Многолистная поверхность

Течения на многолистных поверхностях [c.122]

Аналитическая функция может оказаться многозначной аналитическое продолжение вдоль разных путей сопоставляет точкам комплексной плоскости С = несколько (даже счетное множество) значений. С многозначными функциями оперировать неудобно, и поэтому вместо плоскости С = обычно рассматривают многолистные поверхности, которые можно представлять себе расположенными над комплексной плоскостью и имеющими столько листов , сколько значений имеет аналитическая функция в этой точке. На таких поверхностях (называемых римановыми) аналитические функции являются обычными однозначными голоморфными функциями. Детальное изложение этих вопросов можно найти, например, в книге [167]. [c.329]

Пусть газ на рис. 9.2 движется слева направо. Обозначим ЕО и ОС — края складки, образовавшейся в непрерывном решении (ЕО и ОС — ветви огибающей характеристик), О В — характеристический луч второго семейства, выпущенный вниз по потоку. Решение вверх по потоку от скачка остается неизменным, т.е. скачок проходит по одному из листов многолистной поверхности решения (рис. 9.2), не возмущая его до характеристики ОВ. [c.253]

Чтобы найти решение уравнения (1.32) в каком-либо листе такой многолистной поверхности, надо решить последовательность краевых задач. [c.451]

На этом мы закончим краткое рассмотрение динамических систем с цилиндрической фазовой поверхностью ). В некоторых задачах оказывается необходимым ввести и другие типы фазовой поверхности, отличные от плоскости и цилиндра, например тор или многолистные поверхности. Системы с фазовой поверхностью в виде тора выходят за рамки настоящей книги, а несколько систем с многолистной фазовой поверхностью будут рассмотрены в следующей главе. [c.503]

На основе схематизации рулонированной оболочки многолистной цилиндрической поверхностью с конечной жесткостью на растяжение и нулевой жесткостью на изгиб изучается характер проскальзывания ее слоев при нагружении внутренним давлением. Рассмотрены все возможные случаи проскальзывания в зависимости от величины коэффициента трения между витками. [c.389]

Основным методом исследования, применяемым в данной работе, является метод многолистной фазовой поверхности и фазового пространства. Этот метод, разработанный академиком Андроновым А. А. и его учениками и последователями [Л. 1, 2, 4, 6—8, 11—14, 21 и 22], позволяет весьма эффективно исследовать поведение релейных систем как при переходных процессах, так и в установившихся режимах. Обычно исследование методом фазового пространства считается качественным исследованием поведения системы, позволяющим определить только характер, типы движений. Мы считаем, что этот метод, особенно в случаях, когда задача может быть сведена к плоской фазовой картине, является методом количественного исследования, т. е. методом инженерного расчета, часто приводящим к цели быстрее других методов. Это особенно ярко проявляется в тех случаях, когда для построения фазовой траектории могут быть использованы шаблоны. Изменяемость структуры линейной части релейной системы не приводит к каким бы то ни было дополнительным трудностям в применяемом методе. Более того, для рассматриваемого класса систем вообще не требуется разделения на линейную часть и релейный элемент линейной части вообще может не быть, вместо нее имеется непрерывная часть , описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.6]

Влияние апериодического звена, находящегося после релейного элемента, принципиально отличается от рассмотренного в предыдущем параграфе влияния апериодического звена, включенного перед релейным элементом. Точное описание картины движения при экспоненциальном изменении момента не может быть проведено в пределах многолистной фазовой поверхности, а требует применения фазового пространства трех измерений. [c.70]

Полученная таким образом многолистная фазовая поверхность дает взаимно-однозначное соответствие между состоянием системы и положением изображающей точки на многолистной фазовой поверхности. [c.108]

