Матрица жесткости стержневого элемента

Матрица К представляет матрицу жесткости стержневого элемента, вычисленную в пространственной системе координат. Вектор-столбец Р представляет приведенные узловые силы (от температурного воздействия), согласованные с новыми обобщенными перемещениями q. Поскольку в качестве компонент вектор-столбца q выступают проекции узловых перемещений на оси oXk, то сопряженными силовыми факторами, выступающими в качестве компонент вектор-столбца Р, будут соответствующие проекции узловых сил. Аналогичным образом упорядочены компоненты вектор-столбца сил реакций t. В развернутом виде матрица жесткости стержневого элемента и вектор приведенных узловых сил можно представить следующим образом [c.133]

При решении задач о деформировании плоских стержневых систем один из направляющих косинусов (например, 1з если ферма расположена в плоскости oj ,j j) равен нулю. Это приво дит к тому, что матрица жесткости конструкции становится особенной. При решении таких задач можно закрепить все узлы в направлении оси, перпендикулярной плоскости конструкции, либо воспользоваться конечным элементом плоской фермы. Получение матрицы жесткости стержневого элемента [c.133]

Матрица жесткости стержневого элемента [к] построена в ортогональных осях X и г/ и должна быть преобразована к косоугольной системе координат х, у. Постройте преобразованную матрицу жесткости. [c.68]

Путем сравнения можно построить следующую точную матрицу жесткости стержневого элемента с линейным изменением толщины [c.176]

Сведите эту матрицу к обычной (2х2)-матрице жесткости стержневого элемента. [c.203]

В п. 2.2.1 главы 2 было получено выражение для матрицы жесткости стержневое элемента. Получим это же выражение, используя так называемые функции формы , дальнейшем этот подход будет использоваться нами в других, более сложных, случаях. [c.60]

Из сказанного следует, что матрицу жесткости стержневой системы можно образовать из матриц жесткости разрозненных конструктивных элементов по следующему правилу kij = О, если узлы i и / не связаны непосредственно никаким элементом = 2к ,-, если узлы i и / связаны несколькими элементами (суммирование выполняется по этим элементам) ки = 2k f, где суммирование ведется по всем элементам, сходящимся в узле i. Все эти случаи можно объединить общей формулой [c.88]

Таким образом, для получения матрицы жесткости стержневой системы можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня [c.88]

Кроме того, если сравнить эту матрицу жесткости с матрице растягиваемого стержневого элемента, то выясняется, что коэффи циенты последней матрицы суть константы, а среди компонен первой матрицы имеются как константы, так и величины, завися щие от длины, например 6, ЗL, 2L Отношение этих величин може быть достаточно большим, что существенно влияет на точность чис ленного решения системы линейных алгебраических уравнений образованной при помощи матрицы жесткости. Помимо аспектов касающихся точности численного процесса, очевидно, что можн( добиться больших удобств и значительной эффективности вычисли тельного процесса, если коэффициенты жесткости элемента не за висят от характерных размеров элемента, т. е. записаны в безраз мерном виде. [c.48]

Формула (4.5) позволяет сформировать матрицу жесткости стержневой системы из матриц жесткости отдельных элементов. На основании (3.10) [c.72]

Обратимся к построению матриц жесткости и податливости для всей стержневой системы. В данном случае в соответствии с (2.11) матрицы жесткости отдельных элементов имеют вид [c.94]

Здесь К — матрица жесткости системы, д — вектор узловых неизвестных (перемещений), а вектор Р представляет собой приведенную в узлы нагрузку от массовых и поверхностных сил. Для построения глобальной матрицы и глобальных векторов достаточно вычислить соответствующие объекты одного конечного элемента и, расположив их на соответствующих местах глобального массива, просуммировать. Это суммирование достигается формальными выкладками (таким же способом составляются, например, уравнения равновесия стержневых систем в строительной механике [179]). [c.632]

Построение деформационной модели базируется на математическом принципе суперпозиции двух идеализированных ее составляющих упругого армирующего каркаса с приведенной матрицей жесткости и упругопластического изотропного связующего с заданной кривой упрочнения. Допущения, принятые при построении первой составляющей модели, характерны для пространственной стержневой системы в расчете учитывается лишь одноименная с каждым из четырех направлений волокон жесткость. Сеть волокон считается размазанной по всему объему куба, принятого за представительный элемент. Таким образом, при равномерно распределенной плотности энергии деформации находится эквивалентная матрица жесткости однородного материала. Обозначив ее индексом а (армирующие волокна), приведем полную запись для нее в системе главных осей упругой симметрии 123 [c.79]

