Скорость групповая продольных волн

Для групповой скорости продольных волн из (7.84) имеем [c.132]

При рассмотрении дисперсионного уравнения неоднократно подчеркивалась аналогия в поведении волн в цилиндре и слое. Эта аналогия прослеживается также в асимптотическом поведении фазовых Ор и групповых скоростей нормальных мод. Предельное значение Ср и g при низкой частоте первой нормальной моды = =s Оно совпадает со скоростью продольных волн в стержне, [c.151]

Анализ поведения групповых скоростей нескольких первых распространяющихся мод в цилиндре послужил в свое время основанием для того, чтобы говорить о парадоксе в теории распространения упругих волн [68]. Поскольку ни в одной из этих мод энергия не могла переносится со скоростью продольных волн в упругом теле, то был сделан вывод о том, что никакая часть энергии, подводимой к цилиндру, не может переноситься со скоростью с . Этот парадокс исчез после анализа величины для высших мод. Оказалось, что все моды с высокими номерами при определенных значениях 7 имеют величину g = с . [c.152]

При уменьшении частоты колебаний в цилиндре данного радиуса фазовая и групповая скорости продольной волны стремятся к общему пределу — фазовой скорости стержневых волн с = У Е/р. [c.428]

Из графиков видно, что групповая скорость нормальных волн всегда ниже скорости распространения продольных колебаний в данном материале. Она имеет смысл при условии, что группа волн или волновой пакет составлены из элементарных волн, лежащих в очень узкой области спектра, соответствующего не-158 [c.158]

Это уравнение определяет частоты продольных волн ш,, значение же к = сой/с остается при пренебрежении пространственной дисперсией произвольным. Поскольку в таких условиях частота ш ц не зависит от к, групповая скорость й(о1(1к = О и скорее нужно говорить о колебаниях, чем о бегущих волнах. [c.63]

Найти выражения для предельных значений фазовых и групповых скоростей низших антисимметричной (изгибной) и симметричной (продольной) волн Лэмба в пластине толщиной [c.203]

В прошлом широко использовались продольные нормальные волны в цилиндрах в двух предельных случаях. Если отношение радиуса к длине волны а/Я очень мало, то энергия распространяется в виде наинизшей продольной нормальной волны, а фазовая и групповая скорости равны стержневой скорости. Если отношение а/А, очень велико, то энергия импульса распространяется со скоростью, близкой к скорости продольной волны в бесконечной среде. Наинизшие крутильная и изгибная нормальные волны в цилиндрах также широко использовались для определения упругих постоянных и затухания. [c.181]

Согласно формулам (2.6) любая характерная особенность нм пульса f(г) перемещается со скоростью а. Эта величина определяет фазовую скорость продольных волн, которую мы будем обозначать символом Ср. Отношение интенсивности / к плотности энергии Е дает скорость, с которой распространяется энергия. При отсутствии затухания скорость распространения энергии совпадает с групповой скоростью [49]. Обозначив эту скорость через Ур, получим [c.25]

Рассмотрение приведенных зависимостей приводит к выводу, что, как правило (за исключением случая IX 1), распространяются несколько типов волн, характеризующихся различными значениями фазовых и групповых скоростей. Каждый тип волны, в соответствии с выражениями (3.5) и (3.6), имеет определенное распределение колебаний по сечению. У всех типов волн, кроме низшей, соответствующей минимальному корню уравнения (3.4), существуют так называемые частоты среза, ниже которых волновое число становится мнимым, т.е. волна не распространяется в стержне, и процесс колебаний затухает на малых расстояниях от источника. Это явление можно использовать для устранения нежелательных типов волн. При выборе рабочей частоты ниже наименьшей частоты среза /ср.мин можно из всех продольных волн выделить низшую и использовать ее в качестве рабочей волны. Выражение для определения этой частоты легко получить из уравнения (3.4), положив в нем С - оо (X —> оо), что после несложных преобразований дает [c.59]

Используя соотношение (5.13), графическим дифференцированием дисперсионных кривых можно определить групповую скорость, которая при наличии дисперсии скорости звука любого происхождения, в частности геометрической дисперсии, связанной с наличием границ, всегда меньше фазовой скорости (с/с / Х > 0). Полученные таким образом групповые скорости для различных типов волн низших порядков приведены на рис. 5.6. Для первой продольной волны при малых частотах (малые значения й // Со) групповая скорость наибольшая, поэтому можно избежать наложения на сигнал, передаваемый этой волной, сигналов, обусловленных другими типами волн и приходящих позднее. [c.122]