Некоторое представление об этой многолистной дисперсионной поверхности можно получить, рассматривая предельный случай уравнения (8.5) или (8.7), устремив в них к нулю все Тогда решением дисперсионного уравнения является х —Для всех А, т. е. дисперсионная поверхность представляет собой набор сфер (кд( = (х с центрами в каждой точке обратной решетки, как показано на фиг. 8.2, а. По мере того как недиагональные элементы матрицы (8.7) будут увеличиваться от нуля, точки или линии пересечения этих сфер будут видоизменяться, приводя к системе непересекающихся поверхностей, или ветвей дисперсионной поверхности, как показано в очень простом случае на фиг. 8.2, б для небольшой части поверхности. На каждой ветви дисперсионной поверхности нормаль к поверхности будет иметь две точки пересечения, так что если рассматриваются N точек обратной решетки, то будут существовать 2М пересечений и, следовательно, 2Ы блоховских волн. Из них N будут соответствовать рассеянию вперед и N рассеянию назад. Некоторые сложности возникают, в частности, для больших длин волн, т. е. для сфер Эвальда малого радиуса, когда дисперсионная поверхность пересекается с нормалью только в мнимых точках. [c.180]

Фазовое пространство Ф такой системы состоит из фазовых пространств 01, 02,. . Фдг систем (3), склеенных так, что фазовые точки пространства Фр, удовлетворяющие условию (2), отождествляются ( склеиваются ) с точками пространства 0д, в которые они переходят согласно соотношениям (5). В случае, когда пространства 0j двухмерные, в результате такого склеивания возникает так называемая многолистная фазовая поверхность, в некотором смысле напоминающая риманову поверхность многозначной функции комплексного переменного. [c.153]

Рассмотрим объем F, ограниченный замкнутой поверхностью 5 (в общем случае многолистной), и две произвольные функции и х) и /(г. Г ), где гиг — координаты точек внутри этого объема (рис. 4.2). Если обозначить производную по внешней нормали Rq к поверхности S через д/дп у то с помощью теоремы Гаусса можно записать следующее выражение [c.252]

Дозвуковая часть сопла с прямой звуковой линией, но не монотонным распределением скорости вдоль стенки (без сверхзвуковых включений) имеет вид, изображенный на рис. 3.14 граница области дС на многолистной в общем случае римановой поверхности проецируется на плоскость годографа в виде замкнутой самопересекающейся кривой. В отличие от случая сопла с монотонным распределением скорости вдоль стенки, распределение скорости вдоль оси симметрии может оказаться немонотонным. [c.91]

Область определения решения принадлежит многолистной римановой поверхности в плоскости годографа (в задаче о струе она однолистна). [c.142]

Параметры паразитные 282, 733 Период условный 50 Планера полет 497 Плоскость фазовая 38 Поверхность фазовая многолистная 215, 582, 594, 604 [c.914]

При неоднозначных нелинейных характеристиках, например, таких, как на рис. 7.3, 7.4 и 7.5, фазовая плоскость не может быть непосредственно применена для исследования движений в системе, так как нарушается однозначное соответствие между положением изображающей точки и состоянием системы. В этих случаях используются многолистные фазовые поверхности. [c.156]

Фазовая плоскость и многолистная фазовая поверхность являются частным случаем фазового пространства, в котором определяется состояние системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего и выше порядков. Если порядок уравнения равен п, то в какой-либо момент времени состояние системы полностью определено х , Хд,. .., Хп величинами, которые являются обобщенными координатами системы и их производными по времени. Изменение состояния системы характеризуется по-прежнему фазовой траекторией, получаемой при движении изображающей точки в п-мерном пространстве. [c.157]

Несмотря на обш,ность определения состояния системы по фазовому пространству, возможности использования его для исследования систем практически ограничены значением п, равным трем, а наибольшее распространение получили случаи при д = 2, т. е. задачи, которые решаются с помош,ью фазовой плоскости или многолистной фазовой поверхности. При этом обычно рассматриваются автономные системы, а также системы с гармоническим входным воздействием. [c.158]

В общем случае сложной многолистной поверхности Ферми при фиксированном направленин магн, поля может существовать неск. выделенных групп электронов, формирующих всплески высокочастотного тока, а условие наблюдения Г. э. имеет вид [c.417]

При количественном исследовании многократных систем целесообразно применять метод точечных преобразований, причем выбирать отрезки или дуги без контакта, порождающие функции соответствия, имеет смысл в связи с конкретными особенностями задачи. В некоторых случаях целесообразно ввести специальный вид функции соответствия, при котором устанавливается соответствие между границами каждого из квадрантов многолистной поверхности. Нумеруя квадранты т-листной поверхности (от 1-го до 4т-го) по направлению часовой стрелки, будем обозначать величину полуамплитуд через а, а соответствующие значения скорости прохождения через положение равновесия через Vi a) (i = 1, 2,. .., 4m). Тогда процесс установления вокруг начала координат может быть задан циклической подстановкой 4т функций [c.107]

Если имеются устойчивые периодические движения, которым на многолистной поверхности соответствуют замкнутые траектории, охватывающие начало координат, и начальное значение Oi взято Б области притяжения какого-нибудь из них, то ряд (3.37) будет периодически сходящимся (в смысле Кенигса) с периодом сходимости 2т. [c.108]

Eh — onst (Е оо) R Дд, где Е — модуль упругости материала оболочки. Такая оболочка представляет собой многолистную круговую цилиндрическую поверхность, обладающую конечной [c.302]

Пусть аналитич. ф-ция оиределена степенным рядом в точке z и тем самым задана первоначально в нек-1>ом круге. Если разложить ф-цию в ряд в окрестности др. точки Zj, то круг сходимости нового ряда может оказаться частично за пределами исходного круга. Тогда эти два ряда определяют единую ф-цию, аналитическую в объединении двух кругов, т. е. в области большей, чем первоначальная. А, п. можно строить, повторяя этот процесс, каждый раз расширяя область аналитичности ф-ции. Не исключено, однако, что на к.-л, этапе мы вновь вернёмся к точкам, где ф-ция уже была определена ранее, напр, к точкам исходного круга. Совпадения в этой области исходной ф-цни с ф-цией, полученной в результате такого А. п., может и не быть. Т. о. возникают многозначные аналитич. ф-ции, к-рые приводят к понятиям многолистных областей, римано-вых поверхностей и др. [c.80]

Таким образом, мы рассматриваем Ь[и 8) как многозначную функцию хю, значения которой лежат на многолистной римано-вой поверхности аналитическое продолжение ведет с физического листа на другой лист (точно так же, как в случае вынужденных волн сдвига, которые исследовались с помощью БГК-модели в разд. 7). Если Ьс[и 8)—аналитическое продолжение Ь и 8) в непрерывный спектр (т. е. та ветвь многозначной функции 1 и 8), которая достигается через А из области вне непрерывного спектра), то уравнение Ьс[и 8) = О может иметь корень Но даже тогда, когда уравнение 1 и 8)=0 не имеет корня (здесь ( / 5) определяется формулой (11.2) даже при и 0 8)). В частности, для 5, близких к критическому значению, при котором щ = ио 8) вливается в непрерывный спектр, Ьс(и 8) будет иметь нуль, являющийся аналитическим продолжением ио 8). Если решения граничной задачи достаточно гладки, то можно попытаться использовать это обстоятельство для того, чтобы найти аналитическое продолжение подынтегрального выражения на непрерывный спектр и затем воспользоваться этим результатом для стягивания контура интегрирования около сингулярных точек и линий аналитически продолженного подынтегрального выражения. [c.369]

ДЛЯ соответствующих семейств траекторий и через которые изображающие точки выходят за границы отдельных листов. Полученная фазовая поверхность отображает все процессы, происхо-дящле в нашей системе, причем дает взаимно-однозначное соответствие между состоянием системы и положением изображающей точки на многолистной фазовой поверхности. Двулистная фазовая поверхность показывает, что в соответствующей ей системе имеются два устойчивых положения равновесия. Однако вероятность установления режима, соответствующего большему расходу, сравнительно мала, так как даже небольшие отклонения Ро и р5 от значений, соответствующих точке Е листа I, могут вызвать сваливание режима на меньший расход, соответствующий точке Р листа И. [c.109]

