Эйлера шаровой

Пример 54. Рассмотрим качение без скольжения шара по горизонтальной плоскости (рис. 7.2). Положение тара будет определено, если задать координаты а с и уа его центра и три угла Эйлера г[ , О и ф. Условием качения без скольжения будет равенство [c.179]

По теореме 2.12.1 Эйлера о поле скоростей твердого тела найдем абсолютную скорость Уш точки шара, совпадающей с 0 [c.514]

Пример. Прецессия шара, на который не действует момент вращения. Для однородного щара, у которого h =h==h, уравнения Эйлера принимают вид [c.258]

Шар движется по шероховатой горизонтальной плоскости, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью fi. Найти решение уравнений Эйлера. [c.195]

Рассмотрим вначале простейший случай обтекания равномерным потоком идеальной жидкости шарообразного тела (рис. 115). Не обладающая вязкостью идеальная жидкость должна скользить по поверхности шара, полностью обтекая его. Когда шар помещен в поток, то первоначально прямые линии тока вблизи шара окажутся изогнутыми симметрично относительно поверхности шара. В соответствии с уравнением Бернулли распределение давлений тоже будет симметричным, поэтому результирующая сил давления на поверхность шара равна нулю. Такой же результат получается и для тел другой формы. Поэтому и в обратной задаче тело, равномерно движущееся в неподвижной невязкой жидкости, не должно испытывать сопротивления движению (парадокс Эйлера) [c.147]

Пусть и и V — координаты какой-нибудь точки А плоскости Р относительно осей Ох, Оу, Ог. Положение этой плоскости определяется только этими дву.мя параметрами. Положение шара определяется координатами т] ее центра и, например, углами Эйлера 9, 0, ф, определяющими ее ориентацию. [c.355]

Однако гидромеханика идеальной жидкости, построенная в виде стройной логической системы знаний, не стала рабочим аппаратом инженерной механики и гидротехники. Из этой теории вытекали явно парадоксальные для реальных условий следствия (парадокс Даламбера — Эйлера об отсутствии сопротивления установившемуся движению шара в жидкости). [c.190]

Применение классической вариационной процедуры Эйлера-Лагранжа дает следующий результат. Величина скорости оптимального движения шара постоянна и может быть найдена из граничного условия, т.е. = 8о/1р. Дифференцируя по времени ограничение (2.2) и принимая во внимание (2.4), получаем решение задачи 2.2 [c.58]

Здесь О)—вектор угловой скорости вращения шара, 7 — единичный вектор вертикали, I — оператор инерции шара относительно его центра, /х—масса шара, а — его радиус. Формально при а = О получаем уравнения Эйлера. Уравнения (3.22) имеют четыре интеграла (т,ш), (т,7), (т, т), (7,7), и интегральный инвариант с плотностью [c.42]

ИЗ нее видно, что распределение давления относительно экваториальной ПЛОСКОСТИ 9 = тс/2, перпендикулярной к направлению потока на бесконечности, симметрично. А тогда ясно, что давления, приложенные к поверхности шара, взаимно уравновешиваются. Таким образом шар при равномерном поступательном движении не испытывает никакого сопротивления со стороны жидкости. Этот результат, резко противоречащий данным опыта, носит название парадокса Эйлера — Даламбера. Он объясняется тем, что в действительности безотрывное безвихревое обтекание шара не имеет места, с поверхности шара срываются вихри, которые видоизменяют как картину течения, так и распределение давления по поверхности шара. [c.362]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

Пусть Ь, а, р означают полярные координаты точки касания шаров (рис. 3.18.). Истинными координатами, определяющими положение катящегося шара, будут углы Эйлера б.ф.г]) и углы а, р. Введем подвижную систему координат с началом в центре подвижного шара, как указано на рис. 3.18. Единичный вектор всегда горизонтален, а вектор направлен вдоль линии, соединяющей центры шаров. Обозначив через (о , (о , (03 проекции угловой скорости [c.201]

Согласно обозначениям на рис. 7.15 за обобщенные координаты шара можно принять х,у — декартовы координаты проекции центра шара на горизонтальную плоскость и 0, <р, я) — углы Эйлера. Составим функцию Лагранжа L без учета Неголономных связей [c.483]

Шар на вращающейся плоскости. Шар движется без проскальзывания по шероховатой горизонтальной плоскости, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью Найти решение уравнений Эйлера. [c.251]

Переход скольжения шара в качение на неподвижной плоскости. Шар, скользящий по неподвижной горизонтальной плоскости, начинает катиться. Пайти решение уравнений Эйлера. [c.252]

Следовательно, шар движется по окружности радиусом 7/2 жо . Подставляя (5) в (21.8), получим систему уравнений первого порядка относительно углов Эйлера. [c.209]

Если тело является шаром с произвольным эллипсоидом инерции, но центр масс расположен в геометрическом центре, то получается либо система Эйлера (при К = 0) (см. 2 гл. 2), либо система Жуковского-Вольтерра (при К О) (см. 7 гл. 2). [c.68]

Эта силовая функция зависит только от расстояния У точки Р до центра О слоя (или шара), а следовательно, вовсе не зависит от углов Эйлера, определяюш,их ориентацию собственной системы координат. Поэтому составляющие сил притяжения, действующих на точку Р и на тело Т (с центром приведения в точке О), найдутся по очевидным формулам [c.104]

Парадокс Даламбера — Эйлера. В силу полной симметрии распределения давления по поверхности цилиндра равнодействующая сил давления равна нулю. Полученный -вывод называется парадоксом Даламбера— Эйлера при дозвуковом безотрывном обтекании тел идеальной жидкостью сила лобового сопротивления равна нулю сила трения отсутствует, а вторая составляющая — сила сопротивления давления, действующая на переднюю часть шара, уравновешивается силой давления на кор- [c.87]

Движение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, описывается тремя независимыми угловыми координатами. Это демонстрируется при помощи шара большого диаметра, лежащего на подставке из цилиндрической трубы, имеющей несколько меньший диаметр (рис. 1.1 в). При всех поворотах шара относительно подставки его центр остаётся на месте. На шар нанесена метка в виде стрелки, так что его положение однозначно определяется положением стрелки. Стрелка может быть переведена из одного в любое другое положение путём последовательных поворотов шара вокруг трёх осей например, две угловые координаты определяют смещение начала стрелки по шару, а третья — её угол поворота. Шар может также использоваться для иллюстрации теоремы Эйлера. [c.6]

Черный шар с белыми точками (рис. 1.8а) может приводиться двумя электродвигателями с редукторами в независимое вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей — вертикальной и горизонтальной. Угловые скорости вращения вокруг каждой из осей регулируются от нуля до некоторой максимальной величины. Согласно теореме Эйлера, сложное движение этого твердого тела (шара с точками) — вращение одновременно вокруг двух осей — сводится к вращению вокруг мгновенной оси, которая движется и в пространстве, и относительно тела. Вблизи мгновенной оси смазывание белых точек на черном шаре минимально, так как их скорости близки к нулю, и за перемещением мгновенной оси вращения легко следить по перемещению этих несмазанных точек. [c.11]

Пример 57. Составим уравнения Эйлера — Лагранжа плп сво-б Дного движения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости. [c.185]

За независимые обобщенные коордт1аты примем Ц =Хс, <7г = = /С, ( 3 = ф. /4 = . /5 = 0, гдедгс. Ус — координаты центра тяжести шара, (р, v[), О — углы Эйлера. [c.194]

Оси координат Oxyz считаем направленными в каждый момент времени по главным осям инерции системы шар - материальная точка . Положение главных осей инерции относительно осей Oir определяется с помощью углов Эйлера ф, t3, р. Угол прецессии ф выберем также в качестве обобщенной координаты относительного движения точки. [c.52]

Шар имеет возможность двигаться по плоскости без скольжения. Выразите условия, накладываемые этой связью, через углы Эйлера. Покажите, что эти условия пеинтегрируемы и, следовательно, связь неголономна. [c.160]

В нашем случае /с = 3, / = 2ииз пяти упомянутых выше координат х, у являются лагранжевыми координатами, а. qu qz, qs представляют собой квазикоординаты. Если положение шара определить с помощью углов Эйлера [c.224]

Положение шара можно определить пятью координатами двумя координатам центра масс П и углами Эйлера ф, г , О. Проекции мгновенной угловой скорости шара на оси Кёнига будут иметь вид (рис. 258) [c.538]

Зависимост между проекциями угловой скорости, углами Эйлера м их производныхми по времени позволяют определить угловые перемещения шара. Как видим, с помощью теоремы. о кинетическом моменте данная задача решается до конца. И в этом нет ничего неожиданного катящийся шар имеет три степени свободы — ровно столько, сколько не-завйсмых алгебраических уравнений дает теорема о кинетическом моменте, а неизвестная реакция плоскости исключается из рассмотрения надлежащим выбором центра О. [c.10]

Шар, катяидийся без скольжения по шероховатой поверхности, является простейшим примером неголономной системы. Задача о качении однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости разрешена и ее решение содержится, в частности, в книге [I]. Однако решение этой простейшей задачи не доведено еще, на наш взгляд, до полной ясности. Так, апример, Мак-Миллан приводит дифференциальные уравнения движения шара для углов Эйлера, но из этих уравнений получает только один интеграл — постоянную проекцию угловой скорости шара на вертикальную ось. А будут ли постоянными две другие проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат, остается неизвестным. [c.47]

Для доказательства теоремы удобно сделать следующее представление для конфигурационного многообразия твердого тела. Всякий поворот по теореме Эйлера может быть задан осью конечного поворота е и углом правовинтового вращения вокруг нее (р. Образуем в трехмерном пространстве вектор <ре, где О < у < тт. Между множеством положений тела и точками введенного шара взаимнооднозначного соответствия нет, поскольку поворот вокруг е на угол тг дает то же самое положение тела, что и поворот вокруг оси —е на угол тт. Однако если мы отождествим диаметрально противоположные точки поверхности этого шара, то получим множество, находящееся с поворотами во взаимно однозначном соответствии. Все замкнутые траектории в шаре могут быть разделены на два типа внутренние траектории (рис. 15а) и траектории с выходом на поверхность и последующим продолжением из диаметрально противоположной, тождественной точки (рис. 156). [c.50]

Уравнения (8.20) значительно упрощаются, если тело Мо есть шар (или шаровой слой), обладающий сферическим распределением плотностей. Действительно, в этом случае, как было отмечено выше, Ло=5о = Со, и силовая функция не зависит от углов Эйлера ilio, фо, fl o. Поэтому уравнения (8.20") дают опять [c.400]

Пример 3. Доказать, что при ударе двух шероховатых шаров направление скольжения остается одним и тем же во время удара. Это предложение было высказано Эйлером (Euler L. А.), а также Кориолисом (С о г i о 1 i s G. G. Jeu de billard, 1835 русск. перев.. Кориолис Г. Г. Математическая теория явлений бильярдной игры. — М. Гостехиздат, 1956). См. п. 322. [c.281]

Рассматриваемая задача может быть также решена методом Лагранжа, несмотря иа то, что кинематические уравнения содержат производные по временн определяющих параметров. Чтобы сделать это, прибегнем к методу неопределенных множителей (см. т. 1, гл. VII). Пусть оси координат будут те же, что и раньше. Пусть ОС — тот диаметр, который был вертикален во время вращения шара на вершине поверхности, G/4, GB — два других диаметра, образующих вместе с диаметром G систему прямоугольт.1х координат, закрепленную в шаре. Пусть положение этих осей относительно неподвижных осей задается углами Эйлера 0, ф, г з. Тогда живая сила шара будет [c.204]

Ка,к видим, при обтекании шара реальной жидкостью парадокс Деламбера—Эйлера не имеет места—возникает сила лобового сопротивления, являющаяся результирующей силой по1верхностных 4СИЛ трения и давления. [c.144]

Пример 57. Составим уравнения Эйлера — Лагранжа для свободного движения однородного шарй по торйзонталъяой шероховатой плоскости. . [c.185]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...