П. конечной толщины 2к могут рассматриваться как упругий волновод, поле в к-ром является совокупностью волн, наз. нормальными волнами, В общем случае произвольной частоты со нормальная волна содержит продольную и поперечную компоненты колебат. смещения, распространяющиеся в толще П. и отражающиеся на её границах. Нормальные волны в П. подразделяются на два класса Лэмба волны, у к-рых имеются как продольные, так и поперечные компоненты колебат, смещения, причём последние направлены перпендикулярно плоскости П., и поперечные нормальные волны, обладающие только одной компонентой смещения (отсутствующей в волнах Лэмба), лежащей в плоскости П. я перпендикулярной направлению распространения волны. В П, может распространяться определённое конечное число нормальных волн, отличающихся одна от другой фазовыми и групповыми скоростями, а также распределениями смещений и напряжений по толщине П. Эти распределения должны удовлетворять граничным условиям равенства нулю напряжений на обеих илоскостях П. [c.627]

Простейший случай дисперсионных соотношений со = k i (I — = 1, 2) возникает при изучении распространения продольных и поперечных волн в безграничной упругой среде. Здесь для каждого из указанных типов волн имеем Ср— g= i(l = 1, 2). Отметим, также, что для волнового поля в бесконечной среде, составленного наложением волн расширения и сдвига, вектор смеш,ений не может быть представлен в виде (5.11) и групповую скорость определить нельзя. Представление в виде (5.11) становится возможным при наличии взаимодействия между волнами указанных типов за счет свойств среды (физическая дисперсия) или за счет взаимного их превраш,ения друг в друга на границах (геометрическая дисперсия). [c.41]

Волны 1-го и более высоких порядков возникают при определенных критических значениях hlXf ДЛя каждой моды. Эти значения соответствуют резонансам колебаний пластины по толщине на продольных и поперечных волнах. Например, мода возникает, начиная с полуволнового резонанса поперечной волны h/Xf 0,5 первая симметричная мода Sj — с полуволнового резонанса продольной волны fh = 0,5с и т. д. С увеличением толщины пластины фазовые скорости этих мод стремятся к скорости поперечных волн. Групповые скорости рассчитывают по формуле (1.15). [c.17]

Дисперсия плазменных колебаний обусловлена давлением сжимаемой электронной жидкости, возникающим вследствие хаотич. движения электронов (мера К-рого — фермиевская скорость Ир = рр т). Дисперсия плазменных колебаний демонстрирует их волновой характер в плазме распространяются продольные волны, групповая скорость к-рых линейно растёт с ростом д. В экспериментах проявляется не учитываемая моделью желе зависимость Юр от направления д, существенная при больших д. [c.601]

В однородной изотропной бесконечно протяжённой твёрдой среде могут распространяться У. в. только двух типов — продольные и сдвиговые. В продольных У. в. движение частиц параллельно направлению распространения волны, а деформаций представляет собой комбинацию всестороннего сжатия (растяжения) и чистого сдвига, В сдвиговых eo. iiiax движение частиц перпендикулярно направлению распространения волны, а деформация является чистым сдвигом. В безграничной среде распространяются продольные и сдвиговые волны трёх типов—плоские, сферические и цилиндрические. Их особенность—независимость фазовой и групповой скоростей от амплитуды и геометрии волны. Фазовая скорость продольных волн [c.233]

В ограниченных твердых телах (пластинка, стержень), представляющих собой твердые волноводы, распространяются нормальные волны, каждая из к-рых является комбинацией неск. продольных и сдвиговых волп, распространяющихся нод острыми углами к оси волновода и удовлетворяющих (в совокупности) граничным условиям отсутствия механич. напряжений на новерхности волновода. Число норм, волн п в пластинке или стержне определяется толщиной или диаметром с/, частотой / и модулями упругости среды. При увеличении fd число норм, волн, возможных в волноводе, возрастает при jd —> оо, п со. Норм, волны распространяются с дисперсией скоростей (см. Дисперсия волн. Дисперсия звука), при и.з-менешш fd от критич. значений до бесконечности фазовые скорости норм, волн, как правило, уменьшаются от бесконечности до с,, групповые скорости возрастают от нуля до f. От величины fd сильно. зависит также распределение смещений и напряжений в волне но поперечному сечению волновода. [c.259]

При значениях kth, больших критических, фазовые скорости волн Лэмба становятся отличными от бесконечности, а групповые — от нуля. Это можно интерпретировать как поворот направлений распространения двух продольных или поперечных волн, образующих стоячую волну в критической области, от оси 2 в сторону положительной оси X. При этом из-за отран ения от границ пластины возникают волны другой поляризации и волна Лэмба оказывается составленной из четырех компонент (рис. 1.12) двух продольных волн с волновым вектором, к и двух поперечных с волновым вектором к , припасо- [c.37]

В кристаллооптике пространственная дисперсия приводит к качественно новым эффектам, таким, как естественная оптическая активность (гиротропия), оптическая анизотропия кубических кристаллов [5, 6]. Укажем еще, что в плазме, например, групповая скорость продольных волн становится отличной от нуля также из-за пространственной дисперсии (мы вернемся к этому вопросу в следующей главе). [c.74]

Учет пространственной дисперсии совершенно необходим при рассмотрении продольных волн (достаточно напомнить, что при пренебрежении пространственной дисперсией групповая скорость продольных волн равна нулю [6]) ). Продольные волны, которые особенно хорошо известны в случае плазмы (плазменные волны), могут существовать и в кристаллах, хотя в этом случае затухание волн является довольно значительным. С вопросом о продольных (плазменных) волнах в твердом теле связана проблема дискретных потерь энергии при прохождении заряженных частиц через тонкие пленки [5, 7]. Не останавливаясь здесь на этом вопросе, а также на значении пространственной дисперсии и использовании тензора е Дш, к) в физике плазмы [6, 7], в металлооптике [7, 8] и некоторых других областях [7, 9], сосредоточим внимание только на кристаллооптике. [c.16]

Роль пространственной дисперсии в благоприятных слу-Ч31Х возрастает вблизи линий поглощения (резонансов), так К.1К при этом возрастает показатель преломления ге, а значит и параметр a k—anl. Именно такой случай хорошо известен для магнитоактивной плазмы (см. [6], 12). При этом возникают не только количественные изменения дисперсионных кривых, но и появляются гговые нормальные волны (при отсутствии пространственной дисперсии в анизотропной среде в данном направлении распространяются лишь две нормальные волны с данной частотой кроме того, в отдельных случаях может появляться продольная волна с определенной частотой и с равной нулю групповой скоростью). Появление новых волн возможно и в конденсированной среде. К их числу относятся уже упоминавшиеся продольные волны (для частот, на которых они отсутствуют, при пренебрежении пространственной дисперсией) и третья волна в гиротропной среде [5]. В негиротропной среде в принципе также могут появиться новые волны (помимо продольной), как это, по сути дела, следовало еще из теории нормальных электромагнитных волн в кристаллах, развитой Борном в 1915 г. (см. [14], стр. 108—122). В конкретной форме это заключение было сделано в работе [15] в применении к области экситонных линий. Однако в этой работе не учитывалось поглощение. Между тем вблизи дипольных линий, о которых только и шла речь в [15], поглощение в известных случаях столь сильно, что практически смазывает влияние пространственной дисперсии [5, 16, 17]. В этой связи попытки объяснить опыты с тонкими пленками антрацена [18, 19] влиянием новой волны, по всей вероятности, ошибочны [16, 17, 20]. Возможно, что наблюдавшиеся осцилляции интенсивности света, прошедшего через пленку, с изменением ее толщины объясняются зависимостью показателя [c.18]

Как видно из рис. 9.7, абсолютный максимум групповой скорости как для симметричной, так и для антисимметричной волн имеет место в районе хА = 380. При этом и -X. 3 Ь X с — скорость продольных волн. При дальнейшем увеличении хА, как видно из рис. 9.8, фазовая скорость обеих волн становится меньше с. В этом случае, как указано выше, продольная часть деформаций в каждой волне концентрируется вблизи границ пластинки (а — мнимо), в то время как сдвиговая часть распространяется во всей толще пластинки (если 7>Ь). Именно сдвиговая часть при хА > 385 только и будет обеспечивать поток энергии как симметричной, так и антисимметричной волн. Кривые групповой скорости на рис. 9.7 при этиххА идут монотонно, приближаясь асимптотически при увеличении хА к скорости сдвиговых волн Ъ. [c.50]

Следовательно, в этом случае возможно существование продольных электрических или плазменных волн. Однако, если не учитывать пространственную дисперсию, то дисперсионное уравнение 8 ((о) = О определяет лишь одну частоту (Ор = )/inNe /m, и мы получаем не волновой, а колебательный процесс. При учете пространственной дисперсии частота становится функцией волнового вектора, и групповая скорость продольных волн отлична от нуля. Пространственная дисперсия не существенна в том случае, когда поле мало изменяется на расстоянии, на котором в среде формируется отклик среды на поле Е, т. е. поляризация среды. Если учитывать тепловое движение в плазме, то за время т = 2я/(о электрон, движущийся со средней тепловой скоростью v = проходит расстояние l = xYk Tlm- Пространственной дисперсией можно пренебречь, если I X или [c.73]

Когда (О (Ор, величина е (со) стремится к нулю, и в ллазме могут существовать продольные колебания. Воспользуемся формулой (6.29) для вычисления фазовой и групповой скорости продольных ВОЛН. Для грубых оценок примем [c.83]

