Эйнштейна решетка

Мандельштам предположил, что флуктуации плотности в кристаллах и жидкостях, о которых идет речь в теории рассеяния Эйнштейна, в действительности являются реальными акустическими волнами Дебая. Иными словами, флуктуации плотности в кристалле имеют периодичность, определяемую частотами этих волн. Мы можем рассматривать данные волны как стоячие или как бегущие. В первом случае кристалл можно представить как пространственную дифракционную решетку, состоящую из системы сгущений и разрежений плотности (система стоячих воли), и рассеяние света на такой решетке должно быть подобным рассеянию рентгеновских лучей обычной кристаллической решеткой. Различие заключается в том, что рассеяние света происходит па периодических сгущениях и разрежениях плотности, а рассеяние рентгеновских лучей — на периодически расположенных атомах, ионах или молекулах. Дебаевский спектр упругих волн включает частоты 10 °—10 Гц, т. е. относится к гиперзвуковой области. [c.122]

В начале текуш его столетия были заложены основы квантовой физики. Вскоре после этого Эйнштейн [75], Борн и Карман [76] и Дебай [77] применили принципы квантовой теории для объяснения результатов, полученных при измерении теплоемкости твердых тел. Б несколько более поздней работе Эйнштейн [78] признал, что его первоначальное предположение о наличии одной частоты колебаний у всех атомов твердого тела не может рассматриваться как точная физическая модель. Тем не менее его первую работу характеризует глубокое понимание основных особенностей теплоемкости, что полностью оправдывает использование в качестве первого приближения сравнительно грубой первоначальной модели. Теоретическим результатом первостепенной важности было введение представления о свойственной каждому веществу характеристической температуре 0, выше которой тепловое движение полностью нивелирует индивидуальные особенности любой решетки и поэтому действительна универсальная классическая формула Е = 31 кТ. При температурах ниже в теплоемкость, а также многие другие экспериментально определяемые свойства твердых тел весьма критическим образом зависят от особенностей данной решетки. Так, например, аномальная теплоемкость алмаза, значительно меньшая классического значения, в свете этой теории получает прямое объяснение как результат высокой характеристической частоты колебаний решетки v (это подтверждается также исключительной твердостью алмаза). Характеристическая температура алмаза в (A 0=/zv) много выше комнатной температуры, а потому и его теплоемкость при комнатной температуре много ниже значения, которое следует из закона Дюлонга и Пти. Иными словами, алмаз при комнатной температуре находится в низкотемпературной области . [c.186]

В данном параграфе будут изложены приближенные теории теплоемкости Эйнштейна и Дебая, основанные на рассмотрении колебаний кристаллической решетки, для неметаллических кристаллов. [c.35]

Для упрощения А. Эйнштейн предположил, что ЗЫ колебаний N атомов кристалла имеют одинаковую угловую частоту (1)Е и рассматривал ее как регулируемый параметр, с помощью которого обеспечивается согласие между теоретической и находимой в эксперименте теплоемкостью кристалла. Поэтому, если каждому нормальному колебанию отвечает одно и то же значение энергии Е, согласно (1.30) полная энергия колебаний решетки должна быть [c.38]

Атомный номер эйнштейния 99, атомная масса (254). Известно 14 изотопов. Наиболее долгоживущий — с атомной массой 254 период полураспада 276 сут. Электронное строение [Кп]5/"751 Потенциал ионизации. 6,42 эВ. Кристаллическая решетка — г.ц.к. е параметром а=> = 0,575 нм. Плотность 8,8 т/м . /пл = 857°С. [c.175]

Распределение фононов по энергиям описывается функцией Бозе—Эйнштейна (3.106), график которой приведен на рис. 4.3. Из этого графика видно, что при температуре Т в решетке возбуждены нормальные колебания практически лишь до частоты со л [c.131]

Как средство математического описания явления, понятие квазичастиц, и в частности фононов, является весьма удобным. Так же как и для фотонов, числа фононов в ячейке не ограничены, и, следовательно, фононы подчиняются распределению Бозе - Эйнштейна. При этом химический потенциал фононного газа следует считать равным нулю, так как, аналогично случаю фотонного газа, полное число фононов не фиксировано — фононы непрерывно поглощаются и излучаются кристаллической решеткой. [c.256]

