Галеркина оператор

Согласно способу Бубнова — Галеркина, действительную кривую прогиба X (х) заменяют некоторой приближенно выбранной функцией V (х), удовлетворяющей граничным условиям закрепления и ортогональной к исходному дифференциальному оператору. Для этого образовывают интеграл [c.586]

Метод Галеркина основан на минимизации ошибки e=Lu—/ приближенного решения и исходного дифференциального уравнения Ьф—/ = 0, где L — дифференциальный оператор. [c.37]

Замечание 5. Для сходимости метода Бубнова - Галеркина достаточно потребовать полной непрерывности оператора С, положительной определенности оператора А и полноты системы базисных функций принадлежащих области определения операторов А и С (681 [c.184]

Путем подстановки ряда (40) в уравнения (1) с использованием, например, вариационного метода Бубнова — Галеркина можно получить уравнения относительно обобщенных координат. Как правило, при определенных ограничениях, накладываемых на свойства операторов А, В и С, эти уравнения имеют стандартный вид [c.315]

Тензор-оператор М (2.33) назовем оператором Галеркина. Ищем решение уравнения Ламе (1.74) в виде [c.86]

Галеркина вектор 86 оператор 86 [c.362]

Разработанный здесь метод численного определения матричной функции Грина обладает рядом достоинств, позволяющих рекомендовать его к широкому практическому использованию. В нем эффективно преодолевается сильная численная неустойчивость дифференциальных уравнений неклассической теории слоистых оболочек не вызывает никаких затруднений также и переменность коэффициентов этих уравнений. Сам метод матричной функции Грина как метод решения краевых задач механики оболочек имеет известные преимущества перед другими. Так, в нем не возникает проблем, связанных с построением ортогонального координатного базиса, как в методе Бубнова — Галеркина, или с большой размерностью, а часто и плохой обусловленностью алгебраической системы, как в методе конечных разностей. В задачах устойчивости оболочек использование данного метода позволяет легко и естественно учесть такие факторы, как до-критические деформации, неоднородность распределения докритических усилий в отсчетной поверхности оболочки, краевые условия задачи. В то же время число точек разбиения отрезка интегрирования, необходимое для аппроксимации интегрального оператора, относительно невелико, что приводит к алгебраической задаче невысокой размерности. [c.222]

Пусть Ph — проектор из в Хь- На основании теоремы 7.1.4 можно показать, что, если выполняются условия (1.3), (1.4), оператор А обратим и метод Галеркина без возмущений для оператора А сходится, то при условии (1.6) сходится и метод Галерки-ыа с возмущениями. [c.224]

Решение сформулированной задачи получено в [285, 287] при помощи метода Бубнова-Галеркина. Представляя перемещения в виде (9.3) и подставляя их в уравнения движения типа (9.1) с учетом оператора линейной вязкоупругости (9.15), приходим к системе интегродифференциальных уравнений относительно искомых функций времени t [c.498]

Из работ В. А. Бабешко, Е. В. Глушкова и др. [11] известно, что показатель особенности функции д р, ф) при р —) О связан с точками спектра интегрального оператора в одномерном интегральном уравнении контактной задачи. При не слишком малых ск, 3 для нахождения точек спектра используется метод Бубнова-Галеркина, связанный с нахождением корней детерминанта В з) бесконечномерной матрицы. Если В з ) = 0, то д р, ф) е = 3/2 + 3/, (р —> 0). Как показывают расчеты, проведенные при и = 0,3, для задачи а при 2/3 = тг и2а 100° на интервале 8 (-3/2 -1 /2) вблизи точки 5 = -1/2 появляются два дополнительных нуля В(з), которые, если зафиксировать а. и уменьшать угол 2(5, сливаются в двукратный корень, даюш ий особенность вида р С + С2 1пр), а затем сходят с действительной оси и становятся комплексно сопряженными, что приводит к осцилляциям функции контактных давлений при р —> О и отрыву кончика штампа. Для задачи в при достаточно острых углах а замечены нули В з) при [c.186]

Легко усмотреть, что оператор К = 1 Lij представляет определитель квадратной матрицы операторов а Msj — алгебраические дополнения /-Г0 столбца этого определителя. В применении к уравнениям теории упругости в перемещениях для изотропного тела описанное вычисление приводит к решению (1.2) Галеркина — Буссинеска. Очевидно, что способ применим к анизотропной среде, к динамическим уравнениям теории упругости и т. д. [c.9]

