Вектор касательный к многообразию

Вектор касательный к многообразию 74, 75 [c.469]

Это показывает, что три вектора вектор силы, вектор касательной к траектории и вектор главной нормали компланарны (т. е. лежат в двумерном линейном многообразии). [c.15]

Коэф, / jj, (,г характеризуют отличие М. т. от евклидова и являются компонентами кривизны тензора. Помимо внутр. характеристик многообразия, М. т. задаёт скалярное произведение векторов — (5 , и т] == (т] , Ti ), касательных к многообразию в данной точке (lii) = скалярное произведение не [c.126]

Рассмотрим некоторую траекторию материальной системы — геодезическую линию многообразия / пусть — единичный вектор касательной к ней тогда в соответствии с (2) и (6) [c.717]

Определение. Сопоставим вектору касательному к симплектическому многообразию (М ", ш ) в точке ас, 1-форму а 1 на ТМж по формуле [c.177]

Пусть I — вектор, касательный к риманову многообразию М в точке X, V — векторное поле, заданное на Л/ в окрестности точки X. Ковариантная производная поля V по направлению вектора I определяется с помощью какой-либо кривой, выходящей из точки X со скоростью . [c.273]

Мы будем считать, что фазовое пространство является гладким многообразием размерности тп, и будем обычно обозначать его через М. Таким образом, эволюция системы определяется гладкой функцией Р х, 4) = (р (х), хеМ, teR, которая удовлетворяет групповому (композиционному) закону (р о(р = (р - и может быть, а может и не быть определенной для всех хи t. Рассмотрим сначала локальный аспект этой ситуации. Если зафиксировать а М и менять t, мы получим параметризованную гладкую кривую на М. Пусть (х) — вектор, касательный к этой кривой при t =0, г. е. в точке х. Точнее говоря, вектор (х) принадлежит касательному пространству Т М, которое является т-мерным линейным пространством, прикрепленным к М в точке X. Отображение х1- (х) определяет сечение касательного [c.24]

Поле скоростей (3) представляет трудно обозримое бесконечное многообразие векторов скорости, заполняющее часть пространства, занятую движущейся сплошной средой. Чтобы сделать это многообразие более обозримым, необходимо как-то упорядочить его рассмотрение. Для этой цели вводится представление о линиях тока в поле скоростей как о таких линиях, вдоль которых в данный момент времени векторы скорости направлены по касательным к ним в каждой точке. [c.32]

Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных в точках пространства, поступим так. В данный момент времени, если поле не стационарно, нли в любой, если поле стационарно, проведем через выбранную точку М (рис. 2) соответствующий ей вектор поля а, отложим вдоль положительного направления этого вектора малый отрезок МЛ1, затем в тот же момент времени, если поле не стационарно, проведем через точку /И соответствующий ей вектор а, точно так же отметим вектор а" в точке М", расположенной на направлении вектора а, и т. я. Если взять точки /И, М, М"... достаточно близкими друг к другу, то указанным путем можно прочертить в пространстве линию, обладающую тем свойством, что в каждой ее точке вектор поля направлен по касательной к ней. Такая линия называется векторной линией поля (вспомнить например, силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых направлен вектор напряжения поля). [c.42]

В случае голономных связей на языке геометрии гладких многообразий - касательное пространство к многообразию М, в точке г(0, а виртуальные векторы называются касательными векторами. [c.113]

Лемма 3. В каждый момент времени t множество векторов (/), удовлетворяющих условию (7), образует т-мерное подпространство Это подпространство называется касательным пространством Г ( ) к многообразию Mj в точке r t). [c.203]

