно, коеффициенты первой основной квадратичной формы сферического отображения поверхности Д могут быть выражены через гауссовы коэффициенты ее нервьк двух основных квадратичньк форм [c.406]

Рассматривая свойства сферического отображения поверхности детали, следует обратить внимание на следующий интересный факт, относящийся к параллельным (эквидистантным) поверхностям (Koenderink, J.J., 1990, р.267, 269) если строить параллельные поверхности на все больщем и больщем расстоянии от исходной новерхности, то в пределе параллельная поверхность, удаленная от исходной на бесконечно больщое расстояние, становится сферой независимо от того, какую форму имеет исходная поверхность. Можно показать, что сферическое (гауссово) отображение поверхности является построенной в бесконечности поверхностью, параллельной исходной (в на-щем случае - к поверхности детали), если размеры параллельной поверхности пронормированы. [c.409]

Анализ относительного расположения гауссового отображения GMap Д) обрабатываемой поверхности Д детали и антипоидального сферического отображения ОМард (if) исходной инструментальной поверхности И позволяет сформулировать [c.421]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...