Взаимный эллипсоид инерции

Это уравнение выражает, что ось 0G, проходящая через центр тяжести, должна быть нормальной к той или другой из двух действительных плоскостей круговых сечений так называемого взаимного эллипсоида инерции [c.171]

Вершина гироскопа 112, 117—119 Взаимный эллипсоид инерции 171 [c.544]

Гирационный эллипсоид. Поверхностью, взаимной эллипсоиду инерции, будет другой эллипсоид, который также исполь- [c.31]

Эллипсоид инерции . Если мы будем из-Три взаимно перпендикуляр- менять направление оси О А, то будет [c.340]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Главные оси эллипсоида инерции для тела в какой-либо точке называют главными осями инерции тела в этой точке. Моменты инерции относительно этих осей называют главными моментами инерции тела в этой точке. В каждой точке пространства для данного тела существует три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. [c.250]

Для каждой точки О имеется свой эллипсоид инерции. Эллипсоид инерции для центра масс тела называют центральным эллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции (его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Они являются его осями симметрии. [c.272]

Подставляя в (29) У = У,, получим только два независимых уравнения для определения координат точки х, у, г эллипсоида инерции, соответствующих главной оси инерции. Для которой главный момент инерции есть Третье уравнение системы будет следствием двух других уравнений, так как определитель этой системы равен нулю. Из (29) можно найти только две величины, например х/г и у г. Они определят направление вектора г, вдоль главной оси инерции, момент инерции относительно которой есть Модуль радиус-вектора п остается неопределенным. Аналогично определяются направления векторов Гд и Гд вдоль двух других главных осей инерции, для которых главные моменты инерции равны У.2 и Уд. Можно доказать, что векторы г,, и Гд, направленные вдоль главных осей инерции, взаимно перпендикулярны. [c.277]

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (И), видим, что все центробежные моменты инерции в системе осей Ox y z обратились в нуль. Этим доказывается существование в каждой точке твердого тела трех взаимно перпендикулярных главных осей инерции они совпадают по направлению с осями эллипсоида инерции тела в этой точке. Моменты инерции /ь /2, /з представляют собой главные моменты инерции. [c.286]

Рассмотрим также однородное тело вращения с осью симметрии Z. Так как ось z — ось симметрии, то она является главной центральной осью две любые взаимно перпендикулярные пряные, перпендикулярные к оси г и пересекающие ее, могут быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость, проходящая через ось г, является плоскостью симметрии значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая, т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции в любой точке оси 2 является эллипсоидом вращения. Момент инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции называется аксиальным-, моменты инерции относительно осей, перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты равны ежду собой, так как равны соответствующие полуоси эллипсоида инерции. [c.291]

Два конуса (С) и (С") взаимны между собой, каждый из них представляет собой огибающую плоскостей, перпендикулярных к образующим другого. Три конуса (С), ) и С"), описанные в теле векторами со, сОз и представляют собой конусы второго порядка и имеют общие главные плоскости, совпадающие с главными плоскостями эллипсоида инерции. [c.103]

Отсюда следует, что две угловые скорости 0)5 и (1)3 лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через ОГ. С другой стороны, в силу уравнения (9), обе они лежат в плоскости, сопряженной с направлением ОГ в эллипсоиде инерции. Три вектора (05, сОд и (ОГ) не лежат поэтому в одной плоскости. [c.156]

Бесконечно малое движение сложного сферического маятника представляет собой комбинацию трех одновременных простых движений вращения с бесконечно малой постоянной угловой скоростью вокруг вертикали а двух бесконечно малых колебательных движений вокруг двух осей, наклоненных друг к другу и неподвижных в теле. Эти две оси лежат соответственно в двух взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях и обе расположены в плоскости, сопряженной с вертикалью в эллипсоиде инерции относительно неподвижной точка. [c.157]

Кроме того, если система имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то они необходимо будут главными плоскостями эллипсоида инерции относительно какой угодно точки прямой их пересечения. [c.48]

Из возможности привести уравнение эллипсоида инерции к виду (26.12) мы заключаем, что через любой полюс всегда проходят три такие взаимно перпендикулярные оси, что для них произведения инерции обращаются в нули. Эти оси носят название главных осей инерции для взятого полюса, а моменты инерции, им соответствующие, называются главными моментами инерции для данного полюса. Когда за полюс взят центр масс, то эллипсоид инерции, главные оси и главные мо- [c.257]

Для тела вращения эллипсоид инерции будет также эллипсоидом вращения, одна главная ось совпадает с осью симметрии, и любая перпендикулярная к ней ось, проходящая через центр масс, будет главной. Два взаимно перпендикулярных направления в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, можно принять за оси эллипсоида. Для шара из однородного материала любое направление, проходящее через центр масс, — главное, т. е. эллипсоид инерции вырождается в сферу. [c.234]

