Метод контрольного объема

Законы Ньютона и законы сохранения. При выводе уравнений движения или покоя среды возможны два подхода. Первый — метод материальной частицы — заключается в составлении на основе второго закона Ньютона дифференциального уравнения движения (покоя) с последующим его интегрированием такой подход применяется главным образом в гидроаэромеханике. Второй — метод контрольных объемов — использует общие законы механики и физики (законы сохранения) для составления суммарных (интегральных) характеристик движения он характерен для гидравлики. [c.7]

Ниже описывается один из вариантов МВН, называемый методом контрольного объема (МКО). Предпочтение, отданное МКО, объясняется тем, что метод гарантирует реализацию тех свойств сохранения, которые присущи исходным уравнениям, и при этом отличается наглядной физической интерпретацией и относительной простотой выражения для дискретного аналога уравнения (5.74). Подробное описание различных вариантов МКР, ВМ и МВН можно найти в [3, 15, 39, 46, 57, 73, 79] и другой специальной литературе. [c.151]

Метод контрольного объема. В этом методе [c.151]

Метод контрольного объема рассматривают как вариант метода взвешенных невязок, так как основной принцип МВН, математически выраженный условием [c.151]

Метод контрольного объема [c.94]

Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его определенным свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле [201- Его преимущество заключается в том, что он основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. В методе контрольного объема заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, импульс и энергия на любой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа. Поэтому даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам. [c.94]

Метод контрольного объема, в частности, хорошо работает для определения потерь давления в местном гидравлическом сопротивлении при задании различных эпюр скоростей во входном и выходном сечениях. [c.94]

МЕТОД МАТЕРИАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ И МЕТОД КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА [c.71]

Метод контрольного объема (МКО). Участок, ограниченный штриховыми линиями на рис. 2.1, является маленькой частью рассматриваемой одномерной расчетной области. Такой участок называют подобластью, конечным объемом или контрольным объемом (КО). Можно получить дискретные уравнения, использовав тепловой баланс в контрольном объеме. В этих целях проинтегрируем уравнение (2.1) по контрольному объему и затем представим результат в виде [c.29]

Обсуждение метода контрольного объема. В книге будет использоваться метод контрольного объема для получения дискретных аналогов. Основная причина этого заключается в том, что дискретные аналоги, полученные этим методом, являются не только формальной математической аппроксимацией, но и имеют ясный физический смысл. Интересующие нас дифференциальные уравнения представляют собой законы сохранения. Например, уравнение теплопроводности основано на законе сохранения энергии. В дальнейшем мы используем законы сохранения количества движения при течении в каналах и сохранения массы при течениях в пористых средах. Когда дискретные уравнения получены методом контрольного объема, они представляют собой законы сохранения энергии, количества движения, массы для каждого контрольного объема. Из этого следует, что полученное численное решение удовлетворяет законам сохранения этих величин во всей расчетной области. [c.31]

На простом примере в этом параграфе показано, что разные методы получения дискретного аналога приводят к одному и тому же конечному уравнению. Но это случается не всегда. Здесь мы использовали очень простое дифференциальное уравнение и выбрали частный случай предположения о профиле для метода контрольного объема. Для более сложных дифференциальных уравнений или для других предположений о форме профиля итоговые дискретные аналоги могут различаться в случае использования рядов Тейлора, метода контрольного объема и других способов. Решение, полученное с помощью метода контрольного объема, всегда будет сохранять баланс (энергии, количества движения и др.) во всей расчетной области, чего нельзя сказать о решениях, найденных другими методами. [c.31]

После начального знакомства с методом контрольного объема разработаем его для задачи одномерной стационарной теплопроводности. В этом параграфе приведем основные особенности метода, а дальнейшие усовершенствования будут описаны в 2.5. И, наконец, расширим метод для нестационарных задач в 2.6. [c.34]

