Матрица отрицательно определенная

Условие (6.41) есть достаточное условие максимума. Матрицу Г, удовлетворяющую условию (6.41) при любых Д X, называют отрицательно определенной, а в случа< (4Х)т Г(А X) >0 для любых АХ — положительно определенной. Поэтому достаточные условия экстремума можно представить как требование отрицательной определенности матрицы Гессе для максимума или положительной определенности для минимума в экстремальной точке. [c.279]

Аналогично (с заменой знака > на знак <) определяются отрицательно определенные матрицы. [c.97]

В случае, если А — нормальная матрица (т.е. АА = А А) с отрицательно определенной симметрической матрицей Л + Л, решение может быть найдено и имеет вид [c.318]

Поэтому матрицу А будем аппроксимировать устойчивой отрицательно определенной нормальной матрицей А [c.319]

Следовательно, достаточное условие максимума Р ) в точке У может быть сформулировано, как требование отрицательной определенности матрицы Гессе или [c.153]

Квадратичная форма будет отрицательно определенной, если все главные миноры матрицы А, имеющие нечетный порядок, отрицательны, а, имеющие четный порядок, положительны, т.е. А1 < О, Аз [c.17]

Возможен случай, когда все главные миноры отличны от нуля, но условия положительной или отрицательной определенности квадратичной формы не выполняются, в этом случае в исследуемой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. В случае обращения в нуль главных миноров матрицы А, вопрос о наличии экстремума в исследуемой точке решается более сложно с использованием производных более высокого порядка. [c.17]

Набросок доказательства. Особенность Морса функции характеризуется невырожденностью квадратичной формы — гессиана функции, определенного матрицей вторых частных производных. Аналогично, в случае отображения, имеющего критическую точку коранга 1, на ядре касательного отображения можно определить квадратичную форму, называемую трансверсальным гессианом (определенную с точностью до умножения на ненулевое число), невырожденность которого будет характеризовать тип 51 особенности. Тип 51 с нулевым трансверсальным индексом будет характеризоваться положительной определенностью (или отрицательной определенностью) трансверсального гессиана. Я не имею возможности дать здесь формальное определение трансверсального гессиана, а просто укажу, как он вычисляется в настоящей ситуации это квадратичная форма [c.153]

Поскольку малость может быть положительной или отрицательной, то условие (17.3.6) устойчивости равновесного состояния означает, что матрица (9Аг/5 )ед должна быть отрицательно определенной, в том числе вблизи равновесного состояния. В этой области выражение (17.3.5) должно быть также отрицательно определенным. Следовательно, вблизи равновесия выполняются неравенства [c.384]

Если матрица определенно-отрицательна, то [c.187]

Рассмотрим теперь случай, когда всо h/ < О (Bg — определенно-отрицательная матрица) Hi — четное число. Тогда в равенстве [c.191]

Функция V определенно-положительная. Если нам удастся подобрать такие постоянные два числа С а D, при которых производная V будет определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. Составим матрицу коэффициентов функции Т [c.226]

Для определения распределения напряжения перед трещинами в слоистых композитах с упругими и пластичными матрицами ранее использовались и другие приближенные рассмотрения на основе сдвигового подхода. Для упругих матриц было найдено [13, 14], что растягивающее напряжение в первом элементе е каждой стороны трещины, объединяющей все соседние разрушенные элементы, представляется степенным рядом с отрицательными показателями, которые могут быть легко найдены численными методами. Полученное в результате распределение вдоль неразрушенного элемента у кончика трещины также показано на рис. 4. Поскольку при сдвиговом анализе рассматривается только равновесие в среднем, то нет никакой сингулярности в распределении напряжения для очень малых и х, . [c.183]