Две другие взаимно перпендикулярные оси в плоскости, нормальной к 00, соответствуют одинаковым моментам инерции и являются главными. Поэтому эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения вокруг первой главной оси по линии 00. Очевидно, что момент инерции около этой оси равен /о — моменту инерции шара. Момент инерции относительно второй (и третьей) главной оси равен / + тк . Поэтому отношение полуосей эллипсоида инерции для точки О равно [c.235]

Из аналитической геометрии известно, что всякий эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные оси и что уравнение эллипсоида, отнесенное к его осям, не содержит членов с произведениями координат. Оси эллипсоида инерции, построенного для произвольно выбранной точки О, называются главными осями [c.512]

Для таких тел, имеющих одинаковые моменты инерции для двух взаимно перпендикулярных центральных осей из изложенного легко видеть, что центральный эллипсоид инерции их — эллипсоид вращения с осью Сх. [c.80]

Каким бы ни было рассматриваемое тело, но его эллипсоид инерции, построенный для любой точки, имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии, называемые главными осями инерции для данной точки в случае центрального эллипсоида инерции они называются главными центральными осями инерции тела. Для нахождения главных осей инерции в точке О рассмотрим два вектора (рис. 94) [c.234]

Положим, что ось 2 есть главная ось инерции в точке О (черт. 180). Это значит, что ось г есть одна из осей симметрии эллипсоида инерции, построенного для точки О. Проведем через точку О две взаимно перпендикулярные оси х к у, перпендикулярные также к данной оси г. Как мы знаем, уравнение эллипсоида инерции, отнесенное к осям X, у, г, будет иметь вид [c.289]

Было показано, что каждой точке твердого тела соответствует семейство подобных эллипсоидов инерции. Если построить поверхности, взаимные этим эллипсоидам инерции, то получим другое семейство подобных эллипсоидов, коаксиальных первым и таких, что моменты инерции твердого тела относительно перпендикуляров, опущенных из центра на касательные плоскости к любому из полученных эллипсоидов, пропорциональны квадратам длин этих перпендикуляров. Гирационным называется тот эллипсоид, для которого момент инерции относительно перпендикуляра, опушенного на его касательную плоскость, равен произведению массы тела на квадрат длины этого перпендикуляра. Уравнение гирационного эллипсоида [c.32]

Справедливо и обратное. Можно рассматривать семейство эллипсоидов инерции для произвольной точки твердого тела как поверхности, взаимные гирационному эллипсоиду, построенному для этой точки, но с различными постоянными. Все эти эллипсоиды инерции имеют форму, зависящую от формы гирационного эллипсоида их большие оси направлены по малой оси, а малые оси — по большой оси гирационного эллипсоида. Однако форма эллипсоидов инерции больше соответствует общей форме тела, чем форма гирационного эллипсоида. [c.32]

Этим эллипсоидом можно также воспользоваться для нахождения момента инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат. Пользуясь результатами, полученными в п. 15, можно доказать, что момент инерции тела относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат, пропорционален разности двух выражений. Одно из пих является суммой величин, обратных квадратам длин полуосей этого эллипсоида, другое — величиной, обратной квадрату длины радиуса-вектора эллипсоида, направленного вдоль данной прямой. Рассматриваемый эллипсоид является поверхностью, взаимной эллипсоиду Лежандра. У всех этих эллипсоидов главные диаметры совпадают по направлению, и любой из этих эллипсоидов может быть использован для определения направления главных осей инерции в произвольной точке. [c.34]

Коэффициенты у у, /г г —моменты инерции тела по отношению к новым осям координат х, у г. Оси симметрии эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела для данной точки. Главные оси инерции — это три взаимно перпендикулярных направления, проходящие через данную точку, относительно которых моменты инерции тела имеют экстремальные значения (минимальное для направления большой оси эллипсоида, максимальное — для малой оси и минимум-максимум — для средней оси). [c.151]

При наблюдениях применялась следующая методика. Камера, закрепленная на планшайбе двигателя постоянного тока, приводилась во вращение со скоростью порядка 500 об/мин (рис. 9). Вращение продолжалось несколько минут, в результате чего жидкость и стенки полости начинали вращаться как единое твердое тело. Далее следовала быстрая и полная остановка камеры, после чего жидкость продолжала движение по инерции. Дальнейшее развитие гидродинамических процессов определяется характером устойчивости системы и зависит от взаимной ориентации осей эллипсоида относительно оси вращения прп предварительном разгоне. [c.66]

Среди множества осей координат, связанных с телом, самыми удобными являются главные оси инерции. Как известно из аналитической геометрии, существуют три (в случае трехосного эллипсоида только три) взаимно перпендикулярные прямые, ортогональные к поверхности второго порядка в точках пересечения с ней. Направления этих прямых называются главными направлениями. Если путем поворота придать осям координат главные направления, т. е. перейти к главным осям инерции, то уравнение (6.16) упрощается— обратятся в нуль все коэффициенты с различными индексами. [c.367]

