Аппроксимации производных по пространственным переменным

Свойство консервативности не обязательно связано с повышением точности схемы. Например, неустойчивые решения консервативных уравнений сохраняют свойство консервативности. Более того, неконсервативный метод может быть в некотором смысле точнее консервативного. Например, для представления функций по значениям в узлах сетки можно было бы применять одномерные аппроксимации полиномами высокого порядка и при этом производные по пространственным переменным будут, вероятно, определяться с ошибкой более высокого порядка (см. Томас [1954]). Однако построенная таким образом схема может быть неконсервативной, а если критерий точности включает условие консервативности, то неконсервативная схема окажется менее точной. [c.56]

При развитии этого метода возникают некоторые новые и важные проблемы. К ним относятся 1) выбор конкретных дискретных направлений 2) аппроксимация интегралов по угловой переменной 3) аппроксимация производных от потока нейтронов по компонентам угла Й, появляющихся в уравнении переноса в криволинейных геометриях (см. разд. 5.3.1, 5.3.2). Эти проблемы рассмотрены в настоящей главе, но с самого начала можно констатировать, что не существует их единственных решений. Отсутствие единственности решения, однако, не является неожиданным, В Рд -приближении выбор энергетических групп и пространственной сетки также не однозначен, но должен основываться на физическом понимании задачи и опыте. Те же самые факторы определяют выбор направлений и других параметров в методе дискретных ординат. [c.168]

НОЙ катастрофе. Классическим историческим примером здесь является явная схема Ричардсона для параболического уравнения теплопроводности, в которой использовались конечно-разностные аппроксимации производных центральными разностями как по пространственным переменным, так и по времени. О Брайен с соавторами [1950] показал, что эта схема безусловно неустойчива ). [c.18]

В этом разделе мы сопоставим области влияния уравнений в частных производных и соответствующих конечно-разностных уравнений. Нашей целью будет показать, как при помощи конечных разностей против потока удается сохранить некоторое подобие правильного поведения характеристик дифференциальных уравнений. Отметим также, что в этом случае ошибки аппроксимации по пространственной переменной не столь сильно возрастают по сравнению со схемами с центральными разностями. [c.356]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке. [c.115]

Стационарное течение вырабатывается установлением по времени с помощью раснадной, монотонной, консервативной разностной схемы второго порядка по координатам и первого по времени. Эта схема является развитием известной схемы первого порядка [5]. Второй порядок аппроксимации по пространственным переменным достигается в ней применением процедуры реконструкции , основанной на принципе минимальных значений производных или приращений [6-9]. В задаче о распаде разрыва, важном элементе схемы, почти всюду использовалось идентичное для нормального и фиктивного газа акустическое приближение. Исключение - ситуации с попаданием границы ячейки в центрированную волну. Нри их возникновении, аналогично [c.251]

Конечно, по-прежнему было бы весьма желательно сохранить второй порядок точности анпроксимации, присущий схемам с центральными разностями по пространственным переменным, как это было в случае несжимаемой жидкости. Однако в случае сверхзвуковых течений для достижения свойства транспортивности приходится жертвовать немногим. Оценка точности аппроксимации центральными разностями, проведенная в разд. 3.1.1, основана на разложении функций, описывающих течение, в ряды Тейлора в предположении непрерывности этих функций и их производных. Однако в случае сверхзвуковых течений невязкого газа производные, входящие в уравнения, не обязательно будут непрерывными. Действительно, характеристики определяются как линии, ири переходе через которые производные могут претерпевать разрыв (Курант и Фридрихе [1948], Шапиро [1953]) ). Значит, разложения в ряды Тейлора здесь ие всегда пригодны, и в случае сверхзвуковых течений снижение точности анирокспмации не столь важно ). [c.358]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...