О чем, в частности, свидетельствует сохранение и даже возрастание магнитных моментов, локализованных на их атомах, тогда как никель в таких сплавах теряет свой магнитный момент [11]. Термодинамические свойства сплавов таких систем, как Сг — Аи [12] и Мп — Ag [13], отражают специфический характер взаимодействия компонентов. Практически во всей области существования твердых растворов парциальные теплоты смешения для хрома и марганца положительны и аномально зависят от состава (возрастают с ростом содержания переходного металла), тогда как парциальные теплоты для золота и серебра отрицательны и малы по абсолютной величине (рис. 2). Можно полагать, что хром и марганец также претерпевают существенные изменения своего электронного состояния, входя в матрицу твердого раствора, однако эти изменения требуют определенных затрат энергии. Известно, что марганец и хром [c.157]

Критерием сходимости первых р частот и форм служит условие 1(ы,0 - (w )у 11/ (ы f), < 5 , (г = 1,2,.. ., р), которое, согласно [481, может быть дополнено проверкой рядом Штурма число отрицательных коэффициентов в диагональной матрице [Z>], фигурирующей в разложении [Л ] - ц[М] = [/, ] [D] [L ], должно быть равным числу точно определенных [c.109]

Это свидетельствует о правильности найденного спектра собственных значений. Наличие отрицательных собственных частот не является случайностью и не связано с ошибками вычисления. При помош и программы, обеспечивающей проверку матрицы на положительную определенность и также включенной в библиотеку, было установлено, что вопреки предположению симметрическая матрица К не является положительно-определенной. [c.130]

При деформировании стержневой системы узлы получают определенные линейные и угловые перемещения, и кинематические граничные параметры будут связаны в этих узлах уравнениями совместности перемещений. Как следует из уравнения (1.39), нагрузка на стержень выделяется в отдельную матрицу и не связывается с граничными статическими параметрами. Поэтому уравнения равновесия узлов не должны содержать внешнюю нагрузку. Соответственно, уравнения равновесия, содержащие реакции внешних связей, могут рассматриваться только в случае, когда известны направление и величина внешних реакций. Для кинематических параметров уравнения совместности перемещений узлов не должны включать линейные и угловые перемещения стержней как абсолютно твердых тел. В такой постановке уравнения равновесия и совместности перемещений узлов стержневой системы выступают только как уравнения связи между граничными параметрами соседних стержней. Это позволяет изображать статические граничные параметры в узле либо в положительном, либо в отрицательном направлениях (необходимо выбрать что-то одно), а перемещения узлов изображать визуально на деформированной схеме линейной системы лишь качественно. В этой связи для конкретной конструкции узла необходимо составить уравнения статики и совместности перемещений лишь один раз. В любой стержневой системе, содержащей такой узел, эти уравнения сохранят свой вид, что весьма существенно облегчает построение соотношений между граничными параметрами. [c.26]

Армированные пластмассы работают в широком диапазоне температур с максимальными перепадами от —54 до +121 °С в конструкциях военного назначения и при еще более высоких температурах, если имеются какие-либо дополнительные источники тепла, кроме естественных. Прочность и жесткость обычно не изменяются при низких температурах, а в некоторых случаях даже увеличиваются. При отрицательных температурах полимеры становятся менее гибкими и в результате этого более чувствительными к усталостному разрушению под действием переменных механических нагрузок. Все смолы имеют определенные пределы рабочих температур и разрушаются в большинстве случаев при неправильном подборе матрицы (связующего) для данных температурных условий. Термическая усталость, или многократные циклы нагрев—охлаждение, может вызвать появление локальных механических напряжений в результате последовательных тепловых расширений и сжатий, о явление в случае несовместимости смолы и армирующего материала может оказаться основной причиной разрушения. [c.292]

Рассмотрим вторую задачу, возникающую при определении критических нагрузок, сформулированную в конце 7.1.1. Требуется найти момент времени т t,t + At) + At — два момента времени, между которыми появляется новый отрицательный элемент или элементы в диагональной матрице D) и собственный вектор W, которые соответствуют собственным состояниям тела. Ниже предлагается способ сведения задачи (7.3) об определении критического времени т и соответствующего собственного вектора W к классической обобщенной задаче линейной алгебры по определению собственных чисел и соответствующих им собственных векторов. [c.220]

При появлении отрицательных элементов включается алгоритм решения задач на собственные значения (7.32) или (7.36). Последняя задача решается в том случае, если матрица АК не является положительно определенной. Находится столько пар собственных чисел и собственных векторов, сколько появляется новых отрицательных диагональных элементов. [c.227]

Система (15.194) имеет сильно разреженную положительно определенную матрицу, что делает ее легко разрешимой. Найдем решение этой системы в общем виде, пренебрегая подчеркнутыми слагаемыми. В большинстве случаев поправки, вносимые в общее НДС за счет этих слагаемых малы. Вместе с тем, встречаются задачи, где пренебрежение подчеркнутыми в (15.194)i слагаемыми приводит к существенной погрешности. Поэтому рекомендуется после расчета составной оболочки при помощи упрощенных условий сопряжения (15.194)i проверить, с какой точностью найденные значения граничных величин удовлетворяют полным условиям сопряжения. В случае отрицательного результата следует решать неупрощенную систему (15.194). [c.553]

Определители матриц (9.34) отрицательны общая матрица М также может оказаться неположительно определенной. Можно получить и положительно определенную матрицу, если взять подматрицы из согласованной матрицы и ввести множитель, обеспечивающий точное воспроизведение массы конечного элемента. Тогда придем к следующей матрице масс [c.346]

Более того, если конечные элементы являются совместными и используется согласованная формулировка масс, то матрица жесткости и матрица масс будут неотрицательно определенными в этом случае среди корней уравнения (10.8) не будет ни одного отрицательного. Точнее, для закрепленного тела все корни будут положительными, а для свободной конструкции появятся нулевые корни число последних равно числу степеней свободы тела как жесткого целого. [c.359]

Пример 22.1. Имеется двояковыпуклая линза, одна из сферических поверхностей которой посеребрена и является отражающей. Для определенности считаем, что у линзы, изображенной на рис. 75, посеребрена правая, сферическая поверхность радиусом г2. Линза находится в воздухе (л = 1), показатель преломления вещества линзы И2 > 1- Радиусы кривизны поверхностей п и Г2 (г2, по общему правилу, отрицательная величина, т. е. г2 =— гл ). Луч света падает слева. Найти передаточную матрицу от входа луча в линзу до выхода из линзы через ту же поверхность. [c.126]

Обобщенные силы, соответствующие матрицам Bj и В2, называют соответственно диссипативными и гироскопическими. Если матрица Bi — положительно определенная, то мощность диссипации при любых движениях будет величиной положительной. В этом случае диссипативные силы обладают полной диссипацией. Если матрица Bi положительно полуопределенная, то говорят о неполной диссипации, если матрица Bi отрицательно определенная, то любое движение будет сопровождаться отрицательной диссипацией, т. е. амплитуды будут возрастать. Соответствующие силы будем называть силами с отрицательной диссипацией или ускоряющими силами. Этот термин будем применять и для снл (2) со знакопеременной матрицей коэффициентов, т. е. со знакопеременной квадратичной формой мощности диссипации. Мощность гироскопических сил на любых действительных перемещениях равна нулю в этом смысле гироскопические силы являются консервативными. [c.90]

Таким образом, квадратичная форма в правой части (1.4.13) отрилателыа при любых значениях аргументов (Я— Яе). Такие формы и матрицы Глт и коэффициентов называются отрицательно определенными. [c.25]

Необходимым и достаточным условием локального лтнимума является положительная определенность этой матрицы. Это означает, что все собственные значения матрицы должны быть полол ительными. Локальному максимуму соответствует отрицательно определенная литрица Гессе, для которой все собственные значения отрицательны. [c.193]

Чтобы эта матрица была отрицательно определенной и соответ ственно решение приводило к (относительному) максимуму, а следовательно, к устойчивому (или по крайней мере к метастабиль-ному) термодинамическому состоянию, должно выполняться услог вие [c.339]