В теории крыла конечного размаха (эта теория еще не является математически строгой) подъемная сила появляется при введении в поток так называемой вихревой пелены , которая представляет собой поверхность разрыва первого рода касательных к вихревой пелене компонент скорости, т. е. является тангенциальным разрывом она состоит из линий тока, различных на разных сторонах поверхности разрыва давления по обе стороны разрыва одинаковы. В отличие от случая плоского течения, в котором поле скорости и при циркуляционном обтекании непрерывно, вихревая пелена имеет четкий физический смысл как поверхность сильного разрыва вектора скорости ее положение в пространстве, зависящее также от строения множества точек прикрепления к обтекаемому телу, влияет на поле скорости. Иначе говоря, вихревая пелена, если она существует, в общем случае является свободной поверхностью — ориентируемым двумерным многообразием, определяемым линией прикрепления к телу и условиями dif/dn = О, + Т 2г] = О5 где квадратные скобки обозначают скачок, Ухт У2т — две компоненты тангенциальной скорости. [c.171]

Определение. Касательным вектором к многообразию М в точке ас называется класс эквивалентности кривых ф (t), q) (0) = ас. [c.75]

Определение. Дифференциальной Аг-формой со х в точке X многообразия М называется внешняя к-форма на касательном пространстве ТМ к М х, т. е. к-линейная кососимметричная функция от к векторов 1ц. . касательных к М в х. [c.154]

Пусть теперь Н — функция на симплектическом многообразии М . Тогда йН есть дифференциальная 1-форма на М, и ей. соответствует в каждой точке некоторый касательный к М вектор. Мы получаем таким образом на М векторное поле I йН. [c.177]

Итак, пусть I, т] из ТМ — касательные к риманову многообразию М в точке X векторы. Построим на М малый криволинейный параллелограмм Пе- (Стороны параллелограмма Пе получаются из векторов е , ет) касательного пространства при координатном отождествлении окрестности нуля в ТМ . с окрестностью точки X на М). Рассмотрим параллельное перенесение вдоль сторон параллелограмма Пе (обход начинаем с ). [c.272]

Определение. Касательный вектор к многообразию контактных элементов в фиксированной точке принадлежит контактной гиперплоскости, если его проекция на п-мерное много- [c.320]

Сама лемма А получается из этого утверждения в частном случае, когда X = — фазовое пространство свободной частицы в К , гиперповерхность У образована ортами (задается условием = 1, т. е. является поверхностью уровня гамильтониана свободной частицы), гиперповерхность Е образована всеми векторами, приложенными в точках изучаемой поверхности в К . В этом случае В есть многообразие всех ориентированных прямых евклидова пространства, а 2 — многообразие касательных ортов. Отображение 2 -> 5 сопоставляет касательному орту содержащую его касательную прямую. Многообразие С есть пространство (ко)касательного расслоения изучаемой поверхности. 2 С — вложение в это пространство пространства расслоения единичных сфер (в иных терминах вложение гиперповерхности уровня кинетической энергии, т. е. гамильтониана движения со связями). [c.440]

Пусть V — точка на римановом многообразии У, TVv — касательное пространство в точке V. Два неколлинеарных вектора ех и б2 пространства ТУу задают 2-плоскость. Исходящие из точки V геодезические и касательная к ним 2-плоскость порождают поверхность Е — риманово подмногообразие многообразия V. [c.63]

Это — внешняя 2-форма, определенная на парах касательных векторов к многообразию Р. Если [c.61]

Если условий, ограничивающих движение точки, два (/ (г, 0 = 0, (г, О = 0), то конфигурационное многообразие М= г г е у (г, О = 0, Л = 1, 2 . При фиксированном / множество Л/представляется линией в трехмерном пространстве, а касательное пространство е Е , = Л= 1,2 , если начала векторов % совпадают с концом вектора г, определяет касательную к линии М. [c.63]

Для образования зацеплений с точечным контактом абсолютное движение производящей поверхности в самом общем случае может быть любым. Относительное движение производящей поверхности по отношению к каждому из нарезаемых колес будет определяться различными мгновенными осями с различными значениями параметров винтового движения. Каждому движению производящей поверхности будет соответствовать новая линия зацепления в нарезанной зубчатой паре, которая может быть ориентирована в пространстве самым различным образом. Для того чтобы из всего многообразия вариантов выбрать такой, при котором линия зацепления занимает заданное положение (например, проходит через определенную — обычно среднюю—точку зацепления), бесконечное многообразие движений производящей поверхности ограничивается следующим условием векторы скоростей Vi,. и Угс в относительном движении производящей поверхности по отношению к каждому из нарезаемых колес в точке, через которую должна проходить линия зацепления, должны лежать в плоскости, касательной производящей поверхности при ее положении в этой точке. [c.88]

