Модули упругости второго порядка

Экспериментальное определение модулей упругости третьего порядка практически заключается в сопоставлении значений модулей упругости второго порядка, определенных вблизи естественного состояния и в деформированном состоянии. Чаще всего деформированное состояние задается всесторонним сжатием в условиях гидростатического давления. Определяемые в этом случае эффективные модули упругости в рамках линейного приближения будут связаны с модулями упругости второго и третьего [c.254]

Плотности, изотермические модули упругости второго порядка и скорости звука в некоторых твердых телах (при 20° С) [c.313]

До сих пор мы ограничивались рассмотрением линейной связи между компонентами 0 и гл, учитывая только члены не выше второй степени в разложении внутренней энергии по компонентам тензора деформации г. По этой причине упругие модули X и р, а также К, Е, а называют линейными модулями или модулями упругости второго порядка. Если в разложении по степеням оставить еще и кубичные члены, то для изотропного твердого тела можно получить [1, 2] [c.192]

Здесь Ех, Е , Е Е — модули упругости второго порядка изотропных упругих материалов. Можно показать, что для изотропных гиперупругих тел Е Е 2 % — ц), т. е. существует только три независимых модуля упругости второго порядка. [c.249]

Если число фаз в гетерогенной композиции больше двух, характеристика ее морфологии и выбор метода расчета упругих и вязкоупругих свойств значительно усложняется. В качестве примера рассмотрена тройная композиция, представляющая собой смесь двух типов гомогенных частиц наполнителя с различными упругими константами матрицы. Расчеты верхнего и нижнего пределов по уравнениям (3.4) и (3.5) можно производить прямым путем, однако при использовании уравнений (3,11) и (3.12) возникает некоторая неопределенность. Эти уравнения, в принципе, можно использовать непосредственно для расчета модулей многокомпонентных систем, однако лучшие результаты дает двухступенчатое применение уравнений [17]—сначала для расчета модуля композиции с одним типом частиц, а затем для расчета модуля композиции в целом на основе полученных данных о модуле матрицы с учетом свойств другого типа частиц дисперсной фазы. По-видимому, не существует теоретического обоснования порядка такого двухступенчатого расчета. Было показано [46], что результаты, полученные для модуля упругости при сдвиге при ступенчатом использовании уравнения (3.14), зависят от порядка чередования типа частиц наполнителя при расчете и не эквивалентны результатам расчета при использовании трехкомпонентной формы уравнения (3.12). Определенную роль при этом играет относительный размер частиц наполнителей разных типов. Кажется естественным, что если размер частиц наполнителя одного типа в среднем значительно больше второго, то меньшие частицы и матрица совместно образуют более эффективную матрицу для более крупных частиц. Экспериментальные данные по [c.168]

Рассмотрим, наконец, равнонаклоненную к координатным осям ось симметрии третьего порядка (/3). Нетрудно видеть, что поворот вокруг этой оси па угол 2я/3 = = 120° переводит первую координатную ось во вторую, вторую — в третью и третью — в первую. При этом неизменность модулей упругости имеет место при [c.34]

Первая серия экспериментов была выполнена ), чтобы установить, можно ли было обнаружить нелинейность при простом нагружении на этой аппаратуре и если будут появляться дискретные изменения в значениях угла наклона касательной к графику зависимости между напряжением и деформацией, то окажутся ли эти изменения такими, какими они предсказываются (см. там же) последовательностью квантованных значений. Квантованная последовательность была обнаружена в моих более ранних работах по сравнению упругих постоянных 59 элементов (см. ниже главу И1, раздел 3.44). Я предсказал переходы второго порядка в значениях модуля упругости на основе результатов опытов, проводившихся при больших деформациях, из которых получены определяющие уравнения на основе сравнения конечных амплитуд одномерных волн со значениями соответствующих параметров в квазистатических экспериментах, выполненных при одноосном напряженно-деформированном состоянии с образцами, изготовленными из того же материала. [c.204]

Учет упругой анизотропии кристаллической решетки твердого раствора производится путем замены Ej — Y на ориентационный параметр У, выражающийся через упругие модули второго порядка. В кубических кристаллах минимум величины У возможен для двух типов волн с волновыми векторами, параллельными направлениям <100> или <111>. Концентрационная модуляция вдоль этих направлений наблюдается экспериментально. [c.216]