При использовании метода Бубнова-Галеркина функцию напряжений (р х,у) выбирают в виде (7.5) или (7.6), представляя ее степенными или тригонометрическими полиномами, которые должны удовлетворять всем заданным граничным условиям. Уравнение равновесия (7.4) представляется в виде оператора [c.98]

В случае областей О со сложной геометрией, когда задачу на собственные значения не удается решить точно, обращаются к методу конечных элементов [226]. Указанный метод основан на том, что дискретизацию исходной краевой задачи можно строить на функциях, лежащих за пределами —области определения оператора Ь. Идея метода состоит в замене пространства конечномерным подпространством пробных функций, лежащих в которое строится следующим образом. Область О делят на части, в каждой из которых прибегают к полиномиальному или даже линейному представлению пробных функций с соблюдением условий непрерывности на границах раздела. В связи с этим уместно отметить, что метод Галеркина применяется и к решению задач на собственные значения Ьи = %и. Идея состоит в использовании отношения Рэлея [c.12]

Если L — линейный оператор, то система (1.47) переходит в систему линейных уравнений относительно коэффициентов а . Заметим, однако, что метод Галеркина в равной степени применим и к нелинейным задачам. [c.19]

Для того чтобы определить естественные граничные условия, соответствующие этому уравнению, умножим его на би и проинтегрируем по частям, применив теорему Гаусса. Подобная процедура ранее выполнилась для уравнении Пуассона (см. пример 1.9). Дифференциальный оператор в уравнении метода Галеркина [c.30]

Рассмотрим В качестве примера формулу метода Галеркина, которую можно записать в виде функции от симметричного оператора О [c.54]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Отметим сразу же, что метод Бубнова — Галеркина переносится без изменения на тот случай, когда А является несамосопряженным оператором, а также интегро-дифференциальным оператором вида, встречающегося в наследственной теории вязкоупругости Больцмана — Вольтерра. [c.214]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Если отыскивается точное решение, систему (16) целесообразно свести к одному уравнению восьмого порядка относительно w. Однако, если используется приближенный метод решения, например метод Галеркина, удобнее ввести обратный дифференциальный оператор, предложенный Батдорфом [29] [c.222]

Приближенное решение, по Галеркину, будем искать в виде (5.2) таким образом, чтобы сумма невдаок уравнения (3.39) и краевого условия (3.39а), которые обозначим соответственно Rq =LT - Qh = IT - q L к I - операторы в соотношениях (3,39) и (3.39а)), была ортогональна ко всем векторам из Ну, с весом Nf(x ). Следуя такому требованию, запишем [c.171]

Связь между методами Бубнова—Галеркина и Ритца. Если координатные функции принадлежат области определения симметричных и положительно определенных операторов А и С, то скалярные и энергетические произведения совпадают (см. гл. IX) [c.184]

Характеристические показатели линейной системы с постоянными параметрами совпадают с собственными значениями линейного оператора этой системы. Если дискретизация системы выполнена на уровне выбора расчетной схемы или она оказалась результатом применении какого-либо метода к распределенной системе (например, метода конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей, Бубнова -Галеркина и др.), то оператор системы будет конечномерным. В принятом базисе этому оператору соответствует некоторая матрица (см. уравнение (7.2.3)]. Свойства этой матрицы зависят от характера внещних воздействий. Напри- [c.486]

Метод Бубнова — Галеркина (см. исторический очерк в [0.11]) возник как видоизменение метода Ритца, связанное с вычислением коэффициентов системы алгебраических уравнений Ритца на основе вариационного уравнения. Позднее было замечено, а затем и доказано, что аналогичным образом можно приближенно решать также и некоторые дифференциальные уравнения, не являющиеся условиями стационарности никакого функционала (краевые задачи для несамосопряженных операторов), т. е. что метод Бубнова — Галеркина является более общим, чем ме- [c.174]

Вопросы численного решения уравнений (3.3.15), (3.3.16) разработаны и представлены в литературе достаточно полно. Укажем, например, на монографии [65, 143, 178, 185, 211, 244], в которых аппарат функционального анализа и теории операторов составил основу исследования и строгого теоретического обоснования таких эффективных численных методов решения уравнения (3.3.15), как метод В. Ритца, И.Г. Бубнова—Б.Г. Галеркина, методы конечных элементов, конечных разностей и др. Методы, ориентированные на задачи устойчивости оболочек, описаны в [104]. Специальные вопросы численного решения краевых задач устойчивости анизотропных оболочек вращения обсуждаются в [19, 20, 144, 289]. Этим вопросам уделено значительное внимание и в настоящей монографии. [c.65]

Пусть X и Y — гильбертовы пространства, / — каноническая нзометрия (оператор Рисса) из Y на двойственное Y пространство У. Метод наименьших квадратов является частным случаем метода Галеркина при условии, что в системе линейных алгебраических уравнений (. 18) [c.198]

Благоприятными свойствами для применения метода Бубнова- -Галеркина обладают ГВИУ с операторами К, М и Z (см. 5 главы 3). В п. 3.5.6 для каждого из этих операторов построены положительно определенные билинейные формы, позволяющие представить соответствующие ГВИУ в вариационной форме. Возникающие в результате применения метода Бубнова — Галеркина дискретные уравнения будут иметь положительно определенные матрицы и будут однозначно разрешимы. [c.245]

Многие исследования посвящены доказательству сходимости этих методов. Показано, что методы Ритца и Бубнова — Галеркина совпадают для но-< ложительно-определенных операторов и что для данного уравнения и данной системы базисных функций при тг оо или все методы сходятся, или все не сходятся в среднем к точному решению. Э. Треффтц предложил приближенный метод, в котором строго удовлетворяются уравнения задачи по приближенным граничным условиям. [c.254]

Этим случаем исчерпьгааются постановки контактных задач при задании различных условий на двух группах штампов системы. Полученные выше формула представляют собой алгоритмизованную реализацию проекционно-спектрального метода, что позволяет непосредственно использовать их при численных расчетах. Следует отметить, что собственные функции (вектор-функции) возникающих операторов, можно строить любым из известных методов [120, 127, 185], не опираясь на разложение ядра К(ж, ) оператора А в двойной ряд (3.11). Однако, информации о коэффициентах разложения достаточно для построения по методу Бубнова-Галеркина собственных функций всех необходимых операторов, и в этом плане она универсальна. К этому добавим, что матрицы бесконечных алгебраических систем спектральных задач в силу всегда симметричны. [c.185]

Можно показать (см., например, [38]), что система уравнений для определения (Я в этом методе совпадает с системой уравнений в методе Ритца. Тем не менее, метод Бубнова — Галеркина имеет более общий характер, так как применим не только к положительно определенному оператору, представляющему исходные дифференциальные уравнения. [c.453]

Выбор естественного базиса в нелинейных задачах, как правило, требует специального рассмотрения. Один из распространенных способов состоит в использовании в качестве базиса собственных функций соответствующей линейной задачи, которая формулируется в результате линеаризации исходной нелинейной системы относительно известного стационарного состояния. В задачах гидродинамики, кроме того, с этой же целью нередко используют собственные функции оператора Лапласа с учетом граничных условий и геометрии области, занимаемой жидкостью. Рассмотрим несколько конкретных примеров применения метода Галеркина в гидродинамике с учетом специфики в постановке задач. Это позволит, в"частности, получить простые малопараметрические динамические системы, играющие важную роль в исследовании различных типов гидродинамической неустойчивости. Уместно также отметить, что метод Галеркина эффективно используется для решения сложных математических проблем статистической гидромеханики, подробное изложение которых содержится в [36 . [c.13]

Метод Ритца дает наилучшую аппроксимацию решения линейного дифференциального уравнения Аи = f в смысле энергетической нормы тогда и только тогда, когда оператор Л — положительно определенный и самосопряженный. Хотя метод Галеркина можно использовать для приближенного решения более широкого класса задач, мы уже не получим наилучшей аппроксимации того же типа. Чтобы получить наилучшую аппроксимацию в несамосопряженных задачах, необходимо переформулировать процедуру аппроксимации и ввести так называемый метод наименьших квадратов. [c.72]

Расчленение оператора позволяет придать исходной задаче различные эквивалентные формулировки, которые могут оказаться удобными для тех или иных целей. В частности, для решения задачи (9.4) могут оказаться эффективными вариационные методы и метод Бубнова — Галеркина [31], на основе мето- [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...