Инерции главные оси эллипсоид

Главные оси инерции тела. Главные моменты инерции. Главные оси эллипсоида инерции называют главными осями инерции тела. В каждой точке тела, где эллипсоид инерции трехосный, существуют три главные оси [c.181]

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [c.101]

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю [c.179]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Пусть для полюса О построен эллипсоид инерции. Главной осью инерции для него называется ось, которая проходит через точку О и коллинеарна нормали к эллипсоиду, взятой в точке пересечения оси с ним. [c.49]

Главные оси эллипсоида инерции для тела в какой-либо точке называют главными осями инерции тела в этой точке. Моменты инерции относительно этих осей называют главными моментами инерции тела в этой точке. В каждой точке пространства для данного тела существует три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. [c.250]

Эллипсоид инерции для тела, построенный в его центре масс, называют центральным эллипсоидом инерции. Главные оси этого эллипсоида называют главными центральными осями инерции тела. Моменты инерции относительно этих осей называют главными центральными моментами инерции. [c.251]

Любая из главных осей эллипсоида инерции для этой точки. [c.17]

Рассмотрим теперь аналитические методы определения главных осей эллипсоида инерции ). [c.82]

Тогда,, рассуждая так, как и раньше, мы получим иную структуру проекций полодий на плоскость 0 т1 окрестности конца главной оси эллипсоида инерции. [c.420]

Наконец, обратим внимание на общую структуру семейства полодий на поверхности эллипсоида инерции. Как видно из рис. 52, полодии делятся на четыре группы. Каждая из этих групп кривых охватывает конец одной из тех главных осей эллипсоида инерции, которым соответствуют наибольший и наименьший моменты инерции. Эти группы полодий отделяют два эллипса, спроектированных на плоскость 0 т1 в случае, которому соответствует рис. 52, в форме двух отрезков прямых линий АВ и СО. [c.421]

Рассмотрим также однородное тело вращения с осью симметрии Z. Так как ось z — ось симметрии, то она является главной центральной осью две любые взаимно перпендикулярные пряные, перпендикулярные к оси г и пересекающие ее, могут быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость, проходящая через ось г, является плоскостью симметрии значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая, т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции в любой точке оси 2 является эллипсоидом вращения. Момент инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции называется аксиальным-, моменты инерции относительно осей, перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты равны ежду собой, так как равны соответствующие полуоси эллипсоида инерции. [c.291]

Координаты I, т], отсчитываемые вдоль осей семейства эллипсов (61), являются, таким образом, главными k и представляют собой частоты главных колебаний. Определение коэффициентов линейного преобразования (62) и квадратов частот проводится с помощью того же процесса вычисления, который был применен при определении главных осей эллипсоида инерции в 140. Частоты представляют собой корни уравнения [c.566]

Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела относительно точки О. [c.135]

Замечание. Если Д = 0и = 0, то ось Z является главной осью эллипсоида инерции. [c.135]

Другими словами, ось z должна быть главной осью эллипсоида инерции, построенного для твердого тела относительно точки О. Такие оси называются постоянными осями вращения твердого тела. [c.179]

Наиболее простой вид полученные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки имеют, когда за подвижные оси ж, г/, Z выбраны главные оси эллипсоида инерции, построенного относительно неподвижной точки О. В этом случае [c.183]

Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела с одной неподвижной точкой, когда действующие на тело силы приводятся к одной равнодействующей, проходящей через неподвижную точку. В этом случае результирующие моменты действующих активных сил равны нулю L = О, М = 0, = О, и, следовательно, уравнения движения твердого тела в главных осях эллипсоида инерции твердого тела относительно неподвижной точки О имеют вид [c.185]

Случаи постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции относительно неподвижной точки очевидны и ими мы заниматься не будем. Поэтому примем [c.189]

Примем за подвижные оси х, у, z главные оси эллипсоида инерции твердого тела, построенного от-носительно неподвижной точки. В этих осях [c.302]

Если преобразовать уравнение (22.15) к главным осям эллипсоида инерции, то оно примет вид [c.165]

Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество экваториальных главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения р = 0 /2) длиннее экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками. [c.166]

Моменты инерции относительно главных осей эллипсоида (3) называют главными моментами инерции тела для начала координат х, у, 2 они равны обратным квадратам его полуосей. [c.49]

