Искривление поперечного сечения балок

Рис. 12.32. Искривление поперечных сечений балки при поперечном изгибе вследствие неравномерности сдвига.

Уравнение (9.1) получено для случая чистого изгиба балки, когда изгибающий момент имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако, это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлением поперечных сечений балки за счет сдвигов в соответствии с гипотезой плоских сечений. [c.184]

Аа. Следовательно, искривления поперечных сечений не сказываются на законе распределения нормальных напряжений и их значений. В балке прямоугольного и круглого сечений максимальные касательные напряжения возникают в тех точках, где нормальные напряжения равны нулю (на нейтральной оси), и, наоборот, в крайних точках сечения, где нормальные напряжения максимальны, касательные напряжения равны нулю. Поэтому за опасные можно принять точки, наиболее удаленные от нейтральной оси, что подтверждается практикой эксплуатации балок, работающих на изгиб. Однако в случае тонкостенных профилей (например, двутавра) необходимо проверить прочность балки и в точках, где полка сочленяется со стенкой, поскольку здесь возникают значительные как нормальные, так и касательные напряжения. [c.221]

Момент внутренней пары, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, называется изгибающим моментом. Изгибающий момент поворачивает это сечение относительно смежного, чем и обусловлено искривление оси балки, т. е. изгиб ее. [c.146]

Вследствие деформации сдвига плоские до изгиба поперечные сечения не остаются плоскими, как при чистом изгибе, а искривляются. На рис. 135 показаны искривления поперечных сечений. Там, где касательные напряжения достигают максимальных значений, получается и наибольший сдвиг волокна, наиболее удаленные от нейтрального слоя, не имеют касательных напряжений, поэтому там сдвига не происходит, и кривые тп остаются перпендикулярными к поверхностям балки. [c.235]

Картину деформации бруса при поперечном изгибе удобнее всего наблюдать на резиновой модели с нанесенной на ее боковые поверхности прямоугольной сеткой. Как показывает опыт, при нагружении бруса прямоугольная сетка искажается изменяются как размеры сторон прямоугольников, так и его углы. Причем угловая деформация, вызванная поперечной силой, по высоте сечения распределяется неравномерно достигает наибольшей величины у слоя, совпадающего с осью балки и падает до нуля в наружном слое (рис. 135). Отсюда следует, что гипотеза плоских сечений здесь не выполняется. Однако искривление поперечных сечений не сказывается на законе распределения нормальных напряжений и их величине. Поэтому считают, что нормальные напряжения при поперечном изгибе. меняются по тому же закону, что и при чистом изгибе, и могут быть определены по формуле (17.10) [c.164]

Искривление плоскости поперечного сечения балки вследствие неодинаковости в различных точках поперечного сечения сдвига при изгибе. Представим себе элемент балки между сечениями с координатами г и гЦ-йг. Распределение касательных напряжений, возникающих при поперечном изгибе балки по высоте поперечного сечения ее, неравномерное. Если элемент балки (рис. 12.32) мысленно разбить на бесконечно тонкие пластины, параллельные срединному слою, то каждая из них под влиянием касательных напряжений подвергается сдвигу. Наибольшему сдвигу подвергается пластина, расположенная на уровне нейтрального слоя, так как именно здесь касательные напряжения в поперечном сечении максимальны. Наиболее же удаленные от нейтрального слоя пластины вовсе не подвергаются сдвигу, так как [c.142]

Рис. 12.33. К обоснованию допустимости использования формулы для нормального напряжения в поперечном сечении балки, находящейся в условиях чистого изгиба, при выводе формулы для касательного напряжения при поперечном изгибе несмотря на искривление поперечных сечений при поперечном изгибе балки, относительные удлинения волокон подчиняются линейному или близкому к нему закону, вследствие чего формула (12.5) для остается такою же как и при чистом изгибе, где сечения сохраняются плоскими. В этой иллюстрации для простоты пояснения сдвиг полосок не показан.

При искривлении сечений в условиях переменной вдоль оси г поперечной силы (изгиб балки на двух опорах равномерно распределенной нагрузкой) оказывается нелинейной функцией (формула (12.79)), однако отклонение ее от линейной незначительно. Чтобы доказать это утверждение, оценим удельный вес подчеркнутого нелинейного относительно у члена в общей величине выражения в фигурных скобках в формуле для (12.79). В табл. 12.1 приведен процент, составляемый нелинейным членом, а также последним членом от всего значения выражения, стоящего в фигурных скобках в формуле для (12.79). С целью перехода к безразмерным величинам все члены в скобках разделены на П. Из таблицы становится очевидной возможность использования формулы (12.10) для о и при искривлении поперечных сечений вследствие неравномерности сдвига по высоте балки. Только вблизи торцов влияние нелинейного члена становится большим. Сказанным подтверждается утверждение, сделанное в разделе 8 12.6 о целесообразности отказа от гипотезы плоских сечений в пользу гипотезы о постоянстве вдоль оси балки депланации сечений. [c.163]

Кроме того, формулу (8.15) можно применять для вычисления нормальных напряжений в балках, нагруженных по схеме так называемого поперечного плоского изгиба, когда поперечная сила Qy не равна нулю. В этом случае поперечные сечения балки не остаются плоскими, они несколько искривляются. Характер такого искривления будет показан ниже, в гл. 10. Однако, повторяем, закон распределения нормальных напряжений (8.15) по сечению остается в силе. [c.152]

Искривление поперечных сечений можно наглядно продемонстрировать на примере изгиба консольной балки прямоугольного сечения из резины, вызванного приложенной на конце сосредоточенной силой (рис. 7.32). Если предварительно на боковых гранях нанести прямые линии, перпендикулярные к оси балки, то после изгиба эти линии не остаются прямыми. При этом они искривляются так, что наибольший сдвиг имеет место около нейтрального слоя. [c.137]

Величина момента инерции характеризует способность балки сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы поперечного сечения балки. Модуль упругости Е характеризует ту же способность балки сопротивляться искривлению, но уже в зависимости от материала балки. Произведение EJ называется жесткостью балки при изгибе, и чем оно больше, тем меньше искривится балка при действии данного изгибающего момента. [c.222]

Произвольная постоянная й равна нулю. Искривленное поперечное сечение, соответствующее закрепленному концу балки, займет положение, представленное на рис. 19, а, и прогиб балки на свободном конце представится формулой [c.82]

Ось бруса лежит в нейтральном слое, а значит, при изгибе ее длина не изменяется. Следовательно, горизонтальные перемещения отдельных точек оси (центров тяжести поперечных сечений балки) получаются за счет ее искривления. При малых деформациях упругая линия представляет собой весьма пологую кривую, поэтому горизонтальные перемещения по сравнению с вертикальными ничтожно малы и ими пренебрегают. [c.276]

Формула (81) выведена для случая чистого изгиба, при котором поперечные сечения балки остаются плоскими и после деформации. В случае поперечного изгиба сечения испытывают сдвиг, обусловленный наличием в них поперечной силы, и искривляются. Значит, Б этом случае допущения, положенные в основу вывода формулы (81), окажутся несправедливыми. Однако искривление сечений и надавливание волокон друг на друга настолько незначительны, что не меняют установленного выше закона распределения деформаций волокон. Поэтому формула (81) может быть применима и для случая плоского поперечного изгиба балки. [c.123]

Угол, составленный касательной к любой точке к изогнутой оси с первоначальным ее положением, условимся обозначать 8- На основании гипотезы плоских сечений, пренебрегая искривлением сечений балки при поперечном изгибе, будем считать, что поперечное сечение балки, проведенное через произвольную точку к первоначальной оси, поворачивается при изгибе балки на тот же угол 6. Следовательно, угол 6 выражает угловое перемещение поперечного сечения балки при изгибе и называется углом поворота сечения балки. Он равен первой производной по г от прогиба в этом сечении, т. е. в = у - [c.146]

Поперечные сечения балки не остаются плоскими они искривляются под влиянием касательных напряжений. Угол наклона к изогнутой осевой линии элементарной площадки поверхности искривленного поперечного сечения у центра тяжести равен [c.337]

Более точное исследование задачи показывает, что Ъ случае, если на балку действует распределенная нагрузка и, следовательно, величина поперечной силы непрерывно меняется по длине балки, то искривление поперечных сечений также не оказывает существенного влияния на деформации продольных волокон от действия [c.107]

Рассмотрим деформацию балки при плоском изгибе. Ось балки (рис. 276) под действием нагрузки, расположенной в одной из главных плоскостей инерции (в плоскости хОу), искривляется в той же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и одновременно получают поступательные перемещения. Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией. На рис. 276 и 277 изогнутая ось изображена цветной кривой линией. [c.289]

Если изгиб происходит с искривлением оси балки в одной из главных це1[тральных плоскостей инерции, например балка изгибается лишь в плоскости Оуг, то этот изгиб называют прямым. В этом случае изгибающий момент М,., как вектор, составляет прямой угол с плоскостью Оуг. Если прямой изгиб происходит при наличии лишь постоянного по длине балки изгибающего момента Мх, то изгиб на этом участке называют чистым. Если прямой изгиб происходит при наличии поперечной силы Qy, то это прямой поперечный изгиб. Если изгиб происходи г с выходом изогнутой оси балки в обе главные центральные плоскости, то такой изгиб называется косым. Он может быть чистым косым изгибом, если отсутствует поперечная нагрузка, и пространственным поперечным изгибом, если происходит при действии поперечной нагрузки. Обычно косой изгиб представляют как наложение двух прямых изгибов. Для того чтобы на каком-либо участке длины балки имел место изгиб, в поперечном сечении должен быть отличен от нуля по крайней мере один из внутренних изгибающих моментов [c.227]

Вместе с тем, вследствие поперечной деформации сечение балки несколько искажается, а нейтральная ось искривляется (рис. 150, в), что приводит к дополнительному искривлению и нейтрального слоя, приобретающего двоякую кривизну. Однако по малости упругих деформаций этими искажениями пренебрегают нейтральную ось в каждом поперечном сечении считают прямой линией, а нейтральный слой — цилиндрической поверхностью. [c.217]

Естественно изогнутая и закрученная тонкая балка рассматривается в классической задаче теории упругости [1]. В качестве основы для приближенного- решения этой задачи можно применить принцип виртуальной работы, причем для описания искривленной оси балки и двух искривленных поверхностей, образованных огибающими главных осей поперечных сечений, удобно использовать криволинейную систему координат [27—28]. Для этой задачи были предложены вариационные формулировки, и работа [29] является одной из последних работ в этой области. [c.208]

Сдвиг в балках. Хотя принимается, что величина касательных напряжений постоянна по ширине сечения, тем не менее она меняется по высоте сечения в соответствии с изменением дополнительной поперечной силы, возникаюш,ей вследствие поперечных сдвигов, происходящих под действием внешних нагрузок. Лучше всего концепцию дополнительного поперечного сдвига можно усвоить, если рассмотреть рис. 3.7, в котором искривленная балка представлена в виде поперечных и продольных слоев. На рис. 3.8 приведен элемент балки, вырезанный с помощью поперечных сечений. Путем пересечения этого элемента продольной плоскостью, лежащей на расстоянии у от нейтральной оси, получено сечение, площадь которого заштрихована. В заштрихованной плоскости сечения возникает напряжение изгиба о = МуИ отсюда продольная сила, действующая на элементарную площадку, будет равна обЛ, а сила, приходящаяся на всю заштрихованную область, [c.78]

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные перемещения, а поперечные сечения совершают повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона ф, касательной к изогнутой оси балки (рис. 5.23). [c.100]

Балки, работающие на изгиб, на практике предпочитают брать двутаврового профиля, так как такой профиль при сравнительно небольшой затрате материала имеет большой момент сопротивления изгибу и большой момент инерции поперечного сечения, по которым балка рассчитывается при обычной нагрузке, когда плоскость действия внешних сил совпадает со срединной плоскостью вертикальной стенки двутавровой балки. Зато момент инерции для главной оси, перпендикулярной к этой плоскости, у поперечного сечения двутавровой балки сравнительно незначителен, во всяком случае у балок с высокой вертикальной стенкой разница между обоими моментами инерции очень велика. Поэтому, как это следует из выводов предыдущего параграфа, в данном случае осуществлена предпосылка для возможности перехода плоской формы равновесия изгиба двутавровой балки в искривленную. [c.335]

Если бы мы принимали во внимание только вертикальную стенку балки, то предположения предыдущего параграфа были бы выполнены полностью. Но не принимать во внимание горизонтальных полок нельзя, так как они в рассматриваемом явлении играют существенную роль. Мы на основании предыдущего знаем, что при переходе плоской формы равновесия в искривленную кроме изгиба приходится учитывать и кручение. В шестой главе мы уже детально занимались кручением прокатных балок и в 70 нашли удобное приближенное решение для двутавровой балки. Но в задаче об устойчивости плоской формы равновесия при изгибе кручение следует рассматривать совершающимся при других граничных условиях на концах балки, чем в случае чистого кручения. Как и в предыдущем параграфе, мы рассмотрим случай балки, защемленной одним концом. Если бы на свободном конце такой балки действовал крутящий момент, ось которого совпадала бы с осью балки, то мы не получили бы случая чистого кручения, так как на защемленном конце поперечное сечение вынуждено оставаться плоским, в то время как в случае чистого кручения оно перекашивалось бы ). Чтобы осуществить такие граничные условия в точности, можно поступить так воспрепятствовать повороту обоих концов балки около оси ее, а к среднему сечению приложить некоторый момент. Тогда вследствие симметрии среднее поперечное сечение будет оставаться плоским. Само собой разумеется, что сказанное относится к балке любого сечения. В предыдущем параграфе в случае прямоугольного сечения мы это обстоятельство оставляли без внимания, так как там оно большого влияния не оказывало. В случае же двутавровой балки дело обстоит иначе. Сохранение плоской формы концевого сечения имеет здесь потому большее влияние на угол закручивания балки, который получается от действия на свободный конец крутящего момента, что в силу рассматриваемого граничного условия горизонтальные полки, особенно вблизи места защемления, работают на изгиб. Подобный случай кручения стержня эллиптического сечения при [c.335]

Если плоскость действия сил, к которым сводится нагрузка на балку, не проходит через линию, соединяющую центры изгиба сечений, то балка подвергается не только изгибу, но и кручению парами сил, моменты которых, вообще говоря, меняются по ее длине. Вследствие этого в сечениях балки появляются дополнительные касательные напряжения. С другой стороны, как известно, кручение стержней любого сечения, кроме круглого, сопровождается искривлением сечений. Ввиду переменности крутящего момента по длине балки, а также ввиду препятствий искривлению концевых сечений при их заделке, искривления различных сечений оказываются различными. Мы встречаемся с неравномерным или стесненным кручением, называемым так в отличие от равномерного или свободного кручения, при котором крутящие моменты постоянны по длине стержня и поперечные сечения могут свободно искривляться. [c.293]

Для осуществления проверки жесткости балок необходимо уметь находить наибольшие перемещения точек оси балки как линейные, так и угловые. Рассмотрим изогнутую или искривленную ось балки. Пусть на балке (рис. 122), защемленной правым концом, на левом, свободном конце действует вертикальная сила Р и пара сил моментом Жо. Сила Р дает начальную поперечную силу Q = Р. Вдоль первоначальной оси балки направим координатную ось ОХ, положительное направление которой принимаем вправо. Положительное направление вертикальной оси ОУ считаем вверх, как ранее для поперечной силы. Под действием нагрузки ось балки ОА искривляется и занимает новое положение О А. Деформированная ось называется изогнутой осью, или упругой линией, так как искривление оси вызвано упругой деформацией. Ординату изогнутой оси в произвольной точке К на расстоянии х от начала координат обозначим через у и назовем прогибом в точке К-, ее будем принимать положительной при направлении вверх, вдоль положительного направления оси ОУ. В действительности, перемещение КК, произвольной точки оси будет наклонным, но при действии вертикальной нагрузки, расположенной в вертикальной главной плоскости сечения балки, [c.191]

В последующих работах постановка этой задачи уточнялась тем, что при составлении уравнения движения балки принимались во внимание инерция вращения, искривление нонеречного сечения и поперечный сдвиг. [c.15]

Деформация повлечет за собой некоторое искривление плоских оснований пластинки. Однако вследствие малой толщины пластинки искривление это будет весьма малым. Например, возьмем случай чистого изгиба прямоугольной балки, рассмотренный в 33. Свободные от нагрузки боковые ребра поперечного сечения наклоняются на угол (рис. 44, бу, однако из формулы (5.31) 33 видно, что угол этот пропорционален ширине балки Ь значит, [c.141]

Волокна, которые при искривлении не изменяют своей длины, образуют нейтральный слой. Пересечение нейтрального слоя поперечным сечением балки называется нейтральной осью сечения. Внутренние усилия в данном сечении при изгибе — изгибающие моменты и поперечные силы — определяются методом сечений из рассмотрения равновесия оставленной части бруса. Изгибающим моментом в данном сече1 ии называется сумма моментов всех внешщих сил, находшцихся одну сторону от сечения, относительно центра тяжести этого сечения. Изгибающий момент считается положительным, если он изгибает балку выпуклостью вниз (слева от сечения по часовой стрелке, справа — против), [c.78]

Введем понятие о характерных перемещениях, которыми фикстуется положение произвольного поперечного сечения балки при изгибе. Рассмотрим изгиб стержня в одной из главных плоскостей, например в плоскости уг (рис. 8.1, а). Как показывает опыт, резные стержни, работающие в составе строительных конструкций, испытывают очень малые искривления (///=10". ..10 ). Основной вклад в создание этих деформаций вносят изгибающие моменты, вызывающие искривление каждого элемента балки длиной дг на угол д<р (рис. 8.1, б). Поперечные силы Qy создают у элементов деформации сдвига, [c.225]

Во всех приведенных выше рассуждениях предполагалось, что поперечные сечения балки могут свободно искривляться, как показано на рис. 151. Равномерно нагруженная балка представляет случай, в кбтором это условие приблизительно удовлетворяется. Поперечная сила в середине такой балки равна нулю и здесь нет никакого искривления. Искривление постепенно увеличивается с увеличением поперечной силы по длине балки от середины к левому и правому-концам. Следовательно, условие симметрии деформации относительно середины удовлетворяется.. Рассмотрим теперь изгиб сосредоточенной нагрузкой посередине. Из условия симметрии среднее поперечное сечение балки должцо остаться плоским. В то же самое время смежные поперечные сечения справа и слева от нагрузки ёоспринимают поперечную силу, равную Р/2, и должно иметь место искривление поперечных сечений, вызванное этими поперечными силами. Однако из условий непрерывности деформаций не может быть резкого изменения от плоского среднего сечения к искривленным смежным сечениям. [c.153]

Решение задачи об изгибе консоли (раздел 2 настоящего параграфа) показало, что, если поперечная сила во всех поперечных сечениях одинакова (Qy = onst), то одинаковыми оказываются и возникающие в результате деформации искривления (деплана-ции) всех поперечных сечений. При этом функция оказывается линейной и точно такою же как и в условиях применения гипотезы плоских сечений. Если же Qy ф. onst, то, как показало решение задачи об изгибе балки на двух опорах равномерно распределенной нагрузкой (раздел 3 настоящего параграфа), искривления (депланация) поперечных сечений не одинакова по длине балки, но мало изменяется при переходе от одного сечения к другому и функция вследствие этого отличается от линейной несущественно. [c.165]

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При прямом изгибе ось балки превращается в плоскую кривую, )асположенную в плоскости действия поперечных нагрузок. "Ipn этом точки оси получают поперечные перемещения или прогибы V, а поперечные сечения поворачиваются относительно своих нейтральных осей (рис. 9.1). Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона ф касательной к изогнутой оси балки. Прогибы и углы поворота в балках часто называются линейными и угловыми перемещениями. [c.183]

Для вычисления нормальных напряжений при изгибе мы до сих пор пользовались формулой a=MzUy. Однако нормальные напряжения в каком-либо сечении балки полностью определяются по этой формуле только в случае плоского изгиба ), когда искривление оси балки происходит в плоскости действия сил и нейтральной осью является главная ось инерции поперечного сечения, перпендикулярная к плоскости нагрузки. [c.355]

Этот результат представляет собой случай изгиба пластинок, исиользоваиный впоследствии А. Надаи для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба ), предложенной Кирхгоффом. О другой интересной краевой задаче упоминается н Натуральной философии Томсона—Тэйта. Здесь сообщается по этому поводу До сих пор, к сожалению, математикам не удалось решить, а возможно, что они даже и не пытались решать, прекрасную задачу об изгибании широкой, весьма тонкой полосы (подобной, например, часовой пружине) в круговое кольцо ). Лэмб исследовал антикластический изгиб по краю тонкой полосы ) и достиг большого прогресса в решении задачи о балке ). Рассматривая бесконечно длинную балку узкого прямоугольного сечения, нагруженную через равные интервалы равными сосредоточенными силами, действующими поочередно вверх и вниз, он упростил решение двумерной задачи а для некоторых случаев получил уравнения кривых прогиба. Таким путем было показано, что элементарная теория изгиба Бернулли достаточно точна, если высота сечения балки мала в сравнении с ее длиной. При этом было также показано, что поправка на поперечную силу, даваемая элементарной теорией Рэнкина и Грасхофа, несколько преувеличена и должна быть снижена до 75% от рекомендуемого этой теорией значения. Надлежит упомянуть также и о труде Лэмба, посвященном теории колебаний упругих сфер ) и распространению упругих волн по поверхности полубесконечного тела ), а также в теле, ограниченном двумя плоскими гранями ). Он изложил также и теорию колебаний естественно искривленного стержня ). Особый интерес для инженеров представляет его и Р. В. Саусвелла трактовка колебаний круглого диска ). [c.407]

В ряде технических задач приходится иметь дело с изгибом пластинок по цилиндрической поверхности. Если, например, пластинка оперта на прямоугольный контур, у которого одна сторона весьма велика по сравнению с другой и на пластинку действует нагрузка, распределение которой не изменяется в направлении длинной стороны контура, то в частях пластинки, удаленных от коротких сторон контура, искривленную поверхность мы можел без особых погрешностей принимать за поверхность цилиндра, образующие которого параллельны длинным сторонам контура. В таком случае мы можем при исследовании изгиба ограничиться рассмотрением одной элементарной полоски, выделяемой из пластинки двумя плоскостями, перпендикулярными к длинной стороне контура и удаленными на расстояние 1 см друг от друга (рис. 84), и привести задачу к исследованию изгиба балки-полоски прямоугольного поперечного сечения 1 X й см . При этом исследовании мы можем воспользоваться уже известными результатами, полученными для балок ( 11—13). [c.365]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...