Таким образом, процедура решения задачи по МКЭ полностью соответствует методам строительной механики стержневых систем. Некоторое отличие можно проследить только в процедуре составления матрицы жесткости для МКЭ всегда используется формула (1.8), для стержневых систем матрица жесткости часто строится из других соображений. Правда, стержневые системы имеют одну особенность гипотеза плоских сечений, лежащая в основе их расчета, с одной стороны, обусловливает совместность конечных элементов, с другой стороны, порождает дифференциальный оператор задачи. Поэтому здесь появляется возможность подобрать такие координатные функции, которые, с одной стороны, являются решением однородного дифференциального уравнения, с другой стороны, дают возможность построить совместные конечные элементы. МКЭ в этом случае для стержневых систем будет точным методом. [c.26]

Вычисление матриц жесткости отдельных конструктивных элементов, из которых состоит стержневая система, составляет важный этап ее расчета матричным методом перемещений. Узлами для элементов служат точки соединения их друг с другом. Для расчета матриц жесткости элементов могут применяться различные способы мы остановимся на трех из них как наиболее простых и употребительных. [c.53]

Мы рассмотрели случай, когда конструкция закреплена на опорах. Если система свободна, то непосредственно из уравнения (3.68) перемещения найти нельзя, так как матрица жесткости К для всей конструкции является вырожденной. Действительно, силы, действующие на свободную конструкцию, не могут быть произвольными они должны удовлетворять уравнениям равновесия всей системы в целом. Таких уравнений будет 6 для пространственной и 3 для плоской стержневой системы. Таким образом, в случае пространственной конструкции 6 элементов матрицы Р — Рц в уравнении (3.68) определяются через остальные элементы, являясь некоторыми линейными комбинациями последних. Но тогда и соответствующие 6 элементов матрицы-столбца Kv будут также линейными комбинациями остальных. Это говорит о том, что строки матрицы жесткости связаны между собой линейными зависимостями. Определитель подобной матрицы равен нулю, т. е. матрица жесткости для свободного тела является вырожденной. [c.92]

Для стержневых элементов рассматриваются нагружение внешними силами и нагрев. Для полых толстостенных и тонкостенных многослойных цилиндрических стержней, работающих на растяжение — сжатие и изгиб, приводятся программы вычисления матриц жесткости. Рассмотрены особенности деформирования стержней несимметричной структуры, растяжение и сжатие которых сопровождается закручиванием. Для исследования устойчивости дается матрица приведенных начальных усилий. Изгиб и устойчивость стержней рассматриваются с учетом деформаций сдвига. [c.125]

Составим подпрограмму вычисления матрицы жесткости и вектора приведенных узловых сил стержневого конечного элемента подкрепления. [c.169]

В качестве исходных данных примем RK — кривизна стержня (1/Л) считается постоянной по длине конечного элемента DL — длина стержневого элемента (Х(з)—X(i)) D 3,3) — двумерный массив, коэффициенты которого соответствуют коэффициентам матрицы приведенных жесткостей S) в (3.95) TN(3) — массив, коэффициенты которого соответствуют коэффициентам вектор-столбца температурных составляющих погонных усилий JVr в (3.95) РР (3) — массив, коэффициенты которого соответствуют коэффициентам вектор-столбца внешних распределенных снл (р). [c.169]

Выбираем N сечений стержневой системы с указанием обобщенных перемещений жд, в них. Вычисляем элементы 5д / матрицы податливости D. В соответствии с утверждением 7.3 5д / — перемещение по направлению жд , вызванное действием единичной силы Pi = 1. При наличии упругих опор проводим модификацию (12.40) матрицы D. Затем находим матрицу жесткости С = [c.433]

Рассматривая известные соотношения для стержневого элемента, изображенного на рис. 2.7, получим пример матрицы жесткости элемента [c.46]

Чтобы проиллюстрировать изложенную выше процедуру, построим матрицы жесткости для трех простых элементов стержневого, балочного, треугольного плоско-напряженного. [c.126]

Постройте (Эх 3)-матрицу жесткости для стержневого элемента (рис. Р6.13) с тремя узлами, в котором поле перемещений имеет вид [c.203]

Приближенно найдите матрицу жесткости для стержневого элемента, изображенного на рис. Р6.14, используя линейное поле перемещений [c.203]

Если матрица жесткости для балочно-стержневого элемента формулируется с использованием точной функции перемещений, то коэффициент жест- [c.419]

Упрощение всех зависимостей и взаимная обратимость формул с матрицами жесткости и податливости для несвободных элементов делает предпочтительным их использование. Однако это не всегда возможно и целесообразно с точки зрения расчета всей стержневой системы в целом. Тем не менее на этапе расчета отдельного свободного или частично свободного элемента бывает удобно искусственно превратить его в несвободный элемент устранением некоторых узлов по некоторым направлениям и заменой их соответствующими связями. Число связей должно соответствовать числу степеней свободы элемента как жесткой системы, и при этом связи не должны стеснять возможные деформации элемента. Оказывается, что харак- [c.30]

