Тензор эллипсоид инерции

Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции У —величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид i). Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции. [c.178]

Таким образом, основная характеристика геометрии масс — тензор инерции тела — позволяет ввести две важные характеристики распределения масс тела по отношению к рассматриваемой точке пространства первой характеристикой является эллипсоид инерции, построенный в этой точке, второй— связанная с ним система главных осей инерции. При переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняются как эллипсоид инерции, так и направления глав-, ix осей. Разумеется, существует исключительный случай, когда главными осями инерции являются любые ортогональные оси, про Денные через рассматриваемую точку,— такой случай имеет место, когда эллипсоид инерции в точке является сферой. [c.179]

При изменении положения точки О изменяются компоненты тензора инерции, изменяется и геометрический образ его — эллипсоид инерции. Таким образом, можно говорить о тензорном поле инерции, геометрическим образом которого является в каждой точке свой эллипсоид инерции. [c.174]

Приведем другую постановку того же вопроса, исходящую из геометрической интерпретации тензора инерции. Направлениям главных осей инерции соответствуют оси симметрии эллипсоида инерции, а следовательно, экстремальные значения моментов инерции. Поэтому дело сводится к нахождению значений а, р, 7, связанных соотношением [c.287]

Тензор и эллипсоид инерции [c.120]

ТЕНЗОР И ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ 121 [c.121]

ТЕНЗОР И ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ 123 [c.123]

Из выражения Р=х у[7 следует, что а, - осевые моменты инерции. Если щ = а2, следовательно, Уц =/22 и, следовательно, эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения относительно третьей оси, и наоборот. Это условие симметрии твердого тела. Когда тензор моментов инерции имеет диагональный вид, его называют тензором в главных осях [c.201]

Матрица (6) называется тензором инерции, и геометрическим образом этого тензора является эллипсоид инерции. Используя (6), соотношения (2) и (5) можно представить в виде [c.435]

Вспомогательным средством для иллюстрации понятия тензора инерции в точке О служит построение эллипсоида инерции. Отложим вдоль оси ОЛ, направление которой задается единичным вектором отрезок ОК длины р, обратно пропорциональный квадратному корню из момента инерции относительно этой оси [c.153]

Тензор поляризуемости легче всего представить себе, если построить эллипсоид поляризуемости аналогично тому, как строится эллипсоид инерции (см. стр. 25). Из уравнений (3,7—9) непосредственно следует, что составляющая Ре индуцированного момента Р по направлению поля Е равна [c.263]

В этом параграфе определяются твердое тело и его тензор инерции, эллипсоид инерции, моменты инерции и оси инерции. [c.119]

ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ, МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ, ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА [c.118]

Пример 1.14.11. Определить центральный тензор инерции однородного сплошного эллипсоида массы М, граница которого задана в декартовых осях (х1,Х2,хз) посредством уравнения [c.71]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Известно, что числу соответствует геометрический образ, точка на числовой оси. Вектору соответствует прямолинейный отрезок. Тензору 5, компоненты которого имеют два индекса, можно поставить в соответствие поверхность второго порядка, которую называют эллипсоидом скоростей деформаций. Такие тензорные поверхности дальше будут рассмотрены для тензоров инерции и напряжений поверхностных сил. [c.215]

Это есть уравнение эллипсоида в координатах х , Хд, откладываемых по главн осям тензора инерции Пг, г, з- Полуоси эллипсоида, очевидно, равны 1/КЯ.1, 1/К > а расстояние от центра до поверхности эллипсоида в направлении. п равно р, причем [c.234]

Другой известный частный случай — это твердое тело в пустоте. Если за начало координат взять центр тяжести, то все Та [г Ф I и I, / = 1, 2, 3] обратятся в нуль, а Гц = Г22 = Гзз = = т, где т — масса тела. Далее, приняв главные оси инерции в качестве декартовых осей координат, мы можем обратить в нуль все Tij i Ф j и /, / = 4, 5, 6). Следовательно, тензор инерции определяется четырьмя скалярными величинами Гц, Г44, Г55, 7бб, которые путем изменения единиц длины и времени можно свести к двум. Затем, Т 44-Ь Г55 > Гее и т. д. при циклической замене индексов случай эллипсоида является вполне общим. [c.212]

Показать, что если множеству точечных масс соответствует эллипсоид инерции, то матрица тензора инерции невырождена в любой системе координат. [c.74]

Пусть известны компоненты тензора инерции в точке О относительно осей координат Oxyz. Для определения направления главных осей инерции в точке О используем уравнение эллипсоида инерции относительно этих осей [c.276]

Перейдем к рассмотрению других свойств тензора инерции. Прежде всего, рассмотрим уравнение так называемого эллипсоида инерции в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz. [c.79]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Оси главных напряжений находятся таким же путем, как и главные оси симметричного тензора момента инерции ( 64), отличие только в том, что для тензора момента инерции моменты относительно главных осей — всегда положительные величины, здесь же напряжения вдоль главных осей могут быть как положительными (растягивающими), так и отрицательными (сжимающими выделенный объемчик). Поэтому, если построим поверхность, аналогичную эллипсоиду инерции, то, вообще говоря, получим центральную поверхность второго порядка, т. е. поверхность эллипсоида или гиперболоида. [c.302]

Каждому тензору можно поставить еоответетв)Ш1цую тензорную поверхность. Тензору моментов инерции соответствует эллипсоид моментов инерции. [c.201]

Динамика абсолютно твердого тела. Момент импульса. Тензор инерции. Момент импульса тела относительно оси. Эллипсоид инерции. Вычисление моментов инерции относительно оси. Теорема Тюйгенса-Штейнера. Момент импульса относительно движущегося центра масс. [c.21]

Р1зображение тензора инерции в форме эллипсоида не является чем-то специфическим для тензора инерции. Аналогичные интерпретации возможны и для всех других симметричных тензоров второго ранга. Так, тензору напряжений ( 36) можно было бы сопоставить эллипсоид напряжений, тензору деформаций ( 78) эллипсоид деформаций, тензору скоростей деформаций— эллипсоид скоростей деформаций ( 78). Происхождение названия сферический тензор для тензора, обладающего изотропией, т. е. такого, что все его диагональные компоненты в данной точке равны между собой (единичный тензор, тензор напряжений в идеально текучей жидкости), связано с тем, что в геометрической интерпретации такому тензору соответствует сфера. [c.286]

Условимся из какой-либо точки молекулы (чаще всего из ее центра инерции) откладывать радиус-вектор, длина которого соответствует значению а для избранного направления. Тогда в общем случае получится эллипсоид поляризуемости с осями а , а , а, (рис. 528). Если координатные оси совместить с осями эллипсопда, то тензор приводится к диагональному виду [c.711]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...