Теория вероятностей дисперсия

Из теории вероятностей известно, что дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин [c.96]

Алгебраическое суммирование составляющих погрешностей дает завышенные значения вероятной суммарной погрешности, поскольку в реальных условиях отдельные составляющие не всегда принимают предельные значения. Используя теоремы теории вероятностей о дисперсии суммы, можно записать [c.132]

Однако вычисление вероятности безотказной работы по формуле (4.15) в больщинстве случаев приводит к серьезным аналитическим трудностям. Если число элементов достаточно велико, можно воспользоваться известной в теории вероятности центральной предельной теоремой. В соответствии с этой теоремой сумма достаточно большого числа случайных слагаемых имеет приближенно нормальное распределение (для практических задач уже 10-12 слагаемых обычно бывает достаточно). Если известны среднее значение величин , равное Г, и ее дисперсия о , то сумма п таких случайных величин будет иметь среднее значение пТ и дисперсию по , т.е. искомая вероятность приближенно может быть записана как t [c.155]

Найдем теперь среднее значение и дисперсию суммарного времени простоя до выполнения задания. Воспользовавшись известным результатом из теории вероятностей о том, что математическое ожидание суммы случайного количества одинаково распределенных случайных величин равно произведению математических ожиданий [22], получим [c.120]

Число реализаций при решении задач методом СИ определяется требуемым уровнем точности получаемых результатов. Пусть цель моделирования - вычисление вероятности Р появления некоторого случайного события Е. Например, при исследовании точности механизмов практический интерес могут представлять вероятности выхода значений ошибок положения, скорости, ускорения ведомого звена за определенные пределы. В качестве оценки для искомой вероятности Р принимают частоту LjN наступления события Е при реализациях (ще L - число испытаний, при которых происходит событие Е). По центральной предельной теореме теории вероятностей частота L/N при достаточно больших значениях N имеет распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием М LjN = р и дисперсией [c.482]

Третий прием, упрош,ающий вычисления, заключается в переходе к асимптотическим оценкам при t оо. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей сумма большого числа случайных величин, имеюш,их средние значения и дисперсию а , асимптотически нормальна и имеет среднее значение tii и дисперсию па" , где л —число слагаемых. То есть для любого t [c.110]

Сравнение планов проведения экспериментов может быть также выполнено по полученным оценкам функции отклика поскольку параметр л функционально связан со случайной величиной а, можно вычислить соответствующие вероятностные характеристики величины 1. В частности, дисперсия вычисляется по следующей формуле теории вероятности [c.191]

На ос вании известных формул теории вероятностей среднее значение М и дисперсия 5м величины М могут быть найдены по приближенным формулам в предположении некоррелированности аргументов, от которых зависит М [c.188]

Первые четыре главы настоящего учебника посвящены изложению основных положений теории вероятности и случайных процессов. Рассматриваются случайные величины и случайные функции и их вероятностные характеристики функции распределения плотности вероятности, математические ожидания и дисперсии. Приводятся различные виды законов распределения, встречающихся в практических задачах. Рассмотрены нестационарные и стационарные случайные процессы, имеющие большое прикладное значение при анализе колебаний механических систем. Приведены основные результаты спектральной теории стационарных случайных функций и использования спектрального представления стационарных случайных функций при анализе установившихся колебаний. Изложена теория марковских процессов. [c.4]

При выводе расчетных зависимостей следует использовать теоремы теории вероятностей о среднем значении и дисперсии произведения случайных величин [8]. Сравнивая полученные зависимости, можно заметить, что дисперсия векторных погрешностей, являющихся функцией не двух, а трех случайных величин, отличается от дисперсии обычных векторных погрешностей наличием коэффициента 0,5 поэтому при суммировании векторных погрешностей в расчетную формулу перед обозначениями погрешности подобного вида следует вводить коэффициент 0,5. Следовательно, характеристики смещения осей наружных колец для опоры, состоящей из двух близко расположенных подшипников, [c.539]

Для более полной характеристики распределения случайных величин в теории вероятностей используется понятие дисперсия . Для выбираемого в системе СПУ закона распределения случайной величины при трех временных оценках [c.585]

Считая ЬР функцией случайных величин, получим (по теореме теории вероятности о дисперсии суммы) [c.30]

IT, поэтому погрешность должна рассчитываться по правилам теории вероятностей. Согласно теории вероятностей находим математическое ожидание и дисперсию Дз [c.140]

Рассмотрим величину как случайную, подчиняющуюся законам теории вероятности. Математическое ожидание МХ можно оценить по среднеарифметической величине 0 , а дисперсию ВХ — по эмпирической дисперсии [c.182]

Кроме того, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин Хг/л будет сколь угодно близким к нормальному. Тогда, заменяя дисперсию ее точечной оценкой [см. формулу (6.46)], можно для оценки доверительной границы погрешности результата воспользоваться равенством (6.53). Число наблюдений п, при котором это становится возможным, зависит, конечно, от распределения случайных погрешностей. [c.115]