Введем вспомогательную плоскость С и совершим конформное преобразование внешности решеток профилей на многолистную ри-манову поверхность в плоскости С внутри системы концентрических окружностей радиуса единицы (рис. 111). Мы получим многозначное соответствие между С и z. Каждой точке внутри единичного круга плоскости С отвечает бесчисленное множество конгруэнтных точек плоскости Z. Пусть точка z — o перейдет в точку С== + е (е — действительная, положительная величина, меньшая единицы), а точка [c.291]

В силу непрерывной дифференцируемости поля V, проходит одна и только одна характеристика каждого из двух семейств, которая может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы области определения. На каждой характеристике обоих семейств ф — монотонные функции длины дуги. Поэтому наличие огибающих характеристик или точек их возврата свидетельствует о физической нереализуемости течения, выражающейся в многолистности физической плоскости, рассматриваемой как риманова поверхность некоторого отображения в физическую плоскость. [c.22]

Более сложная ситуация возникает, когда течение в с кости ищется как решение некоторой краевой задачи, с с на римановой поверхности в плоскости годографа (она может быть и однолистной). При этом однозначности отображения (г , у) (х, у), вообще говоря, может не быть. В таком случае вводят риманову поверхность и в физической плоскости, что позволяет говорить о гомеоморфизме замкнутых ограниченных областей в физической плоскости и в плоскости годографа. Однако построенные подобным образом решения в физической плоскости нереализуемы, если риманова поверхность в плоскости ху многолистна признаком локальной неоднолистности (возможна также неоднолистность глобальная) является обращение в нуль якобиана отображения [c.30]

Иная картина наблюдается при наличии в лазерном пучке оптических вихрей. Если такие вихри появились, то на поверхности волнового фронта присутствуют особые точки, которые во многих отношениях аналогичны известным в физике твердого тела дефектам кристаллической решетки - винтовым дислокациям и имеют такое же название. В самой особой точке амплитуда световых колебаний обращается в нуль, а значение фазы не определено. В окрестности ее происходят резкие коллапсирующие фазовые изменения. Из-за наличия такой особенности функция фазового распределения относится к классу сингулярных функций, что и стало причиной появления упомянутого выше термина "сингулярная оптика". Основное свойство винтовой дислокации (ВД) состоит в том, что при обходе вокруг нее фаза изменяется ровно на 2%. На поверхности волнового фронта может возникать как единичная ВД, так и целая система дислокаций. В зависимости от направления закрутки винта, ВД подразделяются на левые (отрицательные) и правые (положительные). Появление ВД кардинальным образом меняет топологию волнового фронта. Эквифазная поверхность перестает быть многолистной (см. рис. 2.7.1, а), и осуществляется переход к единой поверхности со специфической винтовой структурой. Это иллюстрирует рис. 2.7.1, б, на котором изображен волновой фронт лазерного пучка с ВД, расположенной на оси. Направление распространения световой энергии задается вектором Умова-Пойнтинга, перпендикулярным, как известно, поверхности волнового фронта в каждой точке. Следовательно, в окрестности ВД будет происходить "завихрение" энергетического потока. [c.124]

В настоящей главе мы ограничимся наиболее важным для применений случаем, когда фазовая поверхность представляет собой обычную плоскость. Позже, в гл. VII, на примерах мы коснемся имеющего существенное значение для механики случая цилиндрической фазовой поверхности, а в гл. VIII рассмотрим также несколько систем с многолистной фазовой поверхностью. [c.288]

Интересно отметить, что граница, разделяющая области притяжения предельного цикла и интервала состояний равновесия, не является неустойчивым предельным циклом, как это было в ранее рассмотренных динамических системах с плоской фазовой поверхностью. Этой границей являются фазовые траектории, проходящие через пограничные точки интервала состояний равновесия. Такая сравнительно необычная структура разбиения на траектории фазовой поверхности рассматриваемой сейчас системы обусловлена, конечно, многолистно-стью этой поверхности. [c.619]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...