Главные координаты и главные колебания

Главные координаты и главные колебания. Выясним структуру решений уравнений (8) (или (10)), описывающих малые колебания в окрестности положения равновесия. Для этого рассмотрим пару квадратичных форм [c.502]

Главные координаты и главные колебания [c.275]

НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. Как известно, две квадратичные формы, из которых одна положитель-но-определенная, одним линейным преобразованием могут быть приведены к каноническому виду. В частности, построив надлежащим образом линейное преобразование [c.119]

Дифференциальные уравнения колебаний механической системы с двумя степенями свободы в главных координатах и ri2 при обобщенных возмущающих силах = Hi sin (pt + 5) Q2 = Hi sin p + 5), соответствующих обобщенным координатам и qi, имеют вид [c.350]

Итак, для главных координат и из уравнений Лагранжа (56) получим следующую систему уравнений вынужденных колебаний [c.467]

Являются ли углы v i и отклонения математических маятников от их вертикального положения главными координатами данной системы колебаний Маятники связаны между собой пружиной и совершают малые колебания в вертикальной плоскости. (Нет) [c.346]

Из равенств (II. 189) или (И. 193) видно, что каждая нормальная координата определяет главное колебание. Поэтому нормальные координаты иногда называют главными. [c.245]

Движение системы с двумя степенями свободы можно по (60) интерпретировать как движение точки единичной массы в плоскости qu Яь Из соотношений (64) следует, что в этой плоскости имеются два взаимно перпендикулярных направления, таких, что при отклонении точки из положения равновесия по одному из них возникает восстанавливающая сила, имеющая направление, прямо противоположное отклонению. В этих направлениях производится отсчет главных координат и по ним же происходят главные колебания заменяющей систему точки. [c.566]

Дифференциальные уравнения колебаний механической системы с двумя степенями свободы в главных координатах и при обобщенных возмущающих силах [c.380]

Обозначив значения обобщенных координат и амплитуд колебаний, соответствующих первому главному колебанию, индексом (1), имеем [c.84]

Введение главных координат не упрощает вычислений, однако понятие о главных координатах имеет важное теоретическое значение. Произвольно выбранные обобщенные координаты 71 и оказываются главными координатами системы, если в выражениях кинетической и потенциальной энергий системы коэффициенты а12 и Сх2 равны нулю. Изучение свободных колебаний материальной системы в этих случаях значительно упрощается. [c.99]

Какова особенность дифференциальных уравнений свободных колебаний системы с конечным числом степеней в главных координатах и общего решения этих уравнений [c.179]

Координаты бу, в которых кинетическая и потенциальная энергии системы выражаются каноническими квадратичными формами с диагональными матрицами коэффициентов, называются главными координатами системы. Гармонические колебания (5.23) с частотами называют главными колебаниями системы. Свободные колебания системы в координатах фу являются суперпозициями главных колебаний системы. [c.158]

В многопоточных системах со случайными, но постоянными во времени величинами Р/ главные моменты и векторы суммарного возбуждения колебаний будут иметь постоянные значения амплитуд и фаз, определяемые координатами соответствующих точек в областях рассеяния. Для таких систем формулы табл. 8 позволяют оценить возможное рассеяние параметров суммарного возбуждения и его вероятность. [c.121]

Каждое такое уравнение представляет собой простое гармоническое колебание [ 33], которому соответствует изменение лишь одной из главных координат. При этом колебании все точки колеблющейся системы будут в каждый момент находиться в одной фазе. В один и тот же момент все они будут проходить через свое среднее положение и также одновременно будут достигать наибольших отклонений. Колебания эти будем называть главными или нормальными. Из них, как мы видим, складывается самое общее колебание системы. Периоды главных колебаний определяются величинами коэффициентов. .. [c.320]

Колебания системы, определяемые изменением только одной нормальной координаты, называются главными колебаниями. Система с п степенями свободы в общем случае может совершать п независимых гармонических главных колебаний, каждому из которых соответствует определенное значение частоты В обычных условиях при колебаниях системы изменяются все ее нормальные координаты и тогда [c.121]

Две одинаковые материальные точки А1, и М2 массы m каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину 2(a-j-b) натяжение нити равно р. Определить частоты главных колебании и найти главные координаты. [c.421]

Для исследования резонансных колебаний р = и о = Д. ) осуществим переход к главным координатам системы rji и Г]2. Они связаны с координатами г и ф соотношениями [c.350]

Два маятника образуют колебательную систему с двумя степенями свободы. При одинаковых массах и длинах маятники, будучи соединены пружиной, выполняют по одной из главных координат синхронное движение по одному и тому же закону, а по другой — движение в противофазе. Маятники способны в процессе движения системы чередовать между собой возбуждение малых колебаний. [c.577]

Из общего решения следует, что каждая обобщенная координата системы совершает сложное колебательное движение, которое является наложением двух главных колебаний системы различных частот ki и 2. Этот результат называют принципом наложения малых колебаний. Так как в общем случае ki и fes несоизмеримы, то движение механической системы не будет периодическим. [c.214]

Отношения амплитуд в главных колебаниях Рх и Р2 называют коэффициентами формы. Из (68) следует, что коэффициенты формы равны отношениям обобщенных координат в главных колебаниях [c.438]

Если за новые обобщенные координаты системы выбрать ц и то главное колебание с частотой ку будет характеризоваться только обобщенной координатой 171", а главное колебание с частотой к — координатой 7 Л . [c.462]

Итак, каждая из главных координат системы изменяется по гармоническому закону, имея определенную частоту, амплитуду и начальную фазу, так же как и в случае системы с одной степенью свободы. Этот результат остается справедливым и для собственных колебаний системы с любым конечным числом степеней свободы. Некоторые частоты могут оказаться одинаковыми, но это не приводит к резонансным явлениям. [c.464]

Являются ли обобщенные координаты q и q-x одновременно главными координатами системы двух шарнирно соединенных жестких стержней, которые совершают малые колебания в вертикальной плоскости За обобщенные координаты приняты углы отклонения стержней от вертикального положения. (Нет) [c.346]

Из общего решения (26) следует, что каждая из координат совершает колебательное движение, которое является результатом наложения главных колебаний различных частот к и Аг. Так как ki п k , вообще говоря, несоизмеримы, движение это не будет периодическим. Введение главных колебаний допускает возможность представления движения системы в виде суммы простых гармонических движений — главных колебаний. [c.553]

Величины ki и 2 представляют собой частоты главных колебаний системы, которые выше были определены из характеристического уравнения (15). Это следует из того, что физические постоянные системы, в данном случае частоты ее главных колебаний, не могут зависеть от выбора координат, при помощи которых описывается движение можно это проверить также непосредственным вычислением ). [c.562]

Каждая из координат 6i и 02, называемых главными координатами, совершает колебание по гармоническому закону с частотой соответствующего главного колебания. Колебание каждой из главных координат происходит независимо от колебания другой координаты это следует из того, что задание начального значения координаты 0i и соответствующей обобщенной скорости 01 определяет константы i и ti в выражении [c.562]

Обращаясь к формулам (22) и (25), видим, что определенные здесь коэффициенты Pi и Рг не только по обозначению, но и по их механическому значению совпадают с коэффициентами форм главных колебаний. Отсюда следует, что для определения главных координат можно применить другой путь сначала решить характеристическое уравнение (15), а затем определить коэффициенты форм по формулам (19) и (24). Любая задача [c.563]

ДИШШЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ СИСТЕМЫ В ГЛАВНЫХ КООРДИНАТАХ И ИХ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ [c.186]

Применив простые средства исследования систем с одной степенью свободы к изучению колебания системы, характеризуемого изменением одной главной координаты, и суммируя затем соответствующие результаты при наличии всех главных колебаний, можно определить вынужденные колебания системы с несколькпмп степенями обо боды в самом общем случае. [c.158]

В рассмотренном на рис. 137 примере мы выбрали за координаты перемещения и х двух масс и получили далее два дифференциальных уравнения (а), каждое из которых содержит обе неизвестные х и х . Надлежащим выбором координат всегда можно свести задачу к двум дифференциальным уравмспиям, каждое из которых содержит только одну неизвестную величину и может быть решено независимо от другого. Координаты, удовлетворяющие это у условию, называются главными координатами. Для иллюстрации такой возможности вновь рассмотрим случай, представленный на рис. 135. Вместо определения конфигурация системы перемещениями АГ1 и АГд мы можем получить любую конфигурацию наложением двух главных колебаний, представленных на рис. 136 и данных формулами (т) и (п). Перемещения, отвечающие низшей форме колебаний, можно определить через перемещение массы ги . Тогда [c.191]

Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты й, и — собственными частотами системы. При этои, колебание с частотой ft, (всегда меньшей) называют первым главным колебатаем, а с частотой /г — вторым главным колебанием. Числа /ij и rjj, определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. q-ilqi) в каждом из этих колебаний, называют коаф4шциентами формы. [c.395]

Главному колебанию соответствуют две обобщенные координаты, которые меняются но гармоническому закону, имея одинаковые фазы и частоты. Амплитуды колебаний обеих обобщенных координат при этом различны и определяются ачальными условиями. Однако отношение их постоянно и не зависит от начальных условий. [c.214]

Кинетический потенциал консервативной механической системы колебаний определяется выражением L = iq f jql yq - e,ql, где q , q2 - обобщенные координаты i, 2, Сз, < 4 - постоянные. Являются ли обобщенные координаты q и 72 в этом случае одновременно главными координатами механической системы (Да) [c.346]

Эти формулы определяют первое главное колебание. Если система совершает первое главное колебание, то обе координаты ее колеблются по гармоническому закону, имея одинаковые частоты и одинаковые или прямо противоположные фазы, т. е. одновременно приходя в положение равновесия, одновременно достигая максимальных отклонений от него и т. д. амплитуды колебаний той и другой координаты находятся при этом в определенном отношении Рь не зависяи ем от начальных условий. [c.552]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...