Эйлера углы центра

Однородный диск радиуса а и массы т катится без скольжения ио горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 9, ф, ср, где Хс, Ус — координаты центра масс диска, 0, ф, ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ср, где X, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, Ф> Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11) 3) в квазикоординатах р, у, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции А, С — главные центральные моменты инерции диска., [c.386]

Уравнения движения твердого тела при вращении около неподвижного центра определяются заданием углов Эйлера как функций времени [c.467]

Системой с шестью степенями свободы является свободное твердое тело, так как его положение определяется шестью независимыми параметрами тремя координатами центра тяжести х , у , и тремя углами Эйлера <р, ф и б. [c.337]

Пример 54. Рассмотрим качение без скольжения шара по горизонтальной плоскости (рис. 7.2). Положение тара будет определено, если задать координаты а с и уа его центра и три угла Эйлера г[ , О и ф. Условием качения без скольжения будет равенство [c.179]

Случай Эйлера. Тело имеет любую форму, но закреплено в его центре масс, т. е. iJx — L, f = = 0. В этом случае углы [c.482]

В общем случае главный момент внешних сил зависит от координат центра инерции твердого тела, мгновенной угловой скорости и углов Эйлера. Исключая из уравнений (III. 4) проекции мгновенной угловой скорости на основании уравнений (III.5), получим вместе с (III.1) шесть дифференциальных уравнений движения тела с координатами центра инерции и углами Эйлера в качестве неизвестных функций. Эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими математическими трудностями. [c.401]

Ускорение центра инерции определяется на основании формул (II.120) T.I через проекции угловой скорости и углового ускорения. Последние определяются посредством углов Эйлера на основании кинематических фор.мул (III. 5). [c.412]

Решение. Положение стержня определяется радиусом-вектором центра масс и углами Эйлера. Искомый лагранжиан [c.205]

Решение. Положение стержня I определяется радиусом-вектором центра масс R и углами Эйлера. Потенциальная энергия стержня в неоднородном поле тяжести [c.229]

Решение. Обозначим R — радиус-вектор центра масс спутника, ал<°) — углы Эйлера. Лагранжиан спутника в инерциальной системе отсчета [c.230]

Твердое тело, совершающее плоскопараллельное движение, имеет три степени свободы, так как его положение вполне определяется тремя обобщенными координатами двумя координатами центра тяжести хс и Ус любого сечения, проведенного параллельно неподвижной плоскости, и углом поворота вокруг оси, которая перпендикулярна к сечению и проходит через его центр тяжести. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы, так как его положение определяется тремя обобщенными координатами тремя углами Эйлера ср, ф и б. [c.752]

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, так как его положение определяется шестью обобщенными координатами тремя координатами центра тяжести хс, ус> 2с и тремя углами Эйлера [c.752]

Положение волчка на неподвижной горизонтальной плоскости (п. 407) определено, если известны горизонтальные координаты г, 7 центра тяжести и три угла Эйлера 6, (1), ср, определяющие положение волчка относительно центра тяжести. Пять величин е, т), 9, <р, являются координатами волчка (к — 5). [c.269]

Пусть и и V — координаты какой-нибудь точки А плоскости Р относительно осей Ох, Оу, Ог. Положение этой плоскости определяется только этими дву.мя параметрами. Положение шара определяется координатами т] ее центра и, например, углами Эйлера 9, 0, ф, определяющими ее ориентацию. [c.355]

В этих уравнениях величины р, с], г можно заменить известными выражениями их в функциях углов Эйлера (р, ф, 6 и их производных (п°344). Правые части X, V, к п J, М , уравнений (1) и (2) выражаются в общем случае в функциях тех же углов, координат центра тяжести и производных по времени от этих шести величин. Таким образом, уравнения (1) и (2) представляют собой систему шести дифференциальных уравнений второго порядка, позволяющих найти шесть неизвестных г], и (р, ф, О в функции от времени и этим определить движение. [c.199]

В качестве независимых координат возьмем две горизонтальные координаты центра тяжести х , у[ и три угла Эйлера , 0. При этом угол <р является углом чистого вращения вокруг оси динамической симметрии ОС, проходящей через точки D и О направление оси ОС совпадает с направлением вектора DO. Напишем [c.290]

Кинетический момент н кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возможность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая — только вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует. Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это —три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твердого тела (они описывают посту-пательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части одну [c.163]