Для дальнейшего существенного упрощения воспользуемся основной предельной теоремой теории вероятности, согласно которой сумма N одинаковых случайных величин при N—>00 является также случайной величиной, распределение которой представляется функцией Гаусса с дисперсией a V, где [c.106]

Среднее значение М(х) и дисперсия D(x) проекции вектора г определяются исходя из следующих теорем теории вероятностей [101]. [c.298]

Теоретическим обоснованием использования нормального распределения служит одна из центральных предельных теорем теории вероятностей. Согласно ей распределение среднего независимых случайных величин, распределенных по любому закону (или даже имеющих до N различных распределений с конечными математическими ожиданием и дисперсией), при неограниченном увеличении числа наблюдений в выборке приближается к нормальному. Хотя центральная предельная теорема связана с большими выборками, распределение выборочного среднего стремится к нормальному даже при относительно небольших значениях п, если значения дисперсии какого-либо элемента или небольшой группы элементов не является преобладающим и распределение элементов выборки не слишком отклоняется от нормального. На примере гамма-распределения, рассмотренного в начале этого раздела, было показано, что уже 12 независимо действующих факторов приводят к распределению, практически не отличающемуся от нормального. [c.419]

Концепция погрешности измерений и ее классификация на случайные и систематические составляющие, разработанная к 1975 г. [40 и др.] применительно, в основном, для технических измерений (средств измерений), основана на том, что погрешность измерений представляет собой случайную величину или случайный процесс что так называемая систематическая погрешность (после исключения известной ее части, если это возможно и целесообразно) представляет собой специфическую случайную величину, названную автором вырожденной случайной величиной . Эта вырожденная случайная величина обладает некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и в математической статистике (см. стр. 73). Однако ее свойства, которые необходимо учитывать при объединении составляющих погрешностей измерений и прн других использованиях характеристик погрешностей в различных расчетах, отражаются теми же характеристиками, которыми отражаются свойства случайных величин дисперсией (или СКО) и корреляционными мо- ментами (см. разд. 2.1.2). Если для лабораторных измерений представление систематических погрешностей как случайных (т. е на основе вероятностной модели, когда только и возможно поль зоваться характеристиками, аналогичными дисперсии или СКО) вели И связано с некоторой условностью, о которой убедительно [c.94]

В теории вероятностей характеристики функций распределения случайных величин разделяются на две группы точечные и интервальные. К точечным относят характеристики, являющиеся параметрами функций распределения или так называемыми моментами случайных величин математическое ожидание, дисперсия (СКО), моменты более высоких порядков. Основными точечными характеристиками погрешностей измерений являются математическое ожидание, дисперсия (или СКО), взаимный корреляционный момент (если рассматриваются взаимно коррелированные погрешности). Реже рассматриваются более высокие моменты погрешности, причем они встречаются лишь в теоретических работах, но не в прикладных методах анализа погрешностей. [c.102]

Используя известные из теории вероятностей теоремы о математическом ожидании суммы математического ожидания и дисперсии суммы случайных функций, получим [c.308]

Если среднее квадратическое отклонение, как это обычно делается в курсах теории вероятностей, отсчитывать от центра группирования отклонений, т. е. от их средних значений, то среднее квадратическое отклонение является корнем квадратным из дисперсии Д (х) данного закона распределения [c.183]

Количество реализаций при решении задач методом имитационного моделирования определяется требуемым уровнем точности получаемых результатов. Пусть целью моделирования будет вычисление вероятности Р появления некоторого случайного события Е, например, в задачах триботехники практический интерес может представлять вероятность выхода значения коэффициента трения за определенные пределы. В качестве оценки для искомой вероятности Р принимается частота L/N наступления события Е при N реализациях (где L - число испытаний, при которых происходит событие Е ). Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей [4] (которую здесь можно взять в форме теоремы А.Я. Хинчина), частота LjN при достаточно больших N имеет распределение, близкое к нормальному с математическим ожиданием M LIN = P и дисперсией D[Z-//V] = [c.482]

Для дисперсии произведения двух независимых случайных величин по формуле теории вероятностей пишем [c.144]

Рассчитанные по формулам (2.4) и (2.5) характеристики В и удобны, если они далее используются для расчета аналогичных характеристик оценки более обобщенного параметра. Удобство заключается в возможности применения известной теории сложения дисперсий случайных величин. В то же время, в зависимости от соотношения систематической и случайной составляющих погрешности измерения возможны случаи, когда одной из них можно пренебречь. Это тем более вероятно, что систематические погрешности стараются выявить и исключить из результата измерения. Оставшиеся НСП, предельные значения которых равны вх для аргументов и 0 для искомого параметра, характеризуют систематическую составляющую погрешности измерения. [c.45]

В теории вероятности часто в качестве характеристики рассеивания принимается сг , называемая дисперсией случайной величины. [c.83]

В теории вероятностей, наряду с величиной с, большую роль играет ее квадрат называемый дисперсией совокупности случайных величин, обозначаемый часто О. Доказано, что дисперсия < уммы или разности взаимно независимых случайных величин равняется сумме их дисперсий, т. е. [c.147]