Если функция V определенно-отрицательна, то функция — V будет определенно положительной. Поэтому достаточным условием онределенной отрицательности функции V будет критерий Сильвестра (2.9) для матрицы —С. Этот критерий имеет вид [c.32]

Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т] = onst. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. Число различных но знаку собственных значений связано с направлением характеристического конуса и согласуется с количеством граничных условий при g=0 и =1. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что при1юдит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [c.141]

Величины Л Пуанкаре предложил называть коэффициентами устойчивости. Если, как в п. 229, функция (3) определенно-положительна, то все величины Л положительны и положение равновесия устойчиво. Если же хотя бы одна из величин Л отрицательна, то положение равновесия неустойчиво . Число отрицательных коэффициентов устойчивости называется степенью неустойчивости. В дальнейшем важна будет не сама степень неустойчивости, а ее четность или нечетность. Пусть С — матрица квадратичной формы (3). Тогда det С = Л1Л2. .. Отсюда следует, что если det С > О, то степень неустойчивости четная (или равняется нулю), а если det С < О, то степень неустойчивости нечетная. [c.538]

Матрица (каркас)—высокомолекулярная, практически нерастворимая в воде и других растворителях часть ионообменного материала, несущая на себе электрический заряд определенного знака (у катионитов — отрицательный, у анионитов — положительный). Матрицу можно рассматривать как полиион. [c.12]

Если груз отсутствует (7 = 0), то корни частотного уравнения будут Я,1 = 0,4641 = —6,46. Первому из них соответствует частота колебания щ = 3,337 VEJI qml ), что ниже точного значения на 5,1%. Второй же корень Я-г оказался отрицательным, так что частоту tOj найти нельзя. Это произошло вследствие того, что матрица М не является положительно определенной. Так же как и в предыдущих примерах, повышение точности результатов может быть достигнуто разбиением балки на большее число элементов. [c.368]

Прежде всего из выражений (3.6.11) и (3.6.16) должно быть ясно, что вигнеровские функции представляют собой средние значения операторов (вычисленные с матрицей плотности р), которые не являются положительно определенными. Это означает, что вагнеровские функции не являются положительными или равными нулю) во всех точках, а могут принимать и отрицательные значения. Следовательно, их нельзя интерпретировать как плотности вероятностей. Это та цена, которую приходится уплатить, чтобы не нарушить принципа неопределенностей Гей-эенберга фазовое пространство не может играть такую же роль, как в классической механике. Теперь уже невозможно связывать точку с состоянием системы. Замечательно, однако, что вигнеров-ские функции дают абсолютно самосогласованный формализм вычисления средних, аналогичный вероятностному, хотя его интерпретация другая. Однако во многих случаях эта интерпретация совершенно несущественна, ибо функции распределения в фазовом пространстве не являются непосредственно наблюдаемыми физическими величинами. [c.118]

Остальные системы с соединениями и их термодинамические свойства перечислены в приложении XXVII. Во многих из этих систем образуются расплавы с высокой отрицательной энтальпией смешения и у многих систем, главным образом с высокими значениями Н , обнаруживается аномальная зависимость и от состава даже у сплавов системы Hg—Т1, для которых очень мало [70]. Данные обычно показывают максимальную степень ближнего упорядочения при составе соединения. Этот ближний порядок, особенно если очень высока, может даже принять форму группировок со структурой соединения, находящихся в более хаотичной жидкой матрице , хотя, казалось бы, именно эта структура с такими группировками кажется невероятной, потому что подобные жидкости не могут переохлаждаться. Структура группировок, если они существуют, не обязательно будет стр уктурой твердого соединения и, возможно, будет сильно отличаться от нее, так как ограничения, связанные с обязательной упаковкой в решетку с определенным дальним порядком, в жидкости устранены (см. раздел 8.5). [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...