Существует масса работ, посвященных численному решению различных вариантов такой задачи (см. упомянутые обзоры). Во многих из них используется решетка Эйнштейна, т. е. модель независимых га -монических осцилляторов. В [3] эта модель дополняется свойствами, призванными учесть явления связанные с увеличением энергии падения. В [4—6] развивается стохастическая теория, опирающаяся на идеи и результаты теории обобщенного броуновского движения, включающей многочастичные столкновения. Центральное место занимает обобщенное уравнение Ланжевена, в котором явно фигурируют только координаты атома газа и п атомов поверхности. Остальная часть решетки влияет на столкновение через диссипативное ядро и гауссовскую случайную силу. При решении уравнения Ланжевена находятся п- - траекторий и осредненная по температуре поверхности функция рассеяния. [c.453]

Расчет по сжимаемости. Коэффициент сжимаемости находится в прямой зависимости от сил связей решетки, значит, и от частоты колеблющихся атомов. На основании этой зависимости и Эйнштейн и Маделунг вывели указанное выше (2.15) соотношение [c.68]

Формула (84), полученная Планком, была применена им к теории излучения. Эйнштейн использовал эту формулу для теории теплоемкостей, распространив ее на колебания атомов в кристаллической решетке. [c.261]

Эйнштейн предположил, что атомы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, могут совершать только колебательные движения и в целях упрощения принял частоту колебаний одинаковой для всех ато.мов. Поскольку в твердом теле для трехмерных осцилляторов средняя энергия должна быть в три раза больше, чем для линейных, в расчете на 1 г - атом получаем [c.261]

Заметное расхождение значений С , вычисленных по формуле Эйнштейна, со значениями С,., полученными из опыта, можно объяснить тем, что при выводе этой формулы была использована слишком упрощенная модель твердого тела. Как упомянуто выше, Эйнштейн принял, что все атомы кристаллической решетки колеблются независимо друг от друга и имеют одну и ту же частоту колебаний V, что, конечно, не соответствует действительности. [c.264]

Простейшее твердое тело — это, по-видимому, твердый аргон. Оп состоит из правильно расположенных нейтральных атомов с крепко связанными электронными оболочками. Эти атомы удерживаются вблизи друг друга силами Ван-дер-Ваальса, которые действуют в основном между ближайшими соседями в решетке. Физические процессы в таком кристалле связаны с тепловым движением атомов вблизи своих идеализированных положений равновесия. Для простейшего описания такого движения используется модель Эйнштейна, согласно которой каждый атом колеблется подобно простому гармоническому осциллятору в потенциальной яме, образованной силами его взаимодействия с соседями . Так начинается в книге Дж. Займана [1] глава Колебания решетки . [c.60]

Фнг. 120. Удельная теплоемкость решетки в приближениях Дебая и Эйнштейна. [c.424]

В самых первых квантовых расчетах теплоемкости решетки, проведенных Эйнштейном и Дебаем, не использовался спектр фононов в его общем виде, рассмотренном выше, а предполагалось, что закон дисперсии нормальных мод имеет некоторую особенно простую форму. Результаты этих расчетов, построенных на грубой аппроксимации закона дисперсии нормальных мод, используются теперь в качестве интерполяционных формул. Кроме того, теория Дебая оказала значительное влияние на принятую терминологию и определила даже способ представления экспериментальных данных. [c.85]

Бравэ 1 120, 121 Определение фононного спектра из оптических данных II 108—111 Оптические моды II 64, 70, 71 в ионных кристаллах II 170—176 в моделях Дебая и Эйнштейна II 89 и акустические моды II 65 и рамановское рассеяние II 109 См. также Колебания решетки Фононы Оптические свойства I 293, 390—393 алюминия I 302—303 благородных металлов II 295—297 бриллюэновское рассеяние II 109 ионных кристаллов II 173—176 и приближение независимых электронов I 345 (с) [c.403]

Модель Эйнштейна — это модель индивидуальных колебаний каждого узла решетки. Как создается и чем удерживается эта пространственная система потенциальных ям — неясно, какими-то внешними силами. На самом же деле решетка создается самими же атомами кристалла, смещение узла сразу же сказывается на его соседях, поэтому никакой независимости индивидуальных колебаний в твердом теле нет и поэтому выбор Г(со) по Эйнштейну привел к экспериментально ненаблюдаемому ходу теплоемкости при низких температурах. [c.505]