Доказать, что сумма квадратов расстояний концов главных осей эллипсоида инерции до неизменяемой прямой постоянно. (Пуансо). [c.126]

Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Замечательные частные случаи [c.45]

Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Формула (1) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. На оси и отложим по обе стороны от точки О отрезки такой длины ON (рис. 80), что [c.146]

Из возможности привести уравнение эллипсоида инерции к виду (26.12) мы заключаем, что через любой полюс всегда проходят три такие взаимно перпендикулярные оси, что для них произведения инерции обращаются в нули. Эти оси носят название главных осей инерции для взятого полюса, а моменты инерции, им соответствующие, называются главными моментами инерции для данного полюса. Когда за полюс взят центр масс, то эллипсоид инерции, главные оси и главные мо- [c.257]

За подвижные координатные оси дг, у, г выберем главные оси эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки О. Тогда уравнение эллипсоида инерции запишется в виде [c.414]

Доказательство. Пусть сначала тело вращается вокруг меньшей (или большей) главной оси эллипсоида инерции. Если бесконечно мало изменить начальные условия, сообщив телу начальное вращение вокруг бесконечно близкой оси, то эта ось будет в дальнейшем перемещаться по поверхности аксоида, которому соответствует полодия на эллипсоиде инерции, представляющая малую замкнутую кривую, бесконечно близкую к вершине малой [c.419]

Рассматривая движение твердого тела в случае С. В. Ковалевской, направим неподвижную ось 2] вертикально вверх, а подвижные оси X, у, г по главным осям эллипсоида инерции так, чтобы центр масс был расположен на положительной части оси л . Тогда для координат центра масс получим [c.436]

Выбирая за подвижные оси координат оси, неизменно связанные с твердым телом и направленные по главным осям эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки твердого тела, живую силу твердого тела запишем в виде [c.492]

Если направим оси координат по направлению главных осей эллипсоида инерции, то будем иметь [c.557]

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллип-соидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции. [c.179]

То, что движение симметричного тела по инерции является регулярной прецессией, может быть установлено и из геометрической интерпретации Пу-ансо (см. стр. 198 — 199). Действительно, в случае Л = В эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. Поэтому при качении этого эллипсоида без скольжения по неподвижной плоскости, перпендикулярной постоянному вектору Ко, точка касания описывает на плоскости окружность. Ось —одна из главных осей эллипсоида следовательно, при движении тела по инерции эллипсоид инерции (а значит, и тело ) вращается вокруг оси сама же ось прочерчивая окружность на плоскости, перпендику-л."рной Ка, вращается вокруг Ко- [c.202]

Контур Е является проекцией эллипсоида на плоскость О т]. Каждая из дуг гипербол О является проекцией замкнутой полодии на плоскость О т]. Следовательно, в этом случае даже при очень малых абсолютных значениях начальных скоростей (й о и соро точка М 1иЦ Л ) будет описывать на эллипсоиде инерции полодию конечных размеров. Это доказывает неустойчивость оси вращения, совпадающей с соответствующей рассматриваемому случаю главной осью эллипсоида инерции. Во всех приведенных выше случаях угловым скоростям вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции, рассматриваемых как устойчивые оси вращения, возмущения не сообщались. Поэтому проведенный здесь анализ не позволяет судить об устойчивости угловой скорости вращения вокруг этих осей. [c.421]

Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Для того чтобы представить в наглядной форме изменение моментов инерции отно- [c.561]

Пример. Случай этот встречается в движении твердого тяжелого тела с одной закрепленной точкой — в случае Лагранжа. Если за определяющие переменные взять углы Эйлера, которыми определяется положение главных осей эллипсоида инерции тела, построенного для неподвижной точки, относительно неподвижных осей OxijjiZi, где Zi вертикальна и направлена вверх, то [c.312]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Эллипсоид (5) называется эллипсоидом инерции системы для точки О. Если точка О совпадает с центром масс, то эллипсоид (5) называется центральным эллипсоидом инерции. При повороте системы координат Oxyz уравнение эллипсоида инерции меняется. Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции системы для точки О. В системе координат Ox y z оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, уравнение (5) имеет вид [c.146]

В которых правые части представляют собой проекции момента силы тяжести относительно неподвижной точки на оси Oxyz, неизменно связанные с твердым телом и направленные по главным осям эллипсоида инерции, построенного для точки О. [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...