Реальные балки воспринимают не только сдвиговые нагрузки и изгиб, но и осевые грузки. Матрицу жесткости для балочного элемента в этом общем случае получим комбинированием матрицы жесткости (2.23) с матрицей жесткости для стержневого элемен (2.17) [c.48]

В данной работе предлагается принципиально новый метод расчета цилиндрических складчатых систем, основанный на алгоритме МГЭ для стержневых систем. Теоретической основой метода является вариационный метод Канторовича-Власова. Решение задачи Коши изгиба прямоугольной пластины представлено в 6.2. Его можно использовать для расчета пластинчатых систем в случаях, когда плоским напряженно-деформированным состояниям элементов можно пренебречь. Алгоритм МГЭ устраняет практически все отмеченные выше недостатки существующих методов. Так, для формирования системы разрешающих уравнений типа (1.38) не используются матричные операции, не рассматривается основная система, снимаются ограничения на условия опирания пластин по торцам (граничные условия могут быть любыми, а каждая пластина может иметь смешанные граничные условия и включать как прямоугольные, так и круглые элементы), матрица коэффициентов А сильно разрежена, хорошо обусловлена и может приметаться в задачах статики, динамики и устойчивости, возможен учет ортотропии, ребер жесткости, упругого основания, переменной толщины и т.д. Таким образом, алгоритм МГЭ охватывает практически наиболее общий случай расчета. Перечисленные преимущества сопровождаются, как это бывает всегда, и недостатками. В частности, порядок матрицы А существенно больше порядка матрицы реакций метода перемещений. Однако этот недостаток [c.232]

На первый взгляд, структура решения задачи с помощью изопараметрических конечных элементов проста и не требует специального подхода. Однако при более детальном рассмотрении можно заметить, что стоит ввести промежуточный узел, т. е. задать криволинейный изопара-метрический стержневой элемент второго порядка (рис. 6, б), как трудоемкость явного интегрирования матрицы жесткости [ ] значительно возрастает. В этом легко убедиться, проделав аналогичные выкладки при следующих значениях [c.44]

Если разбить раму на стержни постоянной жесткости, то получится 8 элементов, и матрица Л будет иметь размер 40x40 элементов. Если для участков рамы 0-1 4-2 3-5 использовать рекуррентные соотношения (2.48), то раму можно представить совокупностью 5 стержней (их них 3 условных стержня), и матрица Л будет иметь размер 25x25 элементов. Ориентированные графы расчета по двум вариантам показаны на рисунке 2.38. Ось ОУ каждого стержневого элемента направим вверх . Сформируем уравнения типа (2.48) для стержней 0-1, 4-2 и 3-5 в соответствии с п.2.7. [c.112]

Рассмотренный алгоритм является общим и применим для построения матрицы жесткости стержня, описываемого любым из приведеннБК выше дифференцишп1ных уравнений (8.12.25) - (8.12.30). Использование таблиц специальных функций [42] имеет смысл только при расчете стержневых систем без использования ЭВМ. Добавляя к матрице жесткости (8.12.34) элементы EL4//, получают матрицы жесткости в местной системе координат. Так, матрица жесткости (8.12.22) может быть построена по дифференциальному уравнению (8.12.25) с использованием описанного выше алгоритма. [c.95]

На рис. P2.ll приведена матрица жесткости трехузлового стержневого элемента. Осуществите конденсацию этого представления и получите систему уравнений жесткости для и, и и . [c.67]

Характеристики элемента, такие, например, как матрицы жесткости и податливости, зачастую удобно определять в местной системе осей х , у , z , повернутой по отношению к системе осей X, у, Z, единой для всей стержневой системы. При соединении элементов в единое целое необходимо иметь характеристики элементов в системе осей х, у, z. Посмотрим, как следует преобраз овывать характеристики элементов при переходе от системы осей х , у, к X, у, Z. Ввведем матрицу направляющих косинусов осей у , 2 относительно осей х, у, г [c.36]

ДОЛЬНЫХ деформаций стержней не приводит к явным ограничениям по перемещениям в узлах. Если стержневая система состоит только из элементов второго типа, то пренебрежение продольными деформациями стержней не отражается на характере разрешающих уравнений и на процедуре расчета. Если же в стержневую систему входят элементы первого типа, то непосредственное использование ранее приведенных зависимостей становится невозможным из-за появления бесконечно больших по значению элементов в матрице жесткости и произведе- [c.123]

Обратимся к более общему случаю (рис. 7.16). Пусть узлып и п- - соединены очень жестким элементом е . Обозначим матрицы жесткости частей стержневой системы, примыкающих к элементу е , соответственно К1 и Кг- Если принимать в расчет [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...