С другой стороны, Мак-Куллах 2), преобразовывая представление Пуансо при помощи инверсии относительно сферы с центром в О и радиусом, равным 1 (которая скользит по самой себе во всяком движении вокруг О), заметил, что при движении по Пуансо так называемый гирационный эллипсоид или взаимный эллипсоид инерции [c.88]

Построение Мак-Куллага. Рассмотрим предложенное Мак-Куллагом представление движения тела с помои ью гирационного эллипсоида. Гирационный эллипсоид является поверхностью, взаимной эллипсоиду инерции относительно сферы радиусом и движение [c.117]

Если эллипсоид инерции не является эллипсоидом вращения, то его главные оси взаимно перпендикулярны. У эллипсоида вращения ось вращения — одна из главных осей инерции, а остальные главные оси лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Лищь в том случае, когда эллипсоид вращения— сфера и любая ось —главная, существуют такие три главные оси инерции, что плоскость, проходящая через любые две из них, не перпендикулярна третьей. [c.182]

Следовательно, в каждой точке твердого тела или неизменяемой материальной системы можно найти три взаимно ортогональные главные оси инерции. Троек главиы.х осей для одной точки может быть больше, чем одна, только в том случае, если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, В тех случаях, когда эллипсоид инерции является сферой, каждый ее диаметр является главной осью инерции. [c.81]

Если преобразование, посредством которого мы из эллипсоида инерции получили гир ационный эллипсоид, применить к последнему, то снова получится эллийсоид инерции вследствие этого оба эти эллипсоида называются взаимными. Если радиус инверсии / взять равным единице, то эллипсоидом, взаимным с эллипсоидом (26.16), будет следующий [c.260]

Посмотрим теперь, каково взаимное расположение кинетического момента тела относительно его. неподвижной точки О и эллипсоида инерции, построенного для этой точки. Покажем, что кинетический момент 0 nepfieHAH-кулярен к плоскости, касающейся эллипсоида инерции в точке Я, его встречи с мгновенной осью вращения (фиг. 138). Согласно формуле (26.9) на стр. 275 радиус-вектор р точки по модулю равен / [c.510]

Если осесимметричное тело имеет две взаимно перпендикулярпые главные оси с одинаковыми моментами инерции, то соответствующий эллипсоид инерции будег эллипсоидом вращения. Такой.случай мы наблюдаем у стержня с квадратным сечением из условий симметрии мы заключаем, что два главных направления имеют одинаковые моменты инерции. Из этих же соображений можно установить, что эллипсоид инерции для куба вырождается в сферу. [c.234]

Значения Ц. м. и. зависят от направлений осей координат. Прп этом для каждой точки тела существуют по крайней мере три такие взаимно перпендикулярные оси, наз. главиыми осями инерции, для к-ры-х Ц. м. и. равны пулю (см. Эллипсоид инерции). [c.391]

Два тела с моментами инерции Л, В, С и А, В, С можно называть взаимно сопряженными. Рассмотрим движение только одного тела и предположим, что в теле закреплены эти два эллипсоида. Перпендикуляр 0L, опуш,енный на плоскость, касательную к эллипсоиду инерции тела в точке его пересечения с мгновенной осью враш,ения, является неизменяемой прямой. Соответству-ющий же перпендикуляр 0L на плоскость, касательную к сопряженному эллипсоиду в точке его пересечения с мгновенной осью враш,ения, называется сопряжнной прямой. Поэтому направля-юш,ие косинусы сопряженной прямой равны А щЮ, B ajG, С щЮ. [c.134]

Пример. Доказать, что момент инерции относительно любой образующей конуса с вершиной в точке Р, взаимного конусу касательных, проведенных из точки Р к гирационному эллипсоиду, будет неизме ным. [c.55]

Фокальные прямые конуса, образованного прямой ОН, перпендикулярны к круговым сеченням взаимного конуса, т. е. конуса, образованного прямой ОЬ. Эти круговые сечения совпадают с круговыми сечениями гирационного эллипсоида. Следовательно, фокальные прямые лежат в плоскости, содержащей оси наибольшего и наименьшего моментов инерции, и не зависят от начальных условий. [c.132]

Фигура Луны аппроксимируется трехосным эллипсоидом, и поэтому существуют три момента инерции А, В к С относительно трех неравных взаимно перпендикулярных осей. Самая длинная ось (Ох) направлена в сторону Земли (приближенно), а самая короткая (Ог) почти перпендикулярна плоскости орбиты (О — центр масс Луны). Таким образом, момент инерции А относительно наибольшей оси является минимальным, а момент инерции С относительно наименьшей оси — максимальным. Изучая динамику системы Земля—Луна, можно показать, что если выполняются законы Кассини, то указанное выше соотношение между моментами инерции (А <С В <СС) действительно имеет место. Из законов Кассини также следует существование малых устойчивых колебаний около состояния стационарного движения. [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...