Эллипсоид инерции. Главные оси инерции

Пусть для полюса О построен эллипсоид инерции. Главной осью инерции для него называется ось, которая проходит через точку О и коллинеарна нормали к эллипсоиду, взятой в точке пересечения оси с ним. [c.49]

Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Замечательные частные случаи [c.45]

Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Формула (1) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. На оси и отложим по обе стороны от точки О отрезки такой длины ON (рис. 80), что [c.146]

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [c.101]

Замечание. — Предыдущие заключения, относящиеся к существованию постоянных осей вращения, можно также весьма просто получить, выполняя приведение центробежных сил вращающегося твердого тела (п° 338). Для того чтобы какая-либо прямая в твердом теле была постоянной осью вращения, нужно, чтобы тело было в равновесии относительно системы осей, участвующих в его вращательном движении, предполагаемом равномерным. В этом случае фиктивные силы, которые нужно дополнительно ввести, приводятся к силам инерции переносного движения различных точек твердого тела, представляющим собой не что иное, как центробежные силы. Чтобы ось OR была постоянной осью вращения для твердого тела, закрепленного в точке О, центробежные силы должны иметь равнодействующую, проходящую через О, т. е. ось OR должна быть главной осью инерции для точки О (п° 328). Для того чтобы эта ось была, кроме того, свободной осью вращения, центробежные силы должны находиться в равновесии, т. е. ось OR должна быть осью центрального эллипсоида инерции. [c.74]

Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество экваториальных главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения р = 0 /2) длиннее экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками. [c.166]

Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты инерции..............351 [c.10]

Если за оси координат принять главные оси инерции (рис. 87, а), то в уравнении эллипсоида инерции исчезают члены, содержащие произведение координат, и оно принимает вид [c.102]

Если В некоторой точке можно указать три главные оси инерции такие, что через любые две из них нельзя провести плоскость, перпендикулярную третьей, то эллипсоид инерции для этой точки заведомо является сферой ). Иногда это можно обнаружить, используя настоящее замечание. [c.182]

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные прира-ш,ения, и результируюш,ие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба. [c.183]

Направления векторов о и /Со совпадают лишь в том случае, когда вектор ы направлен вдоль одной из главных осей, например вдоль оси I (либо т), либо же Р, т. е. когда из трех проекций угловой скорости на эти оси две проекции равны нулю. Этот случай, разумеется, всегда имеет место, если эллипсоид инерции для неподвижной точки является сферой, т. е. если А = В = С, так как в случае, когда эллипсоид инерции — сфера, любая ось, проходящая через неподвижную точку, является главной осью инерции i). [c.187]

Случай В (динамическая симметрия). Рассмотрим теперь частный случай, когда тело имеет ось динамической симметрии. Так как ось симметрии всегда является главной осью инерции, ясно, что одна из осей греческой системы должна быть направлена по оси симметрии. Направим по ней ось Z- Учитывая, что А = В, т. е. что эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, из последнего уравнения системы (60) сразу получаем, что [c.200]

Для того чтобы вычислить это векторное произведение, введем систему координат с осями R и N (Л —прямая, перпендикулярная плоскости П, см. рис, V.14). Это —главные оси инерции, поскольку эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения. Пусть i, J п й —орты осей N, R п t соответственно тогда [c.204]

Если оси декартовых координат направить по главным осям инерции, т. е. по осям эллипсоида инерции в данной точке твердого тела, то, учитывая, что 1у = — — получим в данном случае [c.244]

Если оси хну, проходящие через точку О, не являются осями эллипсоида, то ф О, т. е. если только одна из осей будет главной осью инерции в данной точке твердого тела, то в нуль обращаются лишь два центробежных момента инерции относительно осей, одной из которых является главная ось инерции например, если д — глав- [c.245]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле силы тяжести. С помощью ортонормированных векторов, е з, вз, жестко связанных с телом, зададим направления главных осей инерции относительно неподвижной точки О. Соответственно Л, В, С суть главные моменты инерции. Потребуем, чтобы тело было динамически симметричным (эллипсоид инерции был эллипсоидом вращения). Например, пусть [c.478]

Отсюда, если за оси координат принять главные оси инерции тела в точке, то коэффициенты при произведениях координат в уравнении эллипсоида инерции тела в этой точке (16) будут равны нулю [c.250]

Пусть одна из координатных осей, например ось Ог, является главной осью инерции тела в точке О. Тогда эта ось по определению является осью симметрия эллипсоида инерции. Если точка N (х, у, г) лежит на эллипсоиде инерции, то точка Ы (—х, —у, г) также лежит на эллипсоиде инерции. Подставив координаты этих точек в уравнение эллипсоида инерции (16), получим [c.250]

Кинетический момент тела может быть коллинеарным с угловой скоростью в те моменты времени, когда мгновенная ось вращения совпадает с одной из главных осей инерции тела для неподвижной точки. Приведем соотношение, применяемое при рассмотрении движений вокруг неподвижной точки тел, эллипсоиды инерции которых для этой точки представляют собой эллипсоиды вращения [c.451]

Для каждой точки О имеется свой эллипсоид инерции. Эллипсоид инерции для центра масс тела называют центральным эллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции (его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Они являются его осями симметрии. [c.272]

В случае эллипсоида вращения все прямые, расположенные в экваториальной плоскости эллипсоида, перпендикулярной оси вращения, будут главными осями инерции. Для шара любая прямая, проходящая через его центр, есть главная ось инерции. [c.272]

Допустим теперь, что какая-нибудь ось, например ось Ох, является главной осью инерции. Пересечем поверхность эллипсоида (1.94) плоскостью 2 = 0. В сечении получим эллипс, определяемый равенством [c.81]

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (И), видим, что все центробежные моменты инерции в системе осей Ox y z обратились в нуль. Этим доказывается существование в каждой точке твердого тела трех взаимно перпендикулярных главных осей инерции они совпадают по направлению с осями эллипсоида инерции тела в этой точке. Моменты инерции /ь /2, /з представляют собой главные моменты инерции. [c.286]

Приведем другую постановку того же вопроса, исходящую из геометрической интерпретации тензора инерции. Направлениям главных осей инерции соответствуют оси симметрии эллипсоида инерции, а следовательно, экстремальные значения моментов инерции. Поэтому дело сводится к нахождению значений а, р, 7, связанных соотношением [c.287]

Рассмотрим также однородное тело вращения с осью симметрии Z. Так как ось z — ось симметрии, то она является главной центральной осью две любые взаимно перпендикулярные пряные, перпендикулярные к оси г и пересекающие ее, могут быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость, проходящая через ось г, является плоскостью симметрии значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая, т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции в любой точке оси 2 является эллипсоидом вращения. Момент инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции называется аксиальным-, моменты инерции относительно осей, перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты равны ежду собой, так как равны соответствующие полуоси эллипсоида инерции. [c.291]

Следует иметь в виду, что в каждой точке тела можно провести по крайней мере три главные оси инерции, но может случиться, что для данной точки возможно указать бесконечное множество осей, каждая из которых может быть выбрана за главную ось (например, в том случае, когда эллипсоид инерции принимает вид сферы или эллипсоида вращения). [c.563]

Чтобы найти главные оси инерции материальной системы для точки О, надлежит решить задачу об экстремуме J при условии = 1, ибо по крайней мере наибольшая и наименьшая полуоси эллипсоида инерции системы, построенного для точки О, этими экстремальными свойствами обладают. [c.136]

Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Для того чтобы представить в наглядной форме изменение моментов инерции отно- [c.561]

Эллипсоид (5) называется эллипсоидом инерции системы для точки О. Если точка О совпадает с центром масс, то эллипсоид (5) называется центральным эллипсоидом инерции. При повороте системы координат Oxyz уравнение эллипсоида инерции меняется. Главные оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции системы для точки О. В системе координат Ox y z оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, уравнение (5) имеет вид [c.146]

Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты ииериди [c.351]

Пусть известны компоненты тензора инерции в точке О относительно осей координат Oxyz. Для определения направления главных осей инерции в точке О используем уравнение эллипсоида инерции относительно этих осей [c.276]

Если оси координат Ox y z являются главными осями инерции, то радиус-вектор г точки М эллипсоида инерции, расположенной на главной оси инерции, например оси Oz (рис. 35), направлен по нормали к эллипсоиду, т. е. параллельно вектору grad ф, который, согласно его определению, вычисляется по формуле [c.276]

Следовательно, в каждой точке твердого тела или неизменяемой материальной системы можно найти три взаимно ортогональные главные оси инерции. Троек главиы.х осей для одной точки может быть больше, чем одна, только в том случае, если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, В тех случаях, когда эллипсоид инерции является сферой, каждый ее диаметр является главной осью инерции. [c.81]

Легко видеть, что в тех случаях, когда одна ось системы координат совпадает с одной из главных осей инерции, два соответствующих центробежных момента инерции обращаются в нуль. Действительно, в точке пересечения главной оси с поверхностью эллипсоида радиус-вектор, проведенный из начала координат, и орт нормали к поверхности эллипсоида коллинеариы (рис. 13). [c.81]

Контур Е является проекцией эллипсоида на плоскость О т]. Каждая из дуг гипербол О является проекцией замкнутой полодии на плоскость О т]. Следовательно, в этом случае даже при очень малых абсолютных значениях начальных скоростей (й о и соро точка М 1иЦ Л ) будет описывать на эллипсоиде инерции полодию конечных размеров. Это доказывает неустойчивость оси вращения, совпадающей с соответствующей рассматриваемому случаю главной осью эллипсоида инерции. Во всех приведенных выше случаях угловым скоростям вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции, рассматриваемых как устойчивые оси вращения, возмущения не сообщались. Поэтому проведенный здесь анализ не позволяет судить об устойчивости угловой скорости вращения вокруг этих осей. [c.421]

Если два из моментов инерции равны, например А В, то уравнения (10) удовлетворяются нри p = q — 0 и любом г (вращение вокруг главной оси инерции Oz), а также при г==0 и любых р п q (вращение вокруг люоой оси, проходящей через точку О, лежащий в экваториальной плоскости эллипсоида инерции и, следовательно, являющейся главной осью инерции). [c.158]

ИЗ. Распределение главных осей инерции в теле. Рассмотрим главные оси Oxyz центрального эллипсоида инерции материальной системы начало этих осей является центром масс системы. [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...