Из других областей возможного применения нелинейных волновых процессов нужно указать на некоторые измерительные методы, Это в первую очередь относится к определению упругих модулей более высокого порядка, чем второй, и, возможно, в дальнейшем к интегральному исследованию дислокаций в монокристаллах. [c.347]

Получаются эти результаты довольно просто, хотя и очень длинно. Детали вычисления не представляют интереса, а результаты имеют большое значение. Они полностью объясняют основные эффекты второго порядка в теории упругости и показывают, что величины этих эффектов не могут быть выражены через классические модули и ц или одна через другую. Безразмерные постоянные р" и определяются отношением V[x и двумя упругими постоянными второго порядка. Из формул (2)—(5) видно, что эксперименты по измерению удлинения и объемного расширения второго порядка достаточны для определения постоянных 04 и ае в материале, для которого известно а. [c.312]

Естественно, что теория Мэрнагана применима до тех пор, пока между напряжениями и деформациями существует взаимно однозначное соответствие. Как показывают эксперименты, для большинства твердых тел при всестороннем сжатии до давлений 10 атм модули упругости второго порядка линейно зависят от давлешш, что указывает на применимость пятиконстантной теории до этих давлений. [c.301]

В заключение отметим, что выше рассматривалась только линейная упругость кристаллов и речь шла, соответственно, о модулях упругости второго порядка, т. е. о линейных модулях. Для описания нелинейной упругости даже кристаллов кубической симметрии требуется 14 модулей упругости третьего порядка, а для триклинных кристаллов их число достигает 56 [80. Поэтому уравнения нелинейной акустики кристаллов обычно строятся для особенных кристаллографических направлений, для которых они приобретают форму рассмотренных выше нелинейных уравнений упругости изотропного твердого тела с соответствуюш,им набором нелинейных параметров. Эти параметры, т. е. модули упругости третьего по-ркдка, также определяются из ультразвуковых измерений 180]. Таких измерений проведено мало, а между тем нелинейные акустические эффекты играют важную роль в квантовой акустике для описания таких процессов, как фонон-фононные взаимодействия, а также спин-фононные, фотон-фононные и другие виды взаимодейст ВИЙ [87]. Эти интересные вопросы, однако, выходят за рамки данной книги. [c.265]

Э111ект11вный линейный юдуль упругости (его называют часто модулем упругости второго порядка, - модуль третьего порядка), а соотношением [c.132]

Особый интерес представляет распространение звука в тех направлениях кристалла, в которых при фазовом переходе на изменениях волновых характеристик существенно сказывается изменение или обращение в нуль некоторых как линейных, так и нелинейных упругих модулей, связанное с изменением структуры кристалла. Характер этих изменений зависит от того, является ли связь деформаций с параметром порядка в высокосимметричной фазе линейной или квадратичной. В первом случае соответствующие модули второго и третьего порядков стремятся к нулю в точке фазового перехода, причем по довольно сложному закону. В случае квадратичной зависимости при переходе в высокосимметричную фазу модули упругости второго порядка должны испытывать скачок, а модули третьего порядка — оставаться неизменными. Эксперименты по наблюдению вторых гармоник, однако, показывают, что эффективность их генерации резко возрастает вблизи точки фазового перехода [50]. Этот факт не может быть объяснен на основе простой релаксационной теории. Улучшить положение можно, если включить в рассмотрение пространственные флуктуации параметра порядка в окрестности точки фазового перехода (см. [22]), которые можно описать посредством введения в разложение термодинамического потенциала (4.7) добавочного члена (grad т)). Учет пространственных флуктуаций дает возрастание модулей упругости третьего порядка по закону Т—Г ) , гдех=—(1/2—3/2)—критический индекс, значение которого определяется симметрией кристалла. Однако и флуктуационные поправки не приводят к полному согласию с экспериментами, которые показывают, что наблюдаемые критические индексы обычно больше теоретически предсказываемых. Таким образом, необходимы дальнейшие уточнения теоретических [c.297]

Акустооптич. дифракция позволяет измерять многие параметры материалов скорость и поглощение звука, модули упругости второго, третьего и более высоких порядков, упругооптич. постоянные и другие величины. Так, из условия Брэгга по известным значениям частоты / УЗ и длины волны света Я, и по измеренному углу 20б между падающим и дифрагирован- [c.33]

