Частные значения постоянных интегрирования

ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОСТОЯННЫХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 271 [c.271]

Каждому значению п соответствует частное решение, а каждому частному решению соответствует свое значение постоянной интегрирования. Общее решение есть сумма частных решений для всех последовательных положительных значений чисел п [c.61]

Мы рассмотрим эти общие уравнения в следующем параграфе. Здесь же мы начнем с изучения частного случая, когда начальное вращение происходит вокруг оси тела, что определяет значения постоянных интегрирования. [c.116]

Общее же решение, удовлетворяющее условиям закрепления оболочки, будет иметь следующий вид w = w + w, и = и, где W, и — частные решения температурной задачи, определяемые на основании формул (7.7), (7.6). Значения постоянных интегрирования с, l и С2 вычисляются для нужного вида граничных условий. [c.188]

Используя значения постоянных интегрирования i и Сз и частных решений [c.215]

И в самом деле, если мы сделаем преобразование, которое состоит в замене величин (3) величинами (4) (е — произвольных постоянный угол), уравнения движения не изменятся. Поэтому мы должны прийти к новому частному решению этих уравнений, соответствующему новым значениям постоянных интегрирования. [c.265]

Постоянную интегрирования находим из начальных данных. В начальное мгновение (при = 0) величина угловой скорости была сй(,. Подставляя эти частные значения аргумента t и функции со, находим постоянную С . [c.169]

Чтобы определить Q — постоянную интегрирования, надо подставить в это равенство вместо оз и t какие-либо их частные соответствующие значения. Например, если при t = О угловая скорость была ш , то, подставляя эти частные значения аргумента t и функции ш, определяем постоянную С] = Шо. [c.58]

Выбирая в качестве начальных условий при i = О значения а = р = 0 иа = р = 0, определяем постоянные интегрирования S2, S3, S и частное решение уравнений (11.17) [c.68]

Рассмотрим частный случай балки прямоугольного сечения, опертой по концам, под действием вертикальных непрерывно распределенных усилий на верхней и нижней гранях с интенсивностями А sin ах и В sin ах соответственно. Рис. 31 соответствует случаю, когда а = 4я// и значения А и В положительны. Распределение напряжений для этого случая можно получить из решения (д). Постоянные интегрирования i.....С4 можно определить из [c.71]

Значения х = е л = представляют собой частные решения первого уравнения. Как и в предыдущем случае, общее решение получим, составляя линейную комбинацию двух частных решений. Пусть а,Ь к а , — четыре постоянных интегрирования, тогда общие решения предшествующих уравнений будут [c.163]

Приложение формулы (84) к частным случаям требует вычисления символа (г, 5) для различных номеров г и 5. Мы уже говорили, что нужно найти тп 2тп — 1) значений символа непосредственно, а остальные — с помощью найденных. Эти вычисления, вообще говоря, требуют знания х и как функций а. Но при подходящим образом выбранных системах постоянных интегрирования можно легко определить все значения символа (г, з), не только не зная выражения х и I через а, но даже не интегрируя ни одного из уравнений (14). [c.379]

Расчет нагруженных таким образом пластин не встречает принципиальных затруднений, однако если определять решения уравнения изгиба на каждом участке независимо, то придется а каждом участке иметь дело с двумя постоянными интегрирования, которые затем нужно определять из условий равенства моментов и углов поворота на границах участков. Это приводит к довольно громоздким выкладкам. Поэтому частное решение целесообразно строить так, чтобы оно давало непрерывные значения д и yHi на границах участков, В этом случае условия совместности деформаций будут выполняться автоматически, и постоянные С, и Са будут иметь единые значения для всей пластины. [c.22]

Функция у (х, с,,..., С ), тождественно удовлетворяющая диференциальному уравнению п-го порядка г(х, у, у, ..., v< )) = О и зависящая от п произвольных постоянных l,..., Сп, называется общим решением уравнения. Соотношение Ф (v, у. С,,..., С ) = О, определяющее общее решение уравнения как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. Произвольные постоянные могут быть определены. если заданы начальные условия, т. е. при некотором значении Xq независимой переменной X заданы значения функции и её производных JV, ..з д(п —1). Если соблюдаются условия теоремы о существовании и единственности решения (см. стр. 226), то общий интеграл уравнения даёт полное решение задачи об интегрировании диференциального уравнения п-го порядка. В противном случае могут существовать так называемые особые интегралы, которые нельзя получить из общего интеграла при частных значениях произвольных постоянных. [c.224]

Из рис. IV.13 следует частный вывод, что второй и третий сепаратные процессы после момента времени t = 0,6 с практически мало изменяются. Поэтому переменным х и х после = 0,6 с могут быть присвоены постоянные установившиеся значения и интегрирование ведется только первой сепаратной системы (IV.60) второго порядка. [c.195]

Величина w представляет собой частное решение уравнения (403), J и С 2 — постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий при ф = я/2. Так как при этом значении угла ф диафрагма имеет свободный край, то должны, очевидно, выполняться следующие граничные условия [c.327]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

Зная постоянные интегрирования Сп п= 1,2, 3, 4) и значения частных решений (табл. 9—12), по формулам (6.9.41) вычисляем усилия (ег ) , [c.201]

Полное решение поставленного вопроса с целью определения величины и направления всех перемещений и всех сил после установления соответствия принятых условий сводится, таким образом, к нахождению посредством интегрирования уравнения в частных производных второго порядка (41) функции F, зависящей от у, z, и значения постоянной go, которые удовлетворяли бы условиям (40) и (42) для различных форм контуров сечений. [c.427]

Хвх в виде единичной скачкообразной функции X ( ) = 1 [ ] и нулевых начальных условиях. Если бы мы решали эту задачу классическим способом, то нам, очевидно, пришлось бы получить прежде всего для системы исходное дифференциальное уравнение (четвертого порядка и, следовательно, с правой частью), найти численные значения корней характеристического уравнения (для уравнения без правой части), выписать (судя по их виду) интеграл уравнения без правой части. Затем задаться видом частного решения уравнения с правой частью каким-либо из известных нам методов (например, методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных множителей Лагранжа), для чего придется многократно (3 раза) дифференцировать и, получив общий интеграл, искать постоянные интегрирования. Это потребует из-за наличия производных в правой части и скачкообразной формы возмущения пересчета начальных условий. Только после определения постоянных интегрирования в численном виде можно будет, задаваясь значениями аргумента t, вычислить ординаты функции или кривой переходного процесса. [c.145]

Задача интегрирования, таким образом, решена. Мы получили три частных решения уравнений движения одно из них дает вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси ОГ (это решение содержит одну произвольную постоянную), два других дают колебательные движения вокруг осей, наклоненных друг к другу (каждое из этих решений содержит две произвольные постоянные). Всего имеем, таким образом, пять произвольных постоянных. Так как уравнения относительно р, с], г линейные и без правых частей, то общее решение системы можно получить в виде суммы найденных частных решений. Полученное таким способом решение будет содержать пять произвольных постоянных, что позволит произвольно задать начальные значения функций р, д, г н двух их производных. [c.155]

Мы не будем здесь исходить при интегрировании этих уравнений из частных предположений относительно сил X, У, 1, X, У, 2, но вычислим из них, какие значения должны иметь эти силы, чтобы шары двигались при этом известным образом. Мы рассмотрим при этом только случай, когда каждый шар будет обладать равномерным движением, так что и, V, и) и и, и, щ будут постоянными. Если бы имелся только один шар, то он двигался бы равномерно, если бы никакие силы не действовали на него поэтому силы, компоненты которых суть —X, —У. — Z и —X, —У, —2, можно рассматривать как те силы, с которыми действуют друг на друга оба шара. Вследствие предположения, что и, о, т, и, V, щ постоянны, мы должны в уравнения (15) вместо Т подставить выражение для V (14). [c.210]

Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было выражено уравнениями в частных производных (Р)], также всегда может быть выражен в относительных координатах он поможет нам раскрыть форму характеристической функции V,, показав, что эта функция включает только такие внутренние координаты (числом бл — 9), которые не меняются при любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как неподвижное, а величина Н, как постоянная. Таким образом, общая задача динамики, касающаяся движений свободной системы п точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию функции V,, зависящей от бл — 9 внутренних или относительных координат [ ] и от величины Н, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения, а именно в момент, когда t = О, конечные или переменные координаты были равны их начальным значениям, причем ду, гг [c.199]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

Эти оставшиеся тп 2тп — 1) значений (г, з) символа отвечают различным комбинациям по две из независимых от времени а , а ,--а п и могут быть вычислены только в частном случае, т. е. когда известны функция V и система произвольных постоянных а, полученных при интегрировