Движение материальной точки по линии

Теория математического маятника. Прежде всего заметим, что при рассмотрении движения материальной точки по линии выгоднее определять положение ее не тремя координатами л , г, а одним параметром, именно дугою у. Так, на- [c.375]

Уравнения (74) и (75) решают вполне вопрос о движении материальной точки по линии в случае существования силовой функции. Если же силовая функция не существует, то можно пользоваться теоремой [c.375]

Последние два уравнения написаны по аналоги .) Это есть группа обыкновенных дифференциальных уравнений движения материальной точки по линии с той только разницей, что кроме сил сопротивления и действующей непосредственно, входят еще две силы, компоненты которых суть [c.391]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ЗАДАННОЙ ПЛОСКОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ЛИНИИ [c.68]

Рассмотрим движение материальной точки по заданной гладкой неподвижной линии, лежащей в одной плоскости. Примером такого движения может служить движение шарика в плоской криволинейной трубке (рис. 58). Положим, что уравнение заданной линии, [c.68]

Подставляя эти значения в дифференциальные уравнения, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки по заданной плоской линии в виде двух первых уравнений (22.6) [c.68]

В случае движения материальной точки по прямой линии, которую примем за ось х, имеем (рис. 160) [c.281]

Составим другим способом дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности Р (рис. 190). Пусть аа — отрезок траектории точки М, т — единичный вектор касательной к траектории в точке Л]. Проведем через точку М элемент геодезической кривой ЬЬ поверхности Р, касающейся орта т. Здесь мы воспользуемся известным из дифференциальной геометрии определением геодезических кривых поверхности, согласно которому главные нормали к геодезическим линиям во всех ее точках совпадают с нормалями к поверхности ). Это свойство соответствует определению геодезических кривых, приведенному выше, в 210 [c.425]

ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ ЛИНИИ [c.429]

Движение материальной точки по кривой линии [c.429]

Отсюда можно заключить, что движение материальной точки по всевозможным фигурам Лиссажу, согласно уравнениям (27). будут происходить по коническим сечениям независимо от того, каковы будут значения зависящих от начальных условий движения амплитуд ai, 02 и начальных фаз 81, 82, если сила, действующая на материальную точку, будет по величине пропорциональна расстоянию точки до начала координат и направлена во все время движения к этому началу. Приложенная к движущейся точке сила, линия действия которой всегда проходит через одну и ту же неподвижную точку (в данном случае начало координат), называется центральной силой. Итак, можно заключить, что движения точки по коническим сечениям, параметрически [c.25]

Рассмотрим теперь движение материальной точки по заданной идеально гладкой плоской неподвижной кривой. Пусть на движущуюся точку действует активная сила лежащая с этой линией в одной плоскости. Тогда, кроме силы Р , к точке будет приложена еще реакция связи N, направленная по нормали к данной линии и лежащая с ней в одной плоскости. В этом случае уравнения (10) примут следующий вид [c.483]

Если траектория — прямая линия, то движение материальной точки называют прямолинейным. Во всех остальных случаях имеет место криволинейное движение. Например, движение материальной точки по окружности — криволинейное движение. [c.10]

Простейшей и в то же время весьма важной задачей является задача о движении материальной точки по прямой линии Ох й силовом поле. В этом случае [c.17]

Движение по кругу в поле притяжения двух центров. Движение материальной точки по кругу радиуса а происходит под действием сил притяжения двух центров Р и Р , расположенных на расстоянии 2Ь так, что линия РРу проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Потенциальная энергия сил притяжения задается формулой (21). Исследуется устойчивость круговой траектории. [c.733]

БРАХИСТОХРОНА, кривая быстрейшего спуска, относящаяся к вопросу механики о движении материальной точки по данной линии под действием силы тяжести. Между двумя точками А и В, находящимися на различной высоте над горизонтом, можно представить себе бесчисленное множество различ- [c.499]

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки по инерции в области на двумерной плоскости, ограниченной замкнутой регулярной кривой. Траектория движения будет ломаной линией, которая в случае упругого удара образует с границей области равные углы (рис. 3). В этой задаче укороченное действие совпадает с обычной длиной, и поэтому, согласно принципу Мопертюи, траектория движения имеет стационарную длину среди всех кусочно-гладких кривых с теми же концами. [c.19]

Решение. Движение материальной точки является плоским (2=0). Исключив из первых двух уравнений неизвестную величину—время, получим х = 6+"иу или у=Ч х—8. Это уравнение прямой линии. Построим ее по двум точкам в начальный момент, когда =0, х=6, г/=0 ири 1=1, х=9, у = А (рис. 5). [c.12]

Рассматриваемое здесь движение точки по поверхности без участия активных сил по установившейся в нашей научной литературе традиции называется движением по инерции (Г. К. Суслов, Теоретическая механика", 1946, стр. 207 и сл., 521 и сл.). Основанием для этого служит то обстоятельство, что величина скорости точки в таком движении не изменяется, а траекторией точки является геодезическая линия такое же движение совершает свободная материальная точка по отношению к инерциальной системе отсчета, если не действуют никакие силы, т. е. при движении по инерции в собственном смысле слова. [c.145]