Теплоемкость твердого тела, обусловленная увеличением колебательной энергии решетки при поглощении тепла, описывается эмпирическим законом Дюлонга и Пти Легко показать, что изменение внутренней энергии системы, состоящей из N М —число Авогадро) независимых гармонических осцилляторов, имеющих одинаковую частоту, подчиняется этому закону. При низких температурах СУ быстро падает, и модель простого гармонического осциллятора не позволяет объяснить этого явления. Эйнштейн показал, что этот эффект качественно объясняется при рассмотрении квантовых осцилляторов, хотя падение Су До нуля происходит слишком быстро. Количественное описание теплоемкости с учетом того, что осцилляторы связаны и колеблются с разными частотами, дает теория Дебая — Борна и Кармана. Для низких температур они определяют температурную зависимость теплоемкости как Су—аТ полученные расчетные данные хорошо согласуются с экспериментальными, причем основной вклад при этом вносят низкочастотные колебания осцилляторов. [c.84]

Постоянная Грюнейзена [2] = VIkr v, где Р — объемный коэффициент температурного расширения v — теплоемкость тела при постоянном объеме kr—изотермический коэффициент сжимаемости, слабо зависит от температуры й объема. Тепловая энергия решетки в первом приближении равна =(3/2)ЛГ (для одного моля вещества), ее значение может уточняться в рамках теории твердого тела (Дебая, Эйнштейна и др.). [c.315]

Более выгодными оказываются схемы бесщелевых телескопов-спектрометров, в которых решетка устанавливается перед объективом или в сходящемся пучке. Последняя схема использовалась в спектрометрах, длительно работавших в космосе телескопов обсерватории им. Эйнштейна [б1 и телескопа ЭКСОСАТ [89], в которых были установлены пропускающие решетки нормального падения. В настоящее время разрабатываются проекты ряда новых телескопов-спектрометров высокой чувствительности РОСАХ [c.295]

Подобно электронным волнам в решетке, квантуются и колебания самой решетки. Эти колебания рассматриваются как квазичастицы — фоно-ны. Квант энергии, соответствуюш ий каждому фонону, равен й , как и для любой другой квантованной частицы. Однако в отличие от электронов фоно-ны подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Сведения о колебаниях решетки можно найти в книгах Киттеля [4] и Деккера [17]. [c.89]

В кристаллической решетке гидрида циркония каждый атом водорода находится в центре тетраэдра, образованного четырьмя атомами циркония. Из-за большого отношения масс ЛггМн 91 и симметричного окружения протонов атомами циркония химическая связь очень хорошо аппроксимируется, если рассматривать протоны гармонически связанными, как в модели твердого тела Эйнштейна, с величиной соо = 0,137 эв. Микроскопические сечения рассеяния водорода в гидриде циркония, полученные вычитанием значений [c.273]

Фотоны или кванты электромагнитного из цчения имеют спин, равный единм , следовательно, как и к фононам-квантам колебан Л решетки кристалла, рассматриваемым в гл. 3, к ним приложима статистика Бозе-Эйнштейна. При рассмотрении в п, 2.2 тевденции бозонов к объединению , проявляющейся в увеличении вероятности появления в данном состоянии (п + 1)-гЬ бозона при наличии в нем п таких же бозонов, мы не конкретизировали источник квазичастиц. Следовательно, пси ченные результаты вполне могут быть применимы, например, к излучению фотонов атомами стенки замкнутой полости, в которой находфтся фотонный газ. В этом случае полученный результат можно трактовать следующим образом если мы имеем возбужденный атом, способный излучить фотон с энергией Ьу р Ег - Е1 (Ег и [c.51]

Здесь N — число ячеек кристалла, Пх и определяются распределением Бозе — Эйнштейна (3.1), (О1 и а — частоты тепловых фононов, близкие по значению друг к другу, О. — частота звука, Ф(Л, кх, 1, —кг, /2) — некоторая функция, характеризующая параметры ангармонической связи кристалла. Наличие дельтафункций к+кг—к ) и б (й- - —Юг) в (4.4) означает необходимость выполнения законов сохранения энергии и квазиимпульса кристаллической решетки (3.6). [c.248]

Операции группы симметрии для решетки Бравэ 1120, 121 Определение фононного спектра из оптических данных II108—111 Оптические моды П 64, 70, 71 в ионных кристаллах П 170—176 в моделях Дебая и Эйнштейна II 89 [c.424]

Если мы имеем дело с решеткой, обладающей полиатомным базисом, замена Зр ветвей фононного спектра всего тремя ветвями (23.21) компенсируется тем, что объем сферы Дебая выбирается так, чтобы он в р раз превышал объем первой зоны Бриллюэна. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен при обсуждении модели Эйнштейна. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...