Несмотря на универсальность, этот метод достаточно прост для понимания и реализации. Эти преимущества обусловлены в основном использованием метода контрольного объема, при котором решаемые алгебраические уравнения представляют собой законы сохранения физических величин, таких как энергия, масса или импульс, для каждого контрольного объема в отдельности. Поэтому эти алгебраические уравнения имеют ясный физический смысл, и, получая окончательное решение, мы знаем, что в точности выполняется закон сохранения энергии (массы и т.п.) для всех маленьких контрольных объемов, на которые была разбита расчетная область. Этот метод основан преимущественно на понимании физических особенностей рассматриваемых процессов. Кроме того, разве не замечательно, что мы можем решать очень сложные задачи, не обращаясь к рядам Фурье, функциям Бесселя, полиномам Лежандра и другому подобному математическому аппарату. [c.280]

В разд. 5 книги 1 настоящей серии даны рекомендации по применению метода контрольного объема для расчета процессов переноса в областях сложной геометрической формы. Задачи с областями нетривиальной геометрической формы возникают при моделировании в ВТУ процессов плавления и затвердевания материала. Примеры решения задач с движущейся границей при плавлении можно найти в [11, 44] (метод мгновенного регулярного режима), [3] (МКР), [43, 51] (метод контрольного объема). [c.76]

Метод контрольного объема 49 [c.49]

НЫХ производных — разложение в ряд Тейлора, метод полиномиальной аппроксимации, интегральный метод и метод контрольного объема — могут привести к одинаковым разностным выражениям. Это обнадеживает и укрепляет доверие ко всем этим методам. Но в каждом из них имеется некоторая свобода действий, так что выбор метода для вывода конечно-разностного аналога дифференциального уравнения определяет этот аналог не единственным образом. В самом деле, существует много используемых аналогов. Несмотря на то что больщинство из них различается (как может показаться непосвященным) в незначительных деталях, они могут сильно отличаться по своему поведению. По личному мнению автора одним из удивительных аспектов вычислительной гидродинамики является наличие большого числа правдоподобных схем, которые, однако, не работают, как, например, было указано для уравнения (3.17). Это справедливо как для основных (т. е. предназначенных для расчета внутренних точек) разностных схем, так и для схем, предназначенных для расчета граничных точек. [c.51]

В первом случае консервативность обеспечивается применением метода контрольного объема при выводе конечно-разностных выражений. При использовании консервативной формы конвективный поток величины вытекающий через грань i -f- V2 из контрольного объема с центром в точке i за единицу времени, составляет /2( 1 г + -t-i i+i) и в точности равен конвективному потоку, втекающему через ту же грань в контрольный объем с центром в точке г + 1 за единицу времени. Как показано выше, Б случае неконсервативной формы это не имело бы места. [c.55]

В двух модификациях схемы с разностями против потока можно устранить появление искусственного источника. Первая модификация основана на первой схеме с разностями против потока (3.176), когда скорость не меняет знак ни между точками I — 1 и г, ни между точками I и /+ 1. Если же скорость меняет здесь знак, то конечно-разностная схема строится при помощи метода контрольного объема, охватывающего точку ). Итак, мы имеем [c.112]

Неустойчивость, связанная с расчленением решения по временным шагам в схеме чехарда (разд. 3.1.6), приводит к появлению двух расчлененных решений данная схема допускает появление четырех расчлененных решений. Для объединения этих решений, очевидно, требуется наличие диффузионных членов и (если считать, что опыт применения схемы чехарда может служить некоторым руководством) требуются малые числа Ре при условии вероятного достижения стационарного решения. Шахматная сетка приводит также к некоторым затруднениям при постановке граничных условий постановка граничных условий, предложенная Робертсом н Вейсом, приводит к тому, что интерпретация значений в узлах границы при помощи метода контрольного объема оказывается несогласованной с интерпретацией значений во внутренних узлах сетки, а это приводит к снижению точности вблизи границ. [c.157]

Применение способа отражения в расчетных сетках первого и второго типов дает совершенно различные результаты ). При использовании в точке ш + 1 аппроксимации второго порядка, принятой для стандартных внутренних точек, потоки всех величин / на стенке ш /г) обращаются в нуль. Это легко показать при помощи метода контрольного объема, примененного для уравнений с центральными разностями (см. разд. 3.1,1). Значения потоков величин на стенке (и/)0.+1/2 определяются следующим образом [c.395]

Упражнение. Показать, что в способе отражения на расчетной сетке второго типа масса сохраняется и что он согласуется с выводом, основанным на рассмотрении баланса массы вблизи поверхности стенки по методу контрольного объема. [c.396]

