Решетки Бравэ операции симметрии

Как было видно в гл. 1, кристаллическая решетка помимо точечной симметрии обладает и трансляционной симметрией. Это означает, что решетка преобразуется в себя и с помощью преобразований, отвечающих точечной группе симметрии, и с помощью трансляционного переноса. Полная группа движений, совмещающих решетку с собой, содержащая и операции точечной симметрии и переносы, называется группой Бравэ, бесконечная решетка, выводимая из одной точки группой Бравэ — решеткой Бравэ [1. 24]. [c.147]

Пространственные решетки (ПР), или решетки Брава, — наиболее общий (абстрактный) образ внутреннего строения кристалла (рис. 5. I). ПР получаем, если исключим все особенности химической природы составляющих его частиц — форму, размер и состав молекул,, атомов или ионов и вместо частиц будем рассматривать точки (узлы решет и) — центры тяжести частиц. По взаимному расположению узлов ПР все многообразие кристаллов сводится к 14 типам. ПР, или решетка Бравэ, характеризуется прежде всего группой трансляций (три) или параллелепипедом повторяемости — элементарной ячейкой (ЭЯ) (см. рис. 5.1). Параллельным переносом (трансляцией) элементарной ячейки в трехмерном пространстве и строят ПР. Трансляция — одна из операций симметрии, поэтому решетки Бравэ можно называть также трансляционными группами . Симметрия относительного располо- [c.95]

Помимо трансляций существуют еще и другие операции симметрии, которые переводят кристалл в себя. Инверсия решетки Бравэ относительно любого узла оставляет ее инвариантной и может преобразовывать кристалл в себя. Всевозможные вращения, отражения или зеркальные повороты также могут переводить кристалл в себя. Совокупность всех операций — вращений, отражений, трансляций, зеркальных поворотов и их комбинаций — называется пространственной группой кристалла. Пространственная группа содержит все операции симметрии, которые переводят кристалл в себя. [c.18]

В число операций группы симметрии решетки Бравэ входят все трансляции на векторы решетки. Кроме того, в нее в обш,ем случае входят также повороты, отражения и инверсии ), которые переводят решетку в саму себе. Например, простая кубическая решетка Бравэ переходит в саму себя при повороте на 90° вокруг любой прямой, содержащей точки решетки и имеющей направление [c.120]

Любую операцию симметрии решетки Бравэ можно построить из трансляции Тк на вектор К решетки и жесткой операции, оставляющей неподвижной по крайней мере одну из точек решетки ). Это не столь очевидно. Например, простая кубическая решетка Бравэ переходит в себя при повороте на 90° вокруг оси (100), проходящей через центр кубической элементарной ячейки, в которой точки решетки размещены в восьми вершинах куба. Такая жесткая операция не оставляет неподвижной ни одну из точек решетки. Ее, однако, можно построить из трансляции иа вектор решетки Бравэ и поворота вокруг определенной прямой, содержащей точки решетки, как это показано на фиг. 7.1. Подобное построение всегда возможно — это видно из следующих рассуждений. [c.121]

Итак, полная группа симметрии решетки Бравэ содержит лишь операции следующего вида [c.121]

При изучении операций симметрии, отличных от трансляционной, часто рассматривают не всю пространственную группу решетки Бравэ, а лишь те операции, которые оставляют неподвижной одну из ее точек (т. е. операции, относящиеся к указанной выше категории 2). Это подмножество полной группы симметрии решетки Бравэ называют точечной группой решетки Бравэ. [c.121]

Эквивалентность двух пространственных групп решетки Бравэ — более тонкое понятие, чем эквивалентность двух точечных групп (хотя они оба и сводятся к понятию изоморфизма в абстрактной теории групп). Операции двух одинаковых пространственных групп могут все же отличаться в несущественных деталях, поэтому нельзя просто сказать, что две пространственные группы эквивалентны, если они содержат одни и те же операции. Например, две простые кубические решетки Бравэ с различными постоянными решетки а та а принято считать имеющими одинаковые пространственные группы, несмотря на то, что в одном случае шаг трансляций равен а, а в другом а. Сходным образом желательно было бы считать, что независимо от значения с/а, которое, очевидно, не влияет на полную симметрию структуры, пространственные группы всех простых гексагональных решеток Бравэ тождественны. [c.122]