Ось симметрии является, конечно, одной из главных осей волчка мы ее примем за ось z системы, связанной с движущимся телом. Так как одна точка волчка является неподвижной, то его положение вполне определяется тремя углами Эйлера угол 0 определяет отклонение оси z от вертикали, угол ф определяет азимут волчка, а угол гр характеризует поворот волчка вокруг его собственной оси (рис. 56). Расстояние от центра тяжести волчка, расположенного на его оси симметрии, до неподвижной точки мы обозначим через I. [c.186]

Что касается других уравнений Эйлера, служащих для определения положения осей тела в пространстве, то они соответствуют нашим уравнениям (С) пункта 29. В самом деле, так как девять величин т). С, представляют собою не что иное, как прямоугольные координаты трех точек тела, взятых на трех осях на расстоянии, равном единице от центра (это, очевидно, следует из того, что указанные величины получаются из трех величин S, т , если последовательно положить а = 1, Ь = 0, с —о, затем й = 0, 6 = 1, с = 0 и, наконец, а = 0, 6 = 0, с = 1), то ясно, что если вместе с Эйлером через I, т, п обозначить дополнения углов наклона этих осей к неподвижной плоскости и т], а через X, р., v —углы, образуемые проекциями этих же осей с неподвижной осью S, то мы получим три следующих выражения [c.282]

В случае установившихся внутренних движений результирующий момент / (относительных) количеств движения части S относительно какой-нибудь точки О, неизменно связанной с S, очевидно, будет вектором, постоянным относительно S это будет иметь место, в частности, как в том случае, когда центр приведения О представляет собой закрепленную точку части б", так и в том случае, когда он совпадает в любой момент с центром тяжести S. В обоих этих случаях уравнение (47) или равносильное ему уравнение (47 ) при условии, что результирующий момент М внешних сил можно выразить через углы Эйлера и их первые производные, становится пригодным для определения этих главных неизвестных 0, < ( задачи (в функциях времени, постоянных интегрирования и постоянных составляющих гиростатического момента). [c.222]

Для уточнения постановки задачи уподобим Землю гироскопу, имеющему осью полярную ось Oz (А = В), и обозначим через 6, движение центра тяжести О Земли, так и движение отдаленной точки Р, то расстояние р и направляющие косинусы Ml, Ид, Ид направленной прямой ОР относительно неподвижных осей нужно рассматривать как известные функции времени. С другой стороны, так как ЗК = Л - - С/2 есть постоянная, то из основного соотношения (16) гл. X т. I мы имеем [c.320]

В уравнениях (10) и (11) п — среднее движение центра масс тела по орбите а величины aij выражаются через углы Эйлера ip по фор- [c.541]

Положение оси симметрии г волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжесги, определяется углами Эйлера, углом прецессии ф и углом нутации 0. Составить функцию Гамильтона для углов ф, 0 и ф (угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если т — масса волчка, I — расстояние от его центра масс до точки О, С — момент инерции отно-с1.1те.льно оси 2, А — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О. [c.375]

Случай Эйлера. Тело имее любую форму, но закреплено в его центре масс, т. е. LP = lJp-Lp = h. В этом случае углы Эйлера выражаются через специальные зллипгические функции. [c.499]

Х(ля составления дифференциальных уравнений движения свободного твердого тела можно иопъзовз ъс л уравнениями Лагранжа, отнесенными к обобщенным координатам трем координатам центра инерции твердого тела и трем углам Эйлера. [c.543]

За независимые обобщенные коордт1аты примем Ц =Хс, <7г = = /С, ( 3 = ф. /4 = . /5 = 0, гдедгс. Ус — координаты центра тяжести шара, (р, v[), О — углы Эйлера. [c.194]

Диск на абсолютно гладкой плоскости является голо но мной механической системой с пятью степенями свободы. За обобщенные координаты Примем три угла Эйлера ф. О, tfi к две координаты X, у проекции центра тяжести диска на опорную luio Ko Tb в системе OXY . Третья координата z центра тяжести есть его расстояние до опорной плоскости ОХУ. Из рис. 1 видно, что [c.10]

Представляет интерес аналогия углов Эйлера ф и в полярным координатам точки на плоскости. Концы единичных векторов принадлежат сфере единичного радиуса с центром в точке О. На рис. 2.5.2 условно изображена такая единичная сфера. Положение кон-ца вектора вд на ней фиксируется следующим обра зом. Углом ф задается положение дуги большого круга, плоскость которого проходит через вектор ез и содержит вектор Положение вектора [c.92]