В тех случаях, когда положение частицы тела (или всего тела) однозначно определяется положением точки на линии, в механике пользуются понятием материальной точки. Материальной точкой можно считать и небольшую частицу тела, размеры которой достаточно малы по сравнению с размерами всего тела, и даже все тело, если размеры его очень малы по сравнению с расстоянием, проходимым телом в данном явлении. Так, например, годичное движение Земли вокруг Солнца можно рассматривать как движение материальной точки. Поступательное движение твердого тела всегда может быть отображено движением материальной точки, так как положение одной частицы определяет в этом случае положение всего тела. Зная законы движения материальной точки, мы приступаем к изучению законов движения твердых и деформируемых тел Эти тела можно представлять себе как совокупность отдельных, связанных между собой материальных точек. [c.20]

В стационарных процессах пластического формоизменения, в которых поле скоростей не зависит от времени, интегрирование (1) выполняется вдоль линии тока, ло которой проходит материальная частица через фиксированное в пространстве поле скоростей в пластической области. Для нестационарных процессов пластического течения интегрирование (1) должно выполняться вдоль траектории движения материальной точки с учетом изменения поля скоростей. Вычисляя значения Ее в различных точках пластической области, можно найти среднее значение е,. Затем по среднему значению Ее и диаграмме о<,=(Те(8е), построенной по результатам испытания при однородном напряженном состоянии, определяется величина пластической постоянной, равная для критерия Треска — Сен-Венана [c.79]

Траекторией называют линию, которую описывает движущаяся точка в. пространстве. Траектории весьма разнообразны они могут иметь вид прямой линии, окружности, эллипса, параболы и других кривых. Длина траектории при движении материальной точки характеризует пройденный путь. При движении по прямой от одной точки пространства к другой пройденный путь равен расстоянию между точками, при движении по другим траекториям путь получается больше расстояния. [c.62]

Рассмотрим теперь движение материальной точки М по заданной плоской неподвижной линии (например, движение шарика в плоской изогнутой трубке). Пусть уравнение этой плоской линии, отнесенное к осям Оху, лежащим в ее плоскости, т. е. уравнение связи, будет [c.423]

Итак, существуют случаи движения материальной точки, когда некоторые ограничения вынуждают точку совершать движение по строго фиксированной поверхности (в рассматриваемом примере таким ограничением является стержень). Можно привести примеры, когда ограничения принуждают материальную точку двигаться по строго определенной линии (например, кольцо, насаженное на изогнутую проволоку, будет двигаться только вдоль проволоки). Ограничения также вынуждают материальную точку двигаться лишь в некоторой части пространства. Во всех этих случаях независимо от действующих сил координаты точки определенным образом связаны между собой и выбор начальных условий не может быть произвольным. [c.124]

Прямолинейное движение свободной материальной точки. Если материальная точка не имеет начальной скорости или имеет скорость, направленную по силе, а сила имеет постоянное направление, то движение материальной точки будет совершаться по прямой линии, имеющей направление силы. Приняв эту прямую за ось Ох, получим вместо трех дифференциальных уравнений движения только одно [c.284]

Система отсчета. Пространство и время в классической механике. Под движением материальной точки в пространстве понимают изменение ее положения относительно некоторых тел с течением времени. В связи с этим можно говорить только о движении в некоторой системе отсчета. Система отсчета — это совокупность тела или неподвижных относительно друг друга тел отсчета и набора измерительных инструментов, позволяющих определять расстояния по прямой линии, углы, моменты и промежутки времени. Кратко об этом наборе говорят как о пространственных масштабах и часах. [c.31]

Т, При движении материальной точки М (рис. 1.1.1) конец радиус-вектора г описывает в пространстве некоторую линию. Когда движется тело конечных размеров, различные его точки в общем случае описывают различные линии. Линия, по которой движется точка, называется траекторией. [c.12]

Отклоняющая сила, вызванная вращением Земли. Движение материальной точки, не подверженной действию внешних сил, будет происходить по прямой линии при его описании в инерциальной системе отсчета. Однако для наблюдателя, находящегося на вращающемся земном шаре, траектория, описываемая материальной точкой, покажется искривленной. Отклонение движения материальной точки от прямой линии, определенное относительно вращающейся Земли, может [c.14]

Теорема живых сил для несвободной материальной точки. Для несвободной материальной точки приращение жипой силы равно приращению силовой функции. Эту теорему мы докажем для случая движения материальной точки по линии. Случай же движения по поверхности получим, положив в уравнениях движения по линии Л/1 = 0. [c.360]

Возвратимся к равенству (II. 153). Рассмотрим частный случай, Предположим, что материальная точка движется по гладкой поверхности по инерции . В 225 первого тома показано, что при этом точка движется равномерно по геодезической линии. При равномерном движении точки равенство (II. 153) будет по форме совпадать с равенством (II. 156Ь). Оно будет выражать в вариационной форме условие движения материальной точки по геодезической линии. [c.207]