Принципиальная схема ультразвуковых методов исследования состоит в создании пульсирующего давления различных частот на одной стороне образца при помощи передающего преобразователя и регистрации модифицированных при прохождении через образец сигналов приемным датчиком на другой стороне образца. Результаты описанного в работе [10] исследования прохождения ультразвуковых сигналов через среду, состоящую из карбон-фенольной матрицы, армированной слоями высокомодульных волокон, отстоящих друг от друга на расстояние около 6 мм, показали четко выраженную зависимость фазовой скорости от частоты. Дисперсионные свойства бороэпоксидного композита были изучены в работе [72], где построена зависимость групповой скорости от частоты плоских продольных и поперечных волн, распространяющихся параллельно или перпендикулярно направлению волокон. В этой работе было установлено, что поперечные волны, распространяющиеся вдоль волокон, обладают ярко выраженной дисперсией, причем с ростом волнового числа групповая скорость увеличивается. [c.383]

Строгое волновое представление пучка лучей , исходящих из некоторого источника, с резко ограниченным конечным поперечным сечением, получается в оптике, по Дебаю, следующим образом берется суперпозиция континуума плоских волн, каждая из которых заполняет все пространство, при этом нормали к входящим в суперпозицию волновым поверхностям изменяются в пределах заданного угла. Вне определенного двойного конуса полны в результате интерференции почти совершенно уничтожают друг друга, так что с ограничениями, связанными с дифракцией, получается волновое представление ограниченного светового пучка. Подобным же образом можно представить и бесконечно узкий лучевой конус, изменяя лишь волновую нормаль совокупности плоских воли внутри бесконечно малого телесного угла. Этим обстоятельством воспользовался фон Лауз в своей знаменитой работе о степенях свободы лучевых пучков ). Наконец, вместо того чтобы использовать, как это до сих пор молчаливо предполагалось, только чисто монохроматические волны, можно варьировать частоту внутри некоторого бесконечно малого интервала и посредством соответствующего подбора амплитуд и фаз ограничить возмущение областью, которая будет сравнительно мала также и в продольном направлении. Таким образом может быть шшучаыо анадихическоа прадртаилениА энергетического пакета сравнительно небольших размеров этот пакет будет передвигаться со скоростью света или в случае дисперсии с групповой скоростью. При этом мгновенное положение энергетического пакета (если не касаться его структуры) определяется естественным образом, как та точка пространства, где [c.686]

В ограниченных твёрдых телах (пластина, стержень), представляющих собой твёрдые волноводы акустические, могут распространяться только норма.гьные волны, каждая из к-рых является комбинацией неск, продольных и сдвиговых волн, распространяющихся под острыми углами к оси волновода и удовлетворяющих граничным условиям отсутствию механич. напряжений на поверхности волновода. Число п нормальных волн в пластине или стержне определяется толщиной или диаметром <1, частотой (О и модулями упругости среды. При увеличении число нормальных волн возрастает, и при iad-> п-юс. Нормальные волны характеризуются дисперсией фазовой и групповой скоростей. [c.233]

Для перемещения (21.36) п. 21.1 можно повторить, поскольку появление функции sinv или osv не влияет на ход рассуждений. Как и ранее, фазовую и групповую скорости и скорость сигнала определим формулами (21.5), (21.8) и (21.27). Два знака перед корнем соответствуют двум разным волнам, которые могут распространяться независимо друг от друга (аналогично тому как в линейной теории упругости существуют продольные и поперечные волны). Согласно (21.5) и (21.8) можно определить фазовую и групповую скорости. Объем книги не позволяет привести соответствующие формулы. Согласно (21.27) можно также определить скорость сигнала Us- Если в формуле (21.39) принять во внимание знак минус, то получим [c.153]

Для полной характеристики сейсмических колебаний следует знать направление распространения волны и направление вектора колебаний (смещений, или скорости, или ускорения). Если расположение и вид источника колебаний известны, направление распространения и, как правило, характер волны (продольная, поперечная или поверхностная) также заранее известны. Тогда можно ограничиться измерением одной компоненты вектора смещений. В других случаях полезно бывает измерять три компоненты смещения — вертикальную и две взаимно перпендикулярные горизонтальные, чтобы определить поляризацТ1ю и характер колебаний. Для этой цели приходится применять трехкомпонентные геофоны, являющиеся, по существу, комбинацией трех систем. Колебания каждой из них могут происходить только в одном из трех взаимно перпендикулярных направлений. Геофон выдает три элeктJ)ичe киx сигнала, пропорциональных соответствующим составляющим колебаний. Для определения направления прихода волн применяют целую систему геофонов — групповую электроакустическую сейсмическую антенну. [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...