Более подробный и более общий анализ принадлежит Денну 120], который обсудил ряд результатов предыдущих исследователей. Денн начал с того, что взял уравнение состояния для жидкостей второго порядка, но коэффициенты Т , Ро и 7о он предположил функциями величины модуля D. Не говоря уже о концептуальных трудностях, связанных с применением такого уравнения (эти трудности обсуждались в гл. 6), результаты его анализа не очень обнадеживают. Было получено дифференциальное уравнение для Vx х, у), содержащее неньютоновские члены, множителем в которых был упругий параметр е, определенный соотношением [c.279]

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое, как известно, описывает колебательные процессы. Это означает, что уравнения (8.58) и (8.59) описывают распространение упругих волн в кристалле. Поскольку при прохождении таких волн (если учесть реальные скорости их распространения) обмен теплом произойти не успевает, коэффициенты ijim в (8.59) являются адиабатическими упругими модулями. [c.201]

В последние десятилетия наряду с традиционными материалами появились новые искусственные материалы — так называемые композиты. Строго говоря, термин композитный материал или композит следовало бы относить ко всем гетерогенным материалам, состоящим из двух или большего числа фаз. Сюда относятся практически все сплавы, применяемые для изготовления элементов конструкций, несущих нагрузку. Соединение хаотически ориентированных зерен пластичного металла и второй более прочной, но хрупкой фазы позволяет в известной мере регулировать свойства конечного продукта, т. е. получать материал с необходимой прочностью и достаточной пластичностью. Усилиями металлургов созданы прочные сплавы на основе железа, алюминия, титана, содержащие различные. тегирующие добавки. Достигнутый к настоящему времени предел прочности составляет примерно 150 кгс/мм для сталей, 50 кгс/мм для алюминиевых сплавов, 100 кгс/мм для титановых сплавов. Эти цифры относятся к материалам, из которых можно путем механической обработки получать изделия разнообразной формы. Теоретический предел прочности атомной решетки металла, представляющий собою верхнюю границу того, к чему можно в идеале стремиться, по разным моделям оценивается по-разному, в среднем это 1/10—1/15 от модуля упругости материала. Так, для железа теоретическая прочность оценивается значением примерно 1400 кгс/мм что в десять раз выше названной для сплава на железной основе цифры. В настоящее время существуют способы получепия тонкой металлической проволоки или ленты с прочностью порядка 400—500 кгс/мм , что составляет около одной трети теоретической прочности. Однако применение таких проволок пли лент в конструктивных элементах неизбежным образом ограничено. [c.683]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Известно [62, 296], что для построения полного корреляционного приближения решения краевой задачи теории упругости микронеодно-родной среды в перемещениях с определением статистических характеристик случайных полей микронапряжений и микродеформаций в компонентах композита в качестве исходной информации о структуре материала необходима следующая совокупность моментных функций структурных модулей упругости двухточечные и трехточечные моментные функции второго, третьего, четвертого и пятого порядков. [c.40]

Температурные задачи актуальны для эластомерных конструкций по ряду причин. Во-первых, температура окружающей среды может меняться, а модули упругости С и К резиновых слоев сильно зависят от температуры кроме того, ко- эффициент теплового расширения резины на один-два порядка, больше, чем металла или пластика, и при стесненных де- формациях могут развиться большие температурные напряже-ния в слоях конструкции. Во-вторых, при циклических де-. формациях происходит саморазогрев резиновых слоев, что сказывается на механических свойствах материала и напряженно-деформированном состоянии К011СТ )УКЦИЙ. [c.122]

Как ВЙДПО из (8.10) и (8.11), для описания неишней-ных свойств изотропного твердого тела во втором приближении помимо двух линейных постоянных — модуля всестороннего сжатия Ё и модуля сдвига Ц. (модулей второго порядка) ) — необходимо ввести еще три нелинейные постоянные (модули третьего порядка). Как и в случае модулей второго порядка, модули третьего порядка могут быть выбраны различными путями. В первых работах по нелинейной теории упругости Мэриаган [3] пользовался модулями третьего порядка I, т, п. В дальнейшем вслед за [2] мы будем пользоваться модулями третьего порядка А, В ж С. Из (8.11) легко найти связь [c.295]