Интересное видоизменение задачи данного типа представляет случай движения материальной точка по глад> ОЙ окружности в плоскости, составляющей угол р с горизонтом В этом случае вес материальной точки можно разложить на составляющую m sin р, направленную вдоль плоскости по линии наибольшего скат, и на составляющую m osp, перпендикулярную к плоскости. Последняя составляющая пооизводит только давление на плоскость. Следовательно, движение по кругу подходит под условия предыдущей задачи,. если только мы заменим g иа sin . В частности, если радиус круга будет а, то период малых колебаний будет [c.101]

Назовем череа и сплы давления, которое оказывает материальная точка на поверхности, дающие своим пересечением линию. Так как линия может быть определена двумя поверхностями, находящим ся в различных положениях относительно лруг друга, то допустим, что эти по-верхнос1и выбраны так, что в рассматриваемой точке М (фиг. 272) они взаимно перпендикулярны. Проведем нормаль к первой поверхЕюсти и назовем углы ее с осями координат через а , проведем также нормаль 2 ко второй поверхности и пусть углы ее с осями будут Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки ло линии в следующей форме [c.372]

Для винтовой линии можно найти скручивание следующим механическим способом. Движение материальной точки по винтовой линии можно расс.матри-вать как движение точки параллельно оси винтовой лин и г постоянной скоростью -и sin а и как движение по основному кругу радиуса г с погтояннои скоростью v os а. Из соответственного положения радиуса кривизны следует, что из одного положения плоскости, образованной касательной и нормалью, можно перейти в соседнее другое сдвигом параллельно оси винтовой линии на величину ds-sin и при одновременном вращении около оси винтовой линии на величину [c.283]

Задача интегрирования дифференциальных уравнений механической системы еще сложнее, если на механическую систе1му наложены связи, силы реакций которых заранее неизвестны и должны быть дополнительно определены по заданным силам и связям аналогично случаю движения несвободной материальной точки по поверхности и кривой линии. [c.255]

В том случае, когда равнодействующая сила R v ivi. (13.3)) имеет постоянное направление, а начальная скорость точки направлена по линии действия R (плн равна нулю), движение материальной точки будет прямолинейным. Примем прямолинейную траекторию точки за ось Ох, установив на траектории положительное направление. В прямолинейном движении удобнее рассматривать пе векторы силы, скорости и ускорения точки, а их алгебраические значения, различая направления этих векторов знаком. Эти алгебраические значения суть проекции рассматриваемых векторов па ось Ох. Поскольку проекции на любую другую ось тождественпо равны пулю, то мы для сокращения записи опускаем индекс осп, записывая, например, v вместо и обозначая модуль скорости через lul. [c.248]

Выртжая движение материальной точки вектором перемещения, мы абстрагируем ее двингение, которое в действительности происходит не по прямой линии, а ио дуге траектории. Только в частном случае прямолинейного движения направление вектора перемещения совпадает с траекторией точки. При криволинейном движении чем меньше променгуток времени меигду двумя последовательными положениями точки на траектории, тем меньше вектор перемещения и тем точнее он характеризует ее истинное движение. Очевидно, в пределе при бесконечно малом промежутке времени бесконечно малый по длине вектор перемещения совпадает с бесконечно малым участком траектории. [c.12]

Геодезические линии эллипсоида. В п. 44 гл. II мы рассматривали геодезические линии какой угодно поверхности о как траектории движения по инерции (спонтанное движение) материальной точки, удерживаемой без трения на поверхности а. В случае поверхности общего типа мы ограничились указанием на основании интеграла живых сил, что движение происходит с постоянной по величине скоростью, не занимаясь задачей интегрирования, которое к тому же, если не вводить частных предположений, мы не сможем выполнить элементарными средствами. В специальном случае поверхности вращения-мы видели (пп. 45, 46 гл. 11), что имеет место также интеграл плбщадей в плоскостях, нормальных к оси вращения, и что это обстоятельство позволяет привести определение движения по инерции, а следовательно, и геодезических тиний к квадратурам. Здесь читатель может убедиться в этом без вычислений, обращаясь к теореме Лиувилля из п. 44. [c.384]

Для воспроизведения контурно-сложных поверхностей в отдельных сечениях пространственно-сложной поверхности обычно применяется инс -.румент, при работе которого образующая линия получается как след движения материальной точки. Принцип воспроизведения пространственнф-сложной поверхности при профилировании по копиру может быть рассмотрен на основе схемы, представленной на рис. 1.15. [c.29]

Работа будет произведена лишь силсй Р , которая совпадает с линией перемещения хх точки М сила же Ру, направленная по нормали к XX (пути точки/И), работы не производит, так как в этом направлении нет перемещения Ж. Следовательно, работа силы Р, действующей под углом а к направлению движения материальной точки, будет равна [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...