Основной причиной неудач схемы с односторонними разностями вблизи точки отрыва потока является отсутствие переноса массы вдоль стенки, поскольку всегда б(ры)/бх ш = 0. В то же время применение метода контрольного объема показывает, что ячейка с центром (г, ш) на рис. 5.3 может терять или приобретать массу только через границу и) + А- Эту ситуацию можно [c.399]

На практике, однако, наибольшее применение в этой связи получил так назьшаемый метод контрольных объемов [19, 20]. Метод широко используется для анализа режимов разогрева и расхолаживания АЭУ и особенно аварийных ситуаций, связанных с потерей теплоносителя, позволяет легко учитывать двухфазное состояние жидкости, прост в машинной реализации. Вместе с тем использование его ограничивается фактически медленными процессами динамики жидкости, поскольку в силу природы [c.92]

Этот метод для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, ко более физичен по существу. Метод контрольного объема наиболее ярко освещает процесс численного моделирования . Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждьш узел расчетной сетки содержался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему. При вычислении интегралов используются кусочные профили, которые описывают изменение переменной между узлами, В результате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах. [c.94]

Метод контрольного объема используется в профессиональном пакете STAR- D, позволяющем решать многочисленные инженерные задачи механики жидкости и газа, [c.94]

К спорным вопросам методики изложения, принятой в настоящем курсе, мы относим, например, предлагаемый авторами способ вывода общего уравнения энергии на основе первого начала термодинамики ( 4-2). Нам представляется, что традиционный способ использования первого начала термодинамики при выводе уравнения энергии, принятый в лучших отечественных курсах газовой динамики, является более корректным и дает возможность яснее представить сущность делаемых при этом термодинамических допущений. Недостаточно ясна с математической точки зрения трактовка понятий материального метода и метода контрольного объема в 3-6. Оба метода опираются на эйлерово представление о движении жидкой среды. Их противопоставление, как нам кажется, носит иногда искусственный характер. При выводе общих уравнений движения вязкой жидкости — уравнений Навье — Стокса — авторы, видимо, следуя Г. Шлихтингу , опираются на аналогию с напряженным состоянием упругого тела. При этом предполагается знание читателем некоторых вопросов теории упругости. Вряд ли такой способ вывода фундаментальных гидродинамических уравнений будет удобен для любого читателя. Еще одним спорным в методическом отношении местом является то, что изложение теории турбулентного пограничного слоя опережает изложение представлений о турбулентном течении в трубах. Между тем, как известно, теория пограничного слоя использует некоторые зависимости, устанавливаемые при изучении течений в трубах. Поэтому, может быть, естественнее начинать изложение вопроса [c.7]

Каждый из законов переноса вещества, тепла и количества движения можно сформулировать в эйлеровом смысле, т. е. фиксируя внимание на некоторой неподвижной точке в пространстве. Существуют два основных метода получения эйлеровых уравнений механики жидкости в общем, трехмерном случае. Мы будем называть их материальным методом и методом контрольного объема . [c.71]

Теперь мы применим закон Ньютона, написанный в виде равенства (3-12), к элементарной материальной частице постоянной массы Дш (рис. 5-1). Материальный метод, описанный в 3-6, приводит к более простой формулировке уравнений движения, чем метод контрольного объема, который был использован выше для получения уравнения неразрывности. Определяя сумму сил, действующих на жидкую частицу, необходимо рассматривать как массовые, так и поверхностные силы, о которых уже говорилось в гл. 5. Массовые силы могут возникнуть, например, под действием земного притяжения или электромагнитных полей. Другие силы, имеющие характер массовых сил, могут войти в число действующих благодаря выбору ускоренной или вращающейся координатной системы, т. е. неинерциальной системы отсчета, о которой говорилось в гл. 2. К таким силам относится кориолисо-ва сила. Здесь при учете массовых сил будет приниматься во внимание лишь поле силы тяжести (см. 2-3). [c.119]