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности Л/ образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) 1 = ГЛ/. Векторное поле на № определяет сечение в Р. ГД/ . Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие Л/ , допускающее гладкое касательное поле без особенностей на Л/ , — тор Г . Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение только касательное Р, к Г есть прямое произведение. [c.284]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Касательное пространство. Пусть М — дифференцируемое многообразие и Касательным вектором к М в точке р называется отображение V, обладающее следующими свойствами [c.51]

Натуральная механическая система — это тройка М,Т,У), где N—гладкое многообразие (пространство положений), Т — риманова метрика на N (кинетическая энергия), V — гладкая функция на N (потенциал силового поля). Движения такой системы — гладкие отображения К —> Л , являющиеся экстремалями функционала действия Ь[д 1),д 1)) <И, где д 1) — касательный вектор к в точке д[1), Ь — Т — V — функция Лагранжа. Изменение со временем локальных координат д на. N описывается уравнением [c.23]

Зафиксируем произвольно мгновение t. Набор векторов 6 = = 6i,. .., блг является касательным к многообразию положений Wli в точке reR3 , когда [c.212]

Определение. Канонической 1-формой на пространстве-симплектизации контактного многообразия называется дифференциальная 1-форма а, значение которой на каждом векторе касательном к пространству-симплектизации в некоторой точке р (рис. 237), равно значению на проекции вектора в касательную плоскость к контактному многообразию той 1-формы на этой касательной плоскости, которой является точка р [c.323]

Тем самым доказано, что каждый вектор, касательный к содержится в конусе из инвариантного семейства. Как было отмечено при доказательстве теоремы Адамара — Перрона, это означает, что при Т оо многообразия WJ. сходятся к мнoгooбpaзиJЮ W v), которое являете гладшм (п — 1)-мерным подмногообразием 3М. Так как проекция тг ЗМ М является гладкой, сферы В сходятся к гладкому подмногообразию В , называемому орисферой (что означает предельная сфера ). [c.554]

В. Касательное пространство. Если М — вложенное в JJ А-мерное многообразие, то в каждой точке х оно имеет /с-мерное касательное пространство ТМ .. А именно, ГМ есть ортогональное дополнение к grad Д,. . ., grad/ - г (рис. 62). Векторы касательного пространства ТМ с началом в х на.эываются касательными векторами к М в ж. Эти векторы можно определить и непосредственно, как векторы скорости кривых на М [c.74]

Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа Ь. Легко сообразить, что лагранжева обобщенная скорость д — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а обобщенный импульс р = дидд — кока-сательный. Позтому фазовое р, -пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия. [c.176]

Действительно, п векторов I йРх [ж попарно косоортогональны (Рх, Р]) = 0) и образуют базис в касательной плоскости к многообразию Щ в точке X. [c.240]

На приведенном фазовом пространстве Рр имеется естественная симплектическая структура. А именно, рассмотрим какие-либо два вектора , ц, касательных к Рр ь точке /. Точка / является одной из орбит группы Ср на многообразии Мр. Пусть х — одна из точек этой орбиты. Векторы и т), касательные к Рр, получаются из некоторых векторов т), касательных к Мр в точке X, при проекщ1и п Мр Рр. [c.342]

Представители и ц определены с точностью до прибавления вектора из касательной плоскости к орбите группы Ср. Но эта касательная плоскость есть пересечение касательных плоскостей к орбите Сж и к многообразию Мр (по последней теореме пункта А). Следовательно добавление к % вектора из Т (Срх) не меняет кососкалярных произведений со всеми векторами ц из Т (Мр) (так как по лемме Т (Срх) косоортогонально Т (Мр)). Итак, независимость от выбора представителей т доказана. [c.343]

Пример 1.4. Геодезические потоки. Пусть М = Т У — унитарное касательное расслоение над компактным римановым многообразием V, Единичный вектор Г1Т4 , касательный к V в точке х однозначно определяет геозедическую 7, имеющую в точке х касательный вектор Обозначим через 7( , з) точку, полученную движением из х за время л по этой геодезической со скоростью 1, и через [c.12]

Будем обозначать через Б и) орисферу, исходящую из начальной точки и Е ТхУ и которая ортогональна положительным асимптотам 7(гл, ). Каждую орисферу можно интерпретировать как (п—1)-мер-ное подмногобразие в Т1У — объединение нормальных к Т1У единичных векторов, ориентированных в сторону > 0. Если и Е Т1У, то плоскость, касательная к орисфере 8 и) и содержащая гл, есть (п — 1)-плос-кость и многообразия Т(Т1У ). [c.65]

Пусть (М, N, рг, S, G)—расслоение с пространством расслоения М, базой jV, проекцией рг M- -N (ранг дифференциала рг, во всех точках М равен dimA ), слоем S и структурной группой G. Группа G свободно и транзнтивно действует слева на слое 5. Это действие можно продолжить до левого действия G на М при этом все орбиты G будут диффеоморфны 5. В случае главного расслоения многообразие 5 диффеоморфно пространству группы G. Базу N можно рассматривать как фактор-пространство многообразия М по отношению эквивалентности, заданному действием группы G. Векторы Vx, X( S, касательные к орбитам группы G, вертикальны pr (i ) =0. [c.100]

Приведенные при исследовании предыдущего примера формулы для изменения кривизны гладкой кривой в М под действием динамической системы позволяют сразу написать дифференциальное уравнение для векторных полей, задающих искомые локальные многообразия. Пусть 0< 1< 2< — моменты последовательных отражений траектории точки хбМ от края дМ, t n- oo при п- оо Т1г== г— 0=0 qiGдQ.— точки, в которых происходят соответствующие отражения от границы дQ , и v i —скорости непосредственно перед и после -го отражения со5фг=—( г , Кг — Оператор второй квадратичной формы границы дQ в точке qi — изометрический оператор, отображающий гиперплоскость Аг в (содержащую точку qi и перпендикулярную вектору Дг ) параллельно векто-ру n qц) на гиперплоскость (содержащую точку и перпендикулярную 1),,+) 1 4 — оператор, отображающий Ач параллельно V- на гиперплоскость касательную к границе дQ в точке q,i, а У, — сопряженный к нему оператор. Рассмотрим. [c.181]

Если массы выбраны некритическими, так что и (61) являются многообразиями (предложение 1), то мы можем говорить о касательном отображении к 9 %) и искать его критические точки, т. е. точки, в которых касательное отображение не сюръективно. Касательный вектор к 9 О2) может быть представлен касательным вектором X к 62), подчиненным условиям йЗ Х) == О, где 8/ = р , ш1 . Вычислим кег 9 (и) —ядро касательного отображения оно состоит из векторов X, компоненты которых вдоль внешних линий обращаются в нуль. Тогда уравнения dsj (X) = О тривиально удовлетворяются для [ и их нужно записать только для / е I, где они имеют вид [c.150]

Пусть на многообразии М задана гладкая кривая I — x t), проходящая через точку л ЛГ, т. е. удовлетворяющая условию т(0) = X. Вводя в окрестности точки X систему координат, получим описание кривой при помощи числовых ф-ций i — 1,. .., п. Такая кривая определяет в точке хкасательный вектор X, а. числа — dx (t)/dt t o являются компонентами этого вектора по отношению к данной системе координат. Разумеется, другая кривая, t x(i), проходящая через точку х и касающаяся первой кривой в этой точке (т. е. такая, что dx t)/dt t o = dx (i)/(ii .,o)i определяет тот же самый касат. вектор. Поэтому вектор X соответствует целому пучку касающихся друг друга кривых. Все касат. векторы в данной точке х g М образуют векторное пространство размерности п, называемое касательным пространство м и обозначаемое Касат. вектор является геом, объектом, т. е. он не зависит от системы координат его компоненты при переходе от одной координатной системы к другой преобразуются по закону [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...