Чтобы подойти к решению этой проблемы, заметим, что в подобных задачах всегда можно путем непрерывной деформации перевести структуру заданного типа в другую структуру того же типа, не потеряв при этом ни одной из операций симметрии. Например, все время сохраняя простую кубическую симметрию, можно равномерно растянуть оси куба от а до а. Сохраняя простую гексагональную симметрию, можно вытянуть (или сжать) с-ось (или а-ось). Следовательно, можно сказать, что две решетки Бравэ имеют одинаковую пространственную группу, если путем непрерывной трансформации удается преобразовать одну из них в другую таким образом, чтобы каждая операция симметрии первой решетки непрерывно трансформировалась в операцию симметрии второй из них, а во второй решетке нет ни одной дополнительной операции симметрии, которая не получалась бы так из операции симметрии первой решетки Бравэ. [c.122]

Построение дает двадцать пять новых групп. Каждая из них связана с одной из семи кристаллических систем в соответствии со следующим правилом. Любая группа, построенная путем понижения симметрии объекта, описываемого некоторой кристаллической системой, продолжает принадлежать этой системе до тех пор, пока симметрия не понизится настолько, что все оставшиеся операции симметрии объекта могут быть найдены также и в менее симметричной кристаллической системе когда это происходит, группу симметрии объекта относят к менее симметричной системе. Следовательно, кристаллографическая точечная группа принадлежит к кристаллической системе, обладающей наименьшей симметрией из семи точечных групп решетки Бравэ, содержащих в себе все операции симметрии данной кристаллографической группы ). [c.128]

Понятие иерархии симметрий кристаллических систем требует некоторого разъяснения. На фиг. 7.7 каждая из кристаллических систем обладает более высокой симметрией по сравнению с темп, которых можно достигнуть, двигаясь от нее по направлению стрелок. Иначе говоря, соответствующая точечная группа решетки Бравэ не содержит операций, не имевшихся в группах, пз которых ее можно достигнуть. На первый взгляд такая схема неодно значна, поскольку четыре пары кубическая — гексагональная, тетрагональная — гекса- [c.128]

Если не ограничиваться точечными операциями и рассматривать полную группу симметрии решетки Бравэ, то оказывается, что решетка Бравэ может иметь одну из четырнадцати различных пространственных групп i). Следовательно, с точки зрения симметрии существует четырнадцать видов решеток Бравэ. Впервые их перечислил Франкгейм (1842 г.). Однако Франкгейм ошибся в подсчетах и сообщил о пятнадцати возможных решетках. Бравэ (1845 г.) [первым провел правильный подсчет. [c.122]

Т риклинная система 1). Искажение куба завершится, если наклонить с-ось на фиг. 7.3, г так, чтобы она более не была перпендикулярна двум другим осям. Получающийся в результате объект изображен на фиг. 7.3, д он не должен удовлетворять никаким огранн-чениям, кроме требования параллельности противоположных граней. Искажая таким путем любую из моноклинных решеток Бравэ, можно построить триклин-ную решетку Бравэ. Эта решетка Бравэ порождается тройкой основных векторов, не связанных какими-либо соотношениями, следовательно, она представляет собой решетку Бравэ с минимальной симметрией. Все же триклинная группа не является группой объекта без всякой симметрии, поскольку решетка Бравэ всегда инвариантна относительно инверсии с центром в любой точке решетки. Это, однако, единственная симметрия, требуемая общим определением решетки Бравэ, а следовательно, единственная операция, входящая в триклинную точечную группу ). [c.126]

Операции группы симметрии для решетки Бравэ 1120, 121 Определение фононного спектра из оптических данных II108—111 Оптические моды П 64, 70, 71 в ионных кристаллах П 170—176 в моделях Дебая и Эйнштейна II 89 [c.424]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...