Если на границе температура задана, то имеется достаточно алгебраических уравнений для нахождения неизвестных температур во внутренних точках. Вот почему мы смогли решить простую задачу, рассмотренную в 2.3, без какого-либо сложного расчета граничных условий. Если температура на границе неизвестна, то должна быть известна какая-либо иная информация об искомой фукции (например, плотность теплового потока через поверхность границы). В этом случае необходимо получить дополнительное алгебраическое уравнение для расчета неизвестной температуры на соответствующей границе. В методе контрольного объема это уравнение следует из теплового баланса, записанного для половинного контрольного объема, прилегающего к границе. Одномерная область, показанная на рис. 2.7, имеет две границы. Так как дальнейшие действия с ними идентичны, то обсудим только левую границу. Подобные рассуждения применяются и для правой границы области. [c.39]

Метод дискретизации. Существует множество методов получения дискретного аналога из уравнения (2.98). Три из них следующие явный, Кранка—Николсона и полностью неявный. Не будем детально их рассматривать. Они приведены во многих книгах по численным методам. Кроме того, можно обратиться к [6], где они подробно описаны в контексте метода контрольного объема. В представленной книге будет использоваться только полностью неявный метод, так как он единственный (среди трех упомянутых), который позволяет использовать любые значения Д , не получая физически нереальных результатов. Даже метод Кранка—Николсона, который часто описывается как безусловно устойчивый, может демонстрировать нефи-зичное поведение, когда Д превыщает некоторое значение (за более подробной информацией по этой теме можно обратиться к [6, 9]). Действительно, для малых значений Al метод Кранка—Николсона может быть более точным, чем полностью неявный. Однако для наших целей более важно гарантированное получение реалистичных результатов при любых значениях Дл [c.60]

Методы численного решения задач, описываемых уравнениями переноса, разделены в разд. 5 книги 1 настоящей серии на три группы метод конечных разностей (МКР), вариационный метод и методы взвешенных невязок (МВН). Моделирование ВТУ посредством МКР описано в [2, 35]. Один из вариантов МВН, называемый методом контрольного объема [42], эффективно используется при моделировании процессов тепломассоперсно-са в ВТУ [43]. [c.76]

Метод контрольного объема для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, но более фи-зичен по существу. Этот метод наиболее ярко освещает процесс численного моделирования . Наилучшими примерами такого подхода могут служить широко известные метод частиц [c.48]

Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле. Преимущество этого метода заключается в том, что он основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. Особенно важным это оказывается в тех случаях, когда имеют дело с разреженными газами или с течениями невязкого газа, в которых существуют ударные волны. В этих случаях дифференциальные уравнения не имеют всюду непрерывных решений, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако масса, например, все же сохраняется, и конвективная часть уравнения (3.35) по-прежнему остается справедливой. Но даже и в тех случаях, когда непрерывные решения существуют, в методе контрольного объема внимание сосредоточивается на фактическом выполнении физических законов макроскопически, а не только в неком академическом пределе при Ах и А , стремящихся к нулю. Это лежит в основе понятия консервативности конечно-разностного метода, к обсуждению которого мы переходим. [c.51]

Легко проверить, что эта схема является консервативной и транспортивной. Эту схему просто интерпретировать с точки зрения метода контрольного объема, если величины скоростей на границах ячеек находятся как средние значения, а соответствующие величины определяются направлением потока. (Замечание. Если величины на сторонах ячеек определять тоже как средние, то получится схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, не обладающая свойством транспортивности.) [c.113]

Такая запись дает возможность понять смысл члена д Т1ду , являющегося градиентом потока тепла в точке (г, 2). Используя терминологию, принятую в методе контрольного объема (разд. 3.1.2), можно сказать, что представляет собой поток тепла, вытекающий из узла 1 (на стенке) и втекающий в узел 2. Таким образом, для того чтобы стенка была численно адиабатической, ( 12 должно быть равно нулю, что приводит к условию Гг, 1 = Гг, 2. Значит, если не выполнено условие 7 = 7н, 1, то в вычислительном алгоритме возникает передача энергии между стенкой и жидкостью. Экстраполяции высокого порядка для условия дТ1ду тц = О будут численно соответствовать адиабатической стенке только тогда, когда они согласованы с разностным аналогом высокого порядка, принятым для д Т/ду в точке (/, И) + 1). [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...