Отображение первого возвращения

Отображение Пуанкаре сопоставляет каждой точке ее последовательную итерацию Xn+i, принадлежащую той же фазовой траектории. Это отображение, вообще говоря, определено локально вблизи некоторого периодического решения, т. к. при действии фазового потока точка может сойти с секущей плоскости и более никогда на нее не вернуться. Тем не менее это отображение является очень полезным и иллюстрирует различные эффекты, связанные с возвращающимися траекториями. Оно обычно также называется отображением первого возвращения. [c.56]

Другой, более локальный, но и более полезный метод — конструкция отображения Пуанкаре (отображения первого возвращения). Выберем такую точку хеМ, что (а )7 0, и (тгг — 1)-мерное (коразмерности один) подмногообразие М, содержащее х и трансверсальное к векторному полю. Последнее свойство попросту означает, что для каждой точки уеМ вектор у) не является касательным к N. Если мы предположим, что х — периодическая точка потока, т. е. 1р °(х) = х для некоторого о >0> то каждая близлежащая орбита потока пересекает поверхность N в некоторый момент вре- [c.26]

Конструкция отображения первого возвращения играет очень важную роль в анализе перекладываний отрезков. Это происходит благодаря следующей лемме, которая показывает, что класс перекладываний отрезков замкнут относительно операции индуцирования (перехода к отображению первого возвращения) на подынтервалы, причем число интервалов при этом возрастает не более чем на два. [c.475]

Лемма 14.5.7. Пусть I — перекладывание п отрезков или дуг окружности,. Тогда для любого отрезка (или дуги) Д отображение первого возвращения /д определено и непрерывно всюду, кроме не более чем п-1-1 точек, и само по себе является перекладыванием к п- -2 отрезков. [c.475]

Найдите инъективное сохраняющее меру Лебега соответствие между н отображением первого возвращения (см. упражнение 4.1.4), индуцированное поворотом на некотором интервале / С S. [c.741]

Вообще говоря, асимптотическое поведение потоков на поверхностях характеризуется медленным ростом числа орбит, но они обладают менее равномерными типами возвращения и статистического поведения, чем обратимые одномерные отображения, изучаемые в гл. 11 и 12. Первое обстоятельство тесно связано с тем фактом, что и орбиты, и одномерные трансверсали к потоку локально делят поверхность второе же обязано своим появлением прежде всего более сложной, чем у окружности (и тора), топологии поверхностей рода выще единицы и, в меньщей степени, эффектам замены времени. Характерными проявлениями этого типа сложности, промежуточного между простым поведением нашей первой группы примеров ( 1.3-1.6) и диффеоморфизмами окружности с одной стороны и примерами с положительной топологической энтропией ( 1.7-1.9, 5.4, 9.6) с другой, являются теоремы о конечности числа нетривиальных замыканий орбит (теорема 14.6.3) и неатомарных эргодических инвариантных мер (теорема 14.7.6) для потоков на поверхностях рода больще единицы. Эти результаты параллельны единственности минимального множества (предложение 11.2.5) и строгой эргодичности (теорема 11.2.9) гомеоморфизмов окружности. [c.454]

Заметим, что в случае проективной плоскости поднятие д на ориентируемое двулистное накрытие также является периодической точкой, так что мы можем сразу считать, что многообразие М ориентируемо. Рассмотрим маленький трансверсальный отрезок 7, содержащий д. В силу непрерывности отображение возвращения на этот отрезок определено в некоторой окрестности точки д в 7. Выберем одностороннюю окрестность I точки д настолько малой, что первая точка пересечения с 7 не содержится в I, ИО бесконечно многие ее образы возвращаются в I. Параметризация этой окрестности параметром нз [О, 5) дает непрерывное отображение / по-лзгинтервала [О, 6) на полуинтервал [О, 8 ) с неподвижной точкой 0. Орбита точки р дает бесконечно больщое количество точек х 6 (О, 5), для которых х) < X, поэтому либо /(х) < X для всех х 6 [О, 5), либо полуинтервал [О, 6) содержит неподвижную точку у. Последний случай невозможен, так как тогда отрезок [О, у] будет инвариантен относительно / и, следовательно, найдется инвариантное относительно потока кольцо, которое отделяет орбиту точки д от орбиты р, так что д ш р). Но если /(г) < х, то все точки X 6 (О, 5) положительно и монотонно стремятся к 0. Так как времена возврата на / ограничены, это значит, что отрезки орбиты точки р между двумя последовательными возвратами сходятся к орбите д, так что ш р) совпадает с орбитой д. [c.456]

Применяя первое утверждение предложения 4.1.18 к сдвигу за единичное время, мы получаем, что множество рекуррентных точек плотно в М следовательно, его пересечение с любой трубчатой окрестностью 11 точки р 6 т плотно в и. Так как множество рекуррентных точек инвариантно относительно потока, множество Тд точек из т, которые возвращаются на т, плотно в т. Напомним, что множество То открыто и, следовательно, состоит из интервалов. Поэтому по предложению 14.1.4 положительная полуорбита любой концевой точки любой компоненты множества Тц должна быть входящей сепаратрисой одной из неподвижных точек. Таким образом, Тц состоит из конечного числа интервалов, и, так как это множество плотно в т, его дополнение конечно. Заметим, что на каждом интервале отображение возвращения инъективно, следовательно, монотонно, так что в концевых точках с)тцествуют односторонние пределы. [c.459]

Используя предложение 14.2.1, введем замкн ую трансверсаль г к потоку V . По предложению 14.2.2 получаем С-диффеоморфизм h — —> Т , который отображает т в стандартную горизонтальную окружность То = S X 0 = (s, 0) I S е K/Z (мы используем аддитивное представление). Покажем существование предела (14.7.1) для потока hotp о h . Так как каждая точка возвращается на т,, и время возврата ограничено, достаточно показать существование предела для точек из tq. Кроме того, по той же причине достаточно рассмотреть только последовательность моментов t (s) возвращения на Тц. Обозначим отображение возвращения на г через / и его поднятие на К х 0 через F. Заметим, что на универсальном накрывающем возврат на Тц соответствует изменению второй координаты на 1 или -1 без потери общности мы рассмотрим только первый случай. Тогда Ф < >(в,0) = (F"(s), п). Заметим, что t s)=t(s)- -t f s))- -... -bi(/ - (s)), где t s) —время возвращения на тц. Используем существование числа вращения для S, т. е. существование предела lim F" s)/n = r f), и строгую [c.486]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...