Из теории вероятности известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий независимо от закона их распределения. Для перехода от среднего квадратического отклонения к предельному необходимо знать закон распределения вероятностей. [c.206]

Рассмотрим теперь характеристики Тср, t-p и inp. Учитывая, что суммарная наработка системы tp есть сумма независимых одинакова распределенных случайных величин, и, используя теоремы теории вероятностей о математическом ожидании и дисперсии сумхмы независимых случайных величин, имеем [c.164]

ДИСПЕРСИЯ В теории вероятностей (от лат. dispersio — рассеяние) — величина, характери- [c.644]

ФЛУКТУАЦИИ (от лат. flu tuatio — колебание)—случайные отклонения физ. величин от их средних значений. Ф. испытывают любые величины, зависящие от случайных факторов. Количественные характеристики Ф. основаны на методах матсм. статистики и теории вероятностей. Простейшей мерой Ф. случайной величины х служит её дисперсия . р. квадрат отклонения х от ср. значения х, [c.326]

При измерениях рассматривают композицию двух полей значений величины X, подаваемой на вход измерительной системы, и результатов Y измерений, получаемых на ее выходе. На приемном конце величина X искажается и переходит в величину Y = X + Q, где 6 не зависит от X (в смысле теории вероятностей). Выход Y дает информацию о входе X, причем естественно ожидать, что эта информация тем меньше, чем больше дисперсия случайной погрешности 0. Это объяснимо в простейшей обстановке, когда измеряемые величины являются случайными, принимающими лишь конечное число значений. Пусть X — случайная величина, принимающая значения. Xi, Х2, х С вероятностямир, Р2, , Рп, а У — случайная величина, принимающая значения у, yj,. .., Ут с вероятностями q, qj,. .., qm- Тогда информация 1 Х, Y) относительно Y, содержащая X, определяется по формуле [c.195]

В первой главе было показано, что в теории вероятностей очень большую роль ифают неслучайные числовые характеристики случайных величин математическое ожидание и дисперсия — для одной случайной величины, математические ожидания и корреляционная матрица — для системы случайных величин. Числовые характеристики представляют собой весьма гибкий и мощный математический аппарат, позволяющий сравнительно просто решать многие практические задачи. Искусство пользоваться ими составляет основу прикладной теории вероятностей. [c.62]

На процесс изнашивания сопряженных деталей двигателя в реальных условиях эксплуатации влияет множество различных факторов, которые могут быть неслучайными — закономерное изменение плош,ади контакта деталей по мере изнашивания, изменение условий смазки при увеличении зазора и т. д., и случайными — нагрузочные, скоростные и тепловые режимы двигателя, влажность и запыленность среды, квалификация обслуживающего персонала, колебания химико-физических свойств горюче-смазоч-ных материалов и множество других плохо поддающихся учету факторов. В связи с этим установить строгую математическую зависимость, позволяющую вычислить износ деталей и учитывающую влияние всех факторов на процесс изнашивания, практически невозможно. Поэтому для решения этой задачи пользуются методами теории вероятностей, а процессы изнашивания узлов трения рассматривают как случайные, характеризующиеся средним износом 6, его дисперсией 0 и другими статистиками, [c.59]

Из теории вероятностей известно, что дисперсия сум мм нескольки с независимых случайных величин раина сумме дисперсий этих аелн-чич, т. е. [c.512]

Как мы имели случай убедиться в 13 гл. III, для принципиального обоснования всей нашей теории имеет основное значение оценка дисперсий сумматорных функций. Именно малость (относительная) средних квадратических отклонений сумматорных функций позволяет обосновать репрезентативность их средних значений, т. е. утверждать, что каждая такая функция с подавляющей вероятностью получает значение, близкое к ее среднему значению в терминах теории вероятностей можно выразить это, говоря, что сумматорные функции при безгранично возрастающем числе молекул подчиняются закону больших чисел. После расчетов предыдущего параграфа эта задача не вызывает уже существенных затруднений. [c.104]

Мы можем предвидеть до всяких вычислений, что гауссовский тип предельного закона, обнаруженный нами в 22 гл. V при исследовании энергии большой компоненты (представляющей собой одну из простейших сумматорных функций), будет здесь фигурировать в качестве общего правила. В самом деле, всякая сумматорная функция представляет собой с точки зрения теории вероятностей сумму безгранично возрастающего числа случайных величин взаимная зависимость этих величин целиком сводится к требованию, чтобы сумма энергий всех молекул была равна данному значению Е полной энергии системы. При большом числе молекул зависимость между динамическими координатами каких-либо двух из них должна поэтому становиться весьма слабой так, мы видели, что коэффициенты корреляции, связывающей молекулы попарно, при та оо стремятся к нулю. Отсюда в силу известных общих теорем теории вероятностей можно предвидеть, что законы распределения сумматорных функций при большом числе молекул, как правило, будут иметь тип, близкий к гауссовскому. Мы кратко наметим расчеты, приводящие к доказательству этого предположения заметим еще только, что так как средние значения и дисперсии сумматорных функций в их предельном поведении нами [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...