Отображение диссипативное

В заключение укажем, что отображение диссипативных свойств механических систем затрагивает целый ряд еще не разрешенных проблем, привлекающих внимание многих исследователей. [c.41]

Эти результаты говорят о фрактальности диссипативных структур, образующихся при пластической деформации. Можно считать, что прерывистость пластического течения является отображением общего свойства [c.125]

Такие отображения естественно возникают при изучении диссипативных систем и подробно описаны в 7.2. Мы покажем там, что с уменьшением М происходит целый каскад последовательных би- [c.234]

Более серьезная теоретическая проблема заключается в том, что при этом смазывается четкое различие между хаотическими и регулярными траекториями. Например, в случае двумерного гамильтонова отображения имеется конечное число состояний системы М = и после п М. итераций система обязательно вернется в одно из предыдущих состояний. В результате все траектории такой системы оказываются периодическими. Это остается справедливым и для диссипативных систем. В каком смысле можно считать движение такой системы случайным [c.308]

Хаотическому движению в диссипативных системах посвящено большое число работ. В частности, одномерные отображения рассматриваются, например, в работах [82, 122, 123, 296] ). Имеются также прекрасные обзоры [180, 194, 324, 340, 354, 368, 411 ]. Наше изложение ниже основано главным образом на работах [180, 324, 368]. [c.411]

В некоторых предельных случаях из обратимых отображений с ТУ > 2 можно получить одномерные необратимые отображения. Их поведение исследуется в 7.2. Для таких отображений связь растяжения фазового объема с расходимостью близких траекторий нарушена, и при а >0 возникает ограниченное хаотическое движение. Как будет показано, многие многомерные диссипативные системы приближенно можно свести к одномерным отображениям. [c.413]

Последовательность бифуркаций, которые описываются соотношениями (7.3.10), сходится при значениях В = В = Воо и С = С = Соо. Для диссипативного отображения 5 [с 1 и из (7.3.10а) следует, что Воо = 0. Поэтому все диссипативные отображения вблизи перехода ведут себя локально как одномерные [ср. [c.456]

В противоположность этому бифуркации двумерных гамильтоновых отображений устроены более сложно. Из-за сохранения фазовой площади В = В = Воо = I (если В = — 1, то можно взять квадрат отображения более подробно см. работу [182]). Поэтому бифуркации удвоения гамильтонова отображения сохраняют двумерный характер даже вблизи точки сгущения (численные данные см. в работе [36]). В результате, хотя масштабные факторы б и а, а также параметр С , и являются универсальными для всех двумерных гамильтоновых отображений, они имеют другие значения, чем для диссипативных отображений. Более того, для гамильтоновых отображений имеется еще один универсальный масштабный фактор 3, который вместе с а определяет преобразование фазовой плоскости при бифуркациях. Определение р с помощью обобщения описанного выше метода приводится в дополнении Б. [c.457]

Диссипативные отображения. Метод Мельникова люжно использовать и для изучения двумерных диссипативных отображений. Рассмотрим, например, обобщенное стандартное отображение (7.3.4) (с заменой и и и на / и 0) [c.464]

Для диссипативного отображения Улама (7.3.55) Я = (1—б) из [c.472]

Это близко к найденной численно величине ) — 1,2663 и отличается от значения для диссипативных отображений С о — 0,78. Предполагая, что Си сходится к С = но закону [c.497]

Численное значение б 8,72 для гамильтоновых отображений отличается от параметра диссипативных отображений б 4,66. [c.498]

Почему гомоклинические траектории порождают отображения типа подковы, станет ясно, если мы вспомним, что в случае диссипативной системы площади отображаются в меньшие площади. Но вблизи неустойчивого многообразия площади растягиваются. Так как общая площадь должна убывать, площадь должна сжиматься быстрее, чем она растягивается. В результате площадь вблизи гомоклинических точек складывается, как показано на рис. 5.18. [c.182]

Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, ког- [c.255]

Переход к стохастичности через бесконечную цепочку бифуркаций удвоения периодического движения является довольно типичным для диссипативных систем [18, 19]. Объясняется это тем, что многие диссипативные системы, в том числе и высокого порядка (с многомерным фазовым пространством), вблизи границы перехода описываются с достаточной степенью точности гладким не взаимно однозначным одномерным отображением (рис. 22.66). Природу этого явления мы обсудим в следующем параграфе. Здесь же приведем два примера, иллюстрирующие рассматриваемый путь перехода диссипативной системы к стохастическому поведению. [c.479]

Работа Э.Лоренца относилась к диссипативным системам. Для консервативных систем, связанных с одномерными точечными отображениями, явление хаоса подробно исследовал М.Фейгенбаум [77,125]. Современное понимание проблематики и свойств детерминированного хаоса изложено в работах[ 32, 42, 47, 58, 61, 79, 203 ]. Проблема хаоса столь многообразна, что нашла отражение не только в физике, но и в других областях естествознания (химии, биологии, медицине). Философские аспекты проблемы глубоко освещены в [60]. [c.157]