Уравнение (8.17) вместе с граничными и начальными условиями является основным уравнением пятиконстант-яой теории упругости. Это уравнение нелинейно. Формальными причинами нелинейности являются упомянутая ранее геометрическая нелинейность и нелинейность обобщенного закона Гука (8.16). Последнюю обычно называют физич еской нелинейностью, ибо она связана с нелинейной упругостью конкретного твердого тела. Физическая нелинейность во втором приближении определяется упругими модулями третьего порядка (8.12), Пятиконстантная теория упругости является по существу нелинейной теорией с зачетом величин второго порядка малости. Поэтому естественно вдесь воспользоваться методом малого параметра вектор смещения можно представить в виде [c.298]

Приведенные соотношения могут быть интерпретированы как зависимость упругих модулей второго порядка от статиче1скоГо напряжения. Для раздельного определения А, В ж С необходимо измерение по крайней мере трех зависимостей скорости звука от давления. В работах [10, 14] такие измерения сделаны в некоторых изотропных тавердых телах, результаты приведены в табл. 8. Точность этих измерений, как видно из таблицы, невелика. [c.304]

Моноклинная система. Моноклинные кристаллы имеют единственную ось симметрии второго порядка (класс Со) или одну плоскость симметрии (класс С< ) или то и другое вместе (класс Сзл). Для всех моноклинных кристаллов в качестве стандартной выбирается система прямоугольных координат X, У, Z, приведенная на рис. 70, д. Ось симметрии С , или нормаль к плоскости симметрии, совпадающая с осью симметрии второго порядка, принимается за ось Ь, вдоль которой направляется ось У, ось X выбирается таким образом, чтобы она совпадала с кристаллографической осью а. Оси а п с выбираются в пюскости, перпендикуляриг й оси Ь. Таблица модулей упругости, обнесенная к таким осям, для всех трех [c.259]

В отличие от первого резинового слоя, второй слой — каркас, состоящий из ряда концентрически или спирально расположенных прокладок, элементы которых имеют некоторую возможность сдвига, обладает специфическими свойствами. Резино-текстильный кар-кгс, составленный из материалов, модули упругости которых различаются примерно на 1—3 порядка, и позволяет рассматривать его (как отмечалось в гл. 2) как особую слойноструктурную конструкцию, представляющую собой анизотропный материал. Не обращаясь к специальному исследованию такого материала, рассмотрим каркас напорного рукава как конструктивную совокупность концентрически расположенных текстильно-арматурных слоев, соединенных резиновой массой. При этом учтем, что исходные свойства текстиля видоизменяются в технологических процессах резинового производства (прорезинивание ткани, трощение нитей, обращение их в оплетки, склеивание, вулканизация и пр.). Сделав это допущение, исследуем и оценим все факторы, так или иначе сказывающиеся на прочностных свойствах однородного каркаса. [c.139]

В общем случае дефекты твердых тел оказывают влияние на упругие модули третьего порядка. В настоящее время имеются прямые экспериментальные доказательства такого влияиия [17, 18] (см. 4 этой гладаы). Следовательно, измеряемые экспериментально модули третьего порядка имеют примесь , связанную с дефектами твердого тела. В некоторых случаях эта примесь мала по сравнению с модулями третьего порядка идеального изотропного твердого тела. Так, по-видимому, обстоит дело при измерении нелинейного параметра для продольных волн в свободных от внепших механических напряжений образцах экспериментальное значение нелЕшейного параметра при этом удовлетворительно совпадает с тем, что можно получить на основании элементарной теории твердого тела Борна или Из значения коэффициента теплового расширения твердых тел [19]. В других случаях, например при искажении формы продля поперечной волны (второй сдвиговой гармоники), примесь является основ-вгой причиной наблюдаемого эффекта согласно пятиконстантной теории упругости этот эффект не должен был бы наблюдаться вовсе (см. далее). [c.308]

Смотреть страницы где упоминается термин Модули упругости второго порядка : [c.254] [c.24] [c.276] [c.457] [c.299] [c.193] [c.285] [c.222] [c.131] [c.30] [c.345] [c.255] [c.511] [c.320] [c.229] [c.302] [c.193] [c.251] [c.125] [c.211] [c.12] [c.89] [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...