Обратная решетка решетки Бравэ

См. также Кристаллические системы Типы решеток Бравэ Решетка обратная см. Обратная решетка Решетка прямая 195 Решетка с базисом 186, 87 [c.438]

Определить, у каких из 14 решеток Бравэ обратная решетка не относится к тому же типу, что и прямая. [c.19]

Возьмем множество точек R, составляющее решетку Бравэ, и плоскую волну При произвольном к такая волна, конечно, не имеет периодичности решетки Бравэ, однако она может иметь ее при определенном выборе волнового вектора. Множество волновых векторов К называют обратной решеткой, если плоская волна с к = К имеет периодичность данной решетки Бравэ. Аналитически это означает, что К принадлежит обратной решетке данной решетки Бравэ с точками R, если для любого г и всех R из решетки Бравэ справедливо равенство [c.95]

Заметим, что обратная решетка определена обязательно по отношению к некоторой конкретной решетке Бравэ. Решетку Бравэ, соответствующую данной обратной решетке, принято называть прямой решеткой. Подчеркнем также, что хотя набор векторов К, удовлетворяющих условию (5.2), можно [c.95]

ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА КАК РЕШЕТКА БРАВЭ [c.96]

То обстоятельство, что обратная решетка представляет собой решетку Бравэ, наиболее непосредственно следует из определения решетки Бравэ, приведенного в примечании на стр. 82, если заметить, что, когда векторы Кх и К2 удовлетворяют условию (5.2), ему удовлетворяет также сумма и разность этих векторов. [c.96]

В частности, если имеется решетка с базисом, то используют обратную решетку, относящуюся к соответствующей решетке Бравэ, а не набор векторов К, который удовлетворял бы условию (5,2) для всех векторов К, описывающих как решетку Бравэ, так и точки оазиса. [c.96]

Обратная решетка сама является решеткой Бравэ, поэтому можно построить ее обратную решетку. Оказывается, что она представляет собой просто исходную прямую решетку. [c.97]

Обратной решеткой по отношению к простой кубической решетке Бравэ, сторона кубической элементарной ячейки которой равна а, является простая кубическая решетка с кубической элементарной ячейкой со стороной 2п а. Это видно, иапример, из построения (5.3), поскольку, если [c.97]

Для гранецентрированной кубической решетки Бравэ со стороной условной кубической ячейки а обратной решеткой является объемноцентрированная кубическая решетка со стороной условной кубической ячейки 4л/д. Это можно показать, применяя построение (5.3) к основным векторам (4.5) гранецентрированной кубической решетки. Б результате получаем [c.97]

Фиг. 5.1. а — основные векторы для простой гексагональной решетки Бравэ б — основные векторы для решетки, обратной той, которая порождена основными векторами [c.98]

Г. п. у. структура не является решеткой Бравэ, поэтому при изучении твердых тел с такой структурой используют решетку, являющуюся обратной к простой гексагональной (см. примечание 1 на стр. 96). [c.98]

Семейством атомных плоскостей решетки мы называем множество параллельных равноотстоящих друг от друга атомных плоскостей, которые в совокупности содержат все точки трехмерной решетки Бравэ. Любая атомная плоскость является членом какого-либо семейства. Очевидно, разбиение решетки Бравэ на семейство атомных плоскостей далеко не однозначно (см. фиг. 5.3). Обратная решетка позволяет очень просто классифицировать всевозможные семейства атомных плоскостей. Классификация основана на следующей теореме [c.99]

Эта теорема непосредственно следует, во-первых, из определения (5.2) векторов обратной решетки как волновых векторов таких плоских волн, которые обращаются в единицу на всех узлах решетки Бравэ, и, во-вторых, из того [c.100]

В простой кубической решетке Бравэ обратная решетка также является простой кубической и индексы Миллера служат координатами вектора нормали к плоскости, взятыми в выбранной очевидным образом кубической координатной системе. Г. ц. к. и о. ц. к. решетки Бравэ обычно описывают с помощью условной кубической ячейки, т. е. как простые кубические решетки с базисами. Поскольку каждая атомная плоскость в г. ц. к. и о. ц. к. решетках представляет собой также атомную плоскость соответствующей простой кубической решетки, для обозначения атомных плоскостей можно воспользоваться тем же способом задания индексов, что и в простой кубической решетке. На практике только при рассмотрении некубических кристаллов существенно, что индексы Миллера представляют собой координаты нормали в системе, определяемой не прямой, а обратной решеткой. [c.101]

Докажите, что любой вектор К обратной решетки является целым кратным наименьшего из параллельных ему векторов обратной решетки Kq. (Указание. Предположите обратное и покажите, что, поскольку обратная решетка является решеткой Бравэ, должен суш,ество-вать вектор обратной решетки, параллельный К и меньший Ко-) [c.103]

Иногда удобно иметь другую формулировку условия Лауэ, в которой используется лишь волновой вектор к падающего луча. Для этого заметим прежде всего, что обратная решетка является решеткой Бравэ, а поэтому, если к — к — вектор обратной решетки, то таким вектором является и к — к. Обозначая последний как К, мы можем записать условие равенства длины векторов к и к в виде [c.107]

Это следует элементарно из того, что обратная решетка является решеткой Бравэ. См. гл. 5, задачу 4. [c.108]

Мы видим, что с точками простой кубической обратной решетки, сумма координат которых относительно кубических основных векторов нечетна, в действительности не связано никакого брэгговского отражения. Таким образом, простая кубическая обратная решетка превраш,ается в г.ц.к. структуру, которая получалась бы, если бы мы рассматривали о. ц. к. прямую решетку не как решетку с базисом, а как решетку Бравэ (фиг. 6.11). [c.115]

В гл. 4 и 5 мы описывали и использовали только трансляционную симметрию решеток Бравэ. Например, суш ествование и важнейшие свойства обратной решетки зависят лишь от суш,ествования тройки основных векторов аг прямой решетки, а не от выполнения каких-либо особых соотношений между ними ). Несомненно, трансляционная симметрия имеет наибольшее значение для обш ей теории твердого тела. Тем не менее из уже описанных примеров видно, что в основе естественного разделения решеток Бравэ по классам должна все же лежать не трансляционная, а какая-то иная симметрия. Так, независимо от величины отношения с а простые гексагональные решетки Бравэ гораздо более походят друг на друга, чем на любую кубическую решетку Бравэ из трех описанных типов. [c.119]

У каких из четырнадцати решеток Бравэ, кроме г.ц.к. и о.ц.к., обратные решетки не относятся к тому же самому типу [c.137]

Начнем с общего замечания, что плоские волны образуют полный набор функций, по которому может быть разложена любая функция (удовлетворяющая определенным условиям регулярности) ). Если функция / (г) имеет периодичность решетки Бравэ, т. е., если / (гН- К) = / (г) для любого г и всех К из решетки Бравэ, то в разложении могут присутствовать только плоские волны, обладающие периодичностью решетки Бравэ. Поскольку совокупность волновых векторов, отвечающих плоским волнам с периодичностью решетки, образует обратную решетку, разложение по плоским волнам для функции, периодичной в прямой решетке, имеет вид [c.376]

Следовательно, сумма должна быть равна нулю, если только экспонента не равна единице для всех Ко вида (Е.2), т. е. для всех векторов Ко решетки Бравэ. Это возможно лишь в том случае, когда к — вектор обратной решетки. Но единственный вектор обратной решетки в первой зоне Бриллюэна есть к =3 О ). Поэтому левая сторона равенства (Е.1) действительно обращается в нуль при к О и тривиально равна ТУ при к = 0. [c.381]

Простая гексагональная решетка Бравэ I 88 решетка, обратная к ней 198 связь с ромбической решеткой 1127 (с) [c.435]

Из полученных результатов следует, что прямая и обратная решетки взаимно сопряжены. Решетка, обратная обратной, есть просто исходная прямая решетка. Каждый узел [ [hkl] ] обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl) прямой решетки. Необходимо иметь в виду, что обратная решетка в кристаллографии строится по отношению к конкретной решетке Бравэ и сама является решеткой Бравэ. Так, для простой кубической ячейки Бравэ обратной решеткой является решетка, описываемая простой кубической элементарной ячейкой со стороной 1/а, где а — параметр прямой ячейки. Обратная к гра-нецентрированноп есть объемно-центрированная решетка, а прямой объемно-центрированной решетке соответствует обратная гра-нецентрированная. Вектор обратной решетки = [c.26]

В структуре s I величина D = a . В координатной системе, оси которой совпадают с осями куба, базисные векторы прямой решетки Бравэ л,- и обратной решетки равны [c.121]

Таким образом, мы видим, что векторы Ki равны произведению 2л на обратные высоты элементарной ячейки. Взяв и Л", в качестве базисных векторов, мы можем построить так называемую обратную решетку. Итак, обратная решетка целиком определяется трансляционными свойствами рассматриваемого кристалла (векторами a ), т. е. его решеткой Бравэ, и имеет те же свойства симметрии. Но, как известно, могут быть разные решетки Бравэ с одной и той же симметрией. Соответствие решетки Бравэ и обратной решетки таково если решетка Бравэ — объемноцентрированная, то обратная решетка будет гранецент-рированной, и наоборот решетке Бравэ с центрированными основаниями соответствует обратная решетка с центрированными основаниями. [c.11]

В большинстве случаев обратная решетка вграет важную роль при анализе периодических структур. К ней приходится обраш аться в таких разных задачах, как теория дифракции в кристалле и абстрактное исследование функций с периодичностью решетки Бравэ или при решении вопроса о том, что остается от закона сохранения импульса, когда полная трансляционная симметрия свободного пространства снижается до симметрии периодического потенциала. Настоящая короткая глава посвящена общему описанию ряда важных элементарных свойств обратной решетки, без связи с какими-либо конкретными приложениями. [c.95]

Мы оставляем читателю в качестве упражнения (см. задачу 2) проверку того, что решетка, обратная к простой гексагональной решетке Бравэ с постоянными решетки с и а (фиг. 5.1, а), есть также простая гексагональная решетка с постоянными решетки 2л1с и 4я/]/ а (фиг. 5.1, б), повернутая на 30° вокруг с-оси по отношению к прямой решетке ). [c.98]

Докажем вначале первую часть теоремы. Пусть дано некоторое семейство плоскостей решетки и п — единичный вектор нормали к плоскостям. Тогда К = 2пп й является вектором обратной решетки это следует из того, что плоская волна постоянна в плоскостях, перпендикулярных вектору К, и имеет одинаковое значение в плоскостях, отстоящих друг от друга на расстояние Я = 2п К = с . Так как одна из атомных плоскостей содержит точку г = О в решетке Бравэ, величина должна быть равна единице для любой точки г на любой из этих плоскостей. Поскольку такие плоскости содержат все точки решетки Бравэ, то = 1 для всех К и К действительно представляет собой вектор обратной решетки. Кроме того, вектор К является наименьшим вектором обратной решетки, перпендикулярным данным плоскостям, поскольку любой вектор, имеющий меньшую величину, чем К, давал бы плоскую волну с длиной волны больше 2п1К й. Такая плоская волна не будет иметь одинакового значения во всех плоскостях семейства, а поэтому не может представлять собой плоскую волну, обращающуюся в единицу во всех точках решетки Бравэ. [c.100]

Докажем обратное утверждение теоремы. Пусть дан некоторый вектор обратной решетки, и пусть К — наименьший параллельный ему вектор обратной решетки. Рассмотрим множество таких плоскостей в реальном пространстве, на которых плоская волна имеет значение, равное единице. Эти плоскости (одна из которых содержит точку г = 0) перпендикулярны вектору К и отстоят друг от друга на расстояние с = 2п1К. Так как любой из векторов К решетки Бравэ удовлетворяет условию = 1 для каждого вектора обрат- [c.100]

Поскольку обратную решетку, соответствуюш ую данной решетке Бравэ, гораздо легче и нагляднее представлять, чем множество всевозможных плоскостей, на которые можно разбить решетку Бравэ, на практике для нахождения дифракционных максимумов гораздо прош е пользоваться условием Лауэ, а не условием Брэгга. В остающейся части главы мы применим условие Лауэ для описания трех наиболее важных методов рентгеновского кристаллографического анализа реальных образцов и обсудим, каким образом можно получить информацию не только о решетке Бравэ, но и о расположении ионов в отдельной элементарной ячейке. [c.109]

Таким образом, измеряя углы ф, при которых наблюдаются брэгговские отражения, можно определить длины всех векторов обратной решетки, меньшие 2к. Располагая этой информацией, а также сведениями о макроскопической симметрии кристалла и учитывая, что обратная решетка является решеткой Бравэ, обьлно удается построить саму обратную решетку (см., например, задачу 1). [c.113]

Объ емн оцеи три р ова н п а я кубическая ретешка, рас-смашриваемая как простая кубическая решетка с базисом. О.ц.к. решетка представляет собой решетку Бравэ, поэтому, как мы знаем, брэгговские отражения должны наблюдаться в случае, если изменение К волнового вектора является вектором обратной г. ц. к. решетки. Иногда, однако, удобно рассматривать о. ц. к. решетку как простую кубическую решетку, которая порождается основными векторами ах, ау, ах и имеет двухточечный базис, состоящий из точек (11 = О и d2 = (а/2) (х + у -1- /). В таком случае обратная решетка также является простой кубической и имеет кубическую ячейку со стороной длиной 2п а. Однако теперь каждому брэгговскому отражению соответствует свой структурный фактор к- Тогда из (6.13) следует, что [c.114]

Моноашомная ретешка типа алмаза. Моноатомная решетка типа алмаза (углерод, кремний, германий и серое олово) не является решеткой Бравэ и должна быть описана как решетка с базисом. В основе ее лежит г. ц. к. решетка Бравэ, а в качестве базиса можно взять точки dl=0 и d2=(fl/4)(x- -y- -z), где векторы х, у, г направлены по осям куба и а — сторона условной кубической ячейки. Обратная решетка [c.115]

Формулы (Г.1) и (Г.2) используются в разных целях. Их можво применять непосредственно для функций в реальном пространстве с периодичностью решетки Бравэ кристалла, а также для функций в -пространстве, которые имеют периодичность обратной решетки. В последнем случае, замечая, что обратной к обратной является прямая решетка и что объем примитивной ячейки оГ ратной решетки равен (2я) /у, мы можем записать (Г.1) и (Г.2) в виде " [c.377]

Простая кубическая решетка Бравэ 178 координационное число I 83 примеры химических элементов I 82 решетка, обратная к ней 197 решеточная сумма 1301 упаковочный множитель 194 Простая моноклинная решетка Бравэ 1125, 126 Простая тетрагональная решетка Бравэ 1123, 124 Пространственные группы 1120 количество 1127, 133 симморфные и несимморфные 1134 [c.435]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...