Таким образом, наряду с множествами Q, С/ и е необходимо задавать элементы множества F и взаимно-одиозначное отображение множеств и ж F. Для этого формируются массивы А ч В индексов ребер графа степени 1 и 2, соответствующие диссипативным и инерционным компонентам. Массив индексов ребер графа, соответствующих упругим компонентам, получается как дополнение суммы множеств у4 и до множества U. [c.18]

ЛИМ на А 2т пространств виртуальных термодинамических потоков Им и сил Рм. Элементы и е им и f е Рм образуют билинейную форму <и, >м, а Им и Рм - дуальную пару отделимых локальновыпуклых пространств. Функциональное отображение Ф и->Р задает диссипативный закон, если Ф-монотонный оператор, ОеФ (О) и выполнено неравенство [c.511]

Рассмотрим теперь двумерные отображения Хп- -1 = П(х7г, я)> где х=(х, у), и якобиан д хп и yn+i)ld xny уп) отличен от нуля (обратимость отображения) и по модулю меньше единицы (диссипативность). Примером может служить отображение [c.136]

Функциональные уравнения Фейгенбаума обобщаются и на случай N—1)-мерных отображений последования Пуанкаре Хп+1=П(Хп, ц) для Л -мерных диссипативных фазовых потоков если при некотором jii у них происходит бифуркация удвоения периода, то затем с ростом i происходит бесконечная последовательность таких бифуркаций, удовлетворяющая законам подобия с универсальными постоянными б и а и с некоторой точкой сгущения 1оо, в которой возникает стохастическое движение (вна- [c.137]

В диссипативных системах фазовый объем в среднем сжимается. Рассмотрим случай, когда множество точек пересечения поверхности траекториями оказывается почти одномерным и его можно нриближенно аппроксимировать линией. Отображение Пуанкаре становится одномерным преобразованием Хп+1 = /(ж ). Многие многомерные диссипативные системы можно свести к одномерным отображениям. [c.173]

Метод фундаментальной области, используемый в 2.1 для доказательства структурной устойчивости отображений отрезка с притягивающей и отталкивающей точками на концах, а также для описания модулей гладкого сопряжения. См. также упражнения 2.1.1, 2.1.3 (пункт второй), 2.3.3 и 2.3.4. Этот метод применим к некоторым системам с сильно диссипативным поведением, т. е. к системам, для которых большинство орбит не возвращаются и можно найти хорошие фундаментальные области действия. Метод имеет приложения и в многомерных ситуациях, например при доказательстве теоремы Хартмана — Гробмана 6.3.1 и в методе клина Стернберга, который мы используем в п. 6.6 г, чтобы получить новое доказательство теоремы 6.6.6. Однако этот метод не может использоваться для систем с нетривиальным возвращением (см. обсуждение в конце 3.3). [c.103]

Появление странных аттракторов в трехмерных потоках, таких, как модель Лоренца, указывает на один из возможных механизмов возникновения гидродинамической турбулентности. Это стимулировало исключительно точные экспериментальные измерения вблизи перехода от ламинарного к турбулентному течению в реальных жидкостях. Модель Лоренца была получена фактически из задачи о конвекции Рэлея—Бенара в подогреваелюм снизу слое жидкости с учетом только трех мод движения. Хаотическое движение в трехмерной модели Лоренца представляет возможную картину турбулентности и в некоторых реальных гидродинамических системах, которая оказывается проще, чем первоначальные представления Ландау [251 I. Динамика диссипативных систем рассматривается в гл. 7, включая одномерные и двумерные отображения, а также гидродинамические приложения. [c.20]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Хаотическое движение, как и в гамильтоновых системах, связано с экспоненциальной расходимостью близких траекторий, т. е. для хаотического движения >0. С другой стороны, фазовый объем должен сжиматься. Из эти двух фактов следует, что хаотическое движение для одно- и двумерных потоков невозможно ). Для двумерного случая N = 2) отображение Пуанкаре одномерное (и обратимое), поэтому из (7,1.11) следует, что Ло=ст1. Такое отображение не может быть одновременно и диссипативным (ЛоСО) и хаотическим (а >0). Поэтому наиболее простыми системами с хаотическим поведением являются трехмерные потоки или двумерные отображения. В последнем случае для хаотического движения должно быть сТ >>0 и + с зСО. [c.413]

Переход к хаотическому движению через бифуркации удвоения периода является, как мы увидим, характерным для широкого класса диссипативных систем как отображений, так и потоков. При этом зависимость бифуркаций от параметра и форма спектра оказываются универсальными вблизи перехода. Эти вопросы будут расслютрены в 7.2 и 7.3. [c.419]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

В случае гамильтоновой системы и канонических переменных х равновесное распределение Р (л ) = с, где постоянная с>0 на всей хаотической компоненте движения и с = О вне ее. Если хаотическая компонента заполняет почти все фазовое пространство, как, например, в стандартном отображении (3.1.22) при /С 1, то Р = 1/т, где т — объем произвольной области фазового пространства, по которой производится интегрирование в (7.3.47). Однако для диссипативных систем Р (л ) априори неизвестно и его нужно находить для каждого интересующего нас аттрактора ). Основной метод определения Р (х) состоит в итерировании (7.3.45) [c.466]

Использование уравнения ФПК- Хорошим начальным приближением инвариантного распределения может служить аналитическое решение уравнения ФПК. Такой метод наиболее удобен в случае малой скорости сжатия фазового объема ( -4- а 0), когда метод Бриджеса—Раулэндса неприменим. Этот случай южнo рассматривать как малое диссипативное возмущение гамильтоновых отображений, для которых + 02 = О- [c.468]

Например, если многозначный оператор А порождается диссипативным потенциалом ф (е) для вязконластической среды, то Б качестве отображения Л можно взять градиент диссипативного нотенциала [c.176]

Случай 2 О < с < 1. Этот Случай соответствует диссипативному отображению, когда энергия теряется при каждом соударении шарика и стола. Начните с К 1,2 и 0,1. Обратите внимание на то, что, хотя первые итерации выглядят хаотическими, как в случае 1, движение выходит на периодический режим. Чтобы получить фракталоподобный хаос, значения К необходимо повысить до 5,8—6,9. Странный аттрактор, еще более напоминающий фрактал, вы получите, полагая 0,3—0,4 и /Г 6,0. [c.283]

Затухание имеет решающее значение для описываемого эксперимента. Большинство металлов обладает низким затуханием, и отображение Пуанкаре свидетельствует скорее о гамильтоновом, или консервативном, чем о фрактальном, или диссипативном, хаосе. В нашем эксперименте для усиления затухания мы вводили специальный поглощающий слой. Проще всего это сделать, обклеив колеблющуюся балку липкой с двух сторон целлофановой лентой и покрыв ее сверху металлической лентой (толщиной 0,1 мм). Если такие покрытия нанести с двух сторон балки, то можно добиться существенного усиления затухания и получить очень красивые отображения Пуанкаре, иапомииающие по виду фракталы. [c.293]

В [29, с. 7-44] обсуждены проблемы, связанные с формированием автоструктур (не зависящих от начальных и граничных условий локализованных образований) в неравновесных диссипативных средах, и исследована динамика пространственных ансамблей таких структур. В частности, проведен анализ простой модели — одномерного ансамбля не взаимно связанных структур, представляющих собой цепочку, состоящую из элементов, динамика которых описывается одномерным отображением типа параболы. Напомним, что такое отображение описывает динамику самых различных физических систем, демонстрирующих при изменении параметра цепочку бифуркаций удвоения периода. Пусть параметры цепочки выбраны так, что в первом элементе реализуется режим регулярных колебаний периода Т. При некотором номере ] элемента режим одночастотных колебаний становится неустойчивым и возникает режим удвоенного периода, затем и он теряет устойчивость и т. д. вплоть до установления режима хаотических колебаний. Если каждый из элементов — автогенераторов — находился в режиме стохастических колебаний, то при движении вдоль цепочки наблюдается развитие хаоса — интенсивность колебаний увеличивается, а в спектре уменьшаются выбросы (спектр сглаживается ). В цепочке описанных автогенераторов ван-дер-полевского типа имел место пространственный переход к хаосу через квазипериодичность сначала наблюдался квазимонохроматический режим, сменявшийся затем режимом биений с большим числом гармоник при дальнейшем движении вниз по потоку этот режим переходил в слабо хаотический. Далее хаос развивался, интенсивность колебаний возрастала, но при достаточно больших j она уже не изменялась — устанавливался режим пространственно однородного хаоса. [c.527]

Глава 7 Нелинейные уравнения. Принцип подчинения , пожалуй, наиболее существенна для понимания возможности a юop-ганизации в различных системах (на принятом в книге уровне описания). Принцип подчинения, который иллюстрируется на многих примерах, описываемых как динамическими, так и стохастическими уравнениями, позволяет выделить при образовании (по мере изменения бифуркационного — управляющего — параметра) новых диссипативных структур величины, которые играют роль параметров порядка. Изложение начинается с очень простых примеров и завершается исследованием дискретных отображений со случайными источниками и стохастических дифференциальных уравнений. При этом переход от дискретного времени к непрерывному в стохастических уравнениях не является тривиальным. Надо про- [c.8]

С предельными линиями тока на поверхности, представляющими векторное поле, можно связать фазовый портрет вектора вязких напряжений. Если отображение одного фазового портрета на другой сохраняет траектории, то фазовые портреты имеют одну и ту же топологическую структуру. Топологические свойства не меняются при отображениях, которые сохраняют траектории. Под топологическими свойствами понимают число и тип особенностей, траектории, соединяющие особые точки. Топологические свойства образуют структуру. Фазовый портрет является структурно устойчивым, если при изменении некоторого параметра (например, числа Рейнольдса) топологическая картина не меняется. Если небольшие возмущения при изменении параметра стремятся к нулю при /- оо, то течение асимптотически устойчиво. Асимптотическая не-З стойчивость приводит к бифуркации топологической картины, нарушению симметрии, диссипативным структурам. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...