Случай Лагранжа (случай симметричного гироскопа). Тело имеет ось симметрии, например Oz. В силу сим.метрни J — Jу и эллипсоид инерции для закрепленной точки будет эллипсоидом вращения. Закрепленная точка О и центр масс С расположены на оси симметрии. В этом случае могут быть указаны шесть независимых первых интегралов, из которых углы Эйлера вычисляются в квадратурах. [c.482]

Координаты центра тяжести G в системе координат Oxyz обозначим а, Ь, с. Ориентацию тела относительно иеиодвижной системы координат будем определять п[ И помощи углов Эйлера iji, 0, ср, которые вводятся обычным образом (рис. 104). [c.169]

Решение. Положение тела определяется радиусом-вектором центра масс R и углами Эйлера а относительно референционной системы отсчета. Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей [c.230]

Допустим теперь, что тело положено на неподвижную горизонтальную плоскость П, и возьмем те же неподвижные оси GStj что и в случае, когда S является поверхностью вращения (п. 407). Обозначим через 0, <р, углы Эйлера между триэдром Gx yz и триэдром Gx y z , параллельным Неподвижным осям. Так как тело касается горизонтальной плоскости, то вертикаль Gzi перпендикулярна к касательной плоскости и координата С центра тяжести является известной функцией косинусов y, y, имеющих значения sin 6 sin , os 0. Следовательно, имеем [c.228]

Выберем неподвижные оси 04, От) в плоскости, а неподвижную ось OZ, направим вертикально вверх. Обозначим через 4, t , координаты центра тяжести G обруча относительно этих осей и через 9, ср, ф — углы Эйлера, как в п. 411, определяющие положение обруча относительно осей GxiyiZ , параллельных неподвижным осям 04т]4. Проекции скорости V центра тяжести G на неподвижные оси 04rf., а также и на параллельные им оси Gx y z равны [c.324]

Предположим, что гироскоп, закрепленный в точке О своей оси Ог, находится под действием силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной в точке оси на расстоянии а от О. Возьмем в качестве неподвижной системы три взаимно перпендикулярные оси Ол , У12 5, проходящие через неподвижную точку, причем ось Ос, параллельна силе Р, но направлена в обратную сторону. С другой стороны, выберем в качестве триэдра, связанного с гироскопом, три главные оси инерции относительно центра О, направив ось Ог по оси симметрии, а две другие оси Ох и Оу перпендикулярно к оси симметрии. Пусть С есть момент инерции относительно оси Ог и Л — момент инерции относительно Ох момент инерции относительно Оу, очевидно, равен А. Пусть, далее, есть начальная угловая скорость гироскопа вокруг оси Ог. Уравнения движения гироскопа будут те же, что и уравнения в п° 362, которые определяли углы Эйлера О, ф и (р при движении тяжелого твердого тела. Но в том случае вектор Р обозначал вес тела, приложенный к центру тяжести, между тем как теперь Р есть произвольная сила, предполагаемая лишь неизменной по величине и направлению. Очевидно, мы встретимся с [c.158]

Рассмотренный в предыдущем пункте угол 6 является здесь третьим углом Эйлера (или углом нутации) системы, неподвижной в теле (й также углом нутации стереонодальной системы), относительно неподвижной системы координатами же центра тяжести О относительно стереонодальных осей будут О, Уо, Zq, где >Io, Zq суть функции угла 9, определяемые уравнениями (33) (п. 17), если при этом в качестве функции Л (0) берется функция, соответствующай меридианной кривой рассматриваемого здесь твердого тела вращения. [c.211]

Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки и их первые интегралы. Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки О в однородном поле тяжести. Ось 0Z неподвижной системы координат направим вертикально вверх. С движущимся телом жестко свяжем систему координат Oxyz оси которой направим вдоль главных осей инерции тела для неподвижной точки О. Координаты центра тяжести G в системе координат Oxyz обозначим а, Ь, с. Ориентацию тела относительно неподвижной системы координат будем определять при помощи углов Эйлера ф ср, которые вводятся обычным образом (рис. 104). [c.203]

Выразим проекции р, г абсолютной угловой скорости тела на оси Ох, Оу, Oz через углы Эйлера, их производные и угловую скорость (15) движения центра масс по орбите. Для этого заметим, что твердое тело участвует в сложном движении оно вращается относительно орбитальной системы координат OXYZ, а орбитальная система координат за счет движения центра масс по орбите вращается вокруг оси 0Y. Проекции угловой скорости первого из указанных вращений получаются из кинематических уравнений Эйлера, а угловая скорость второго вращения направлена по оси 0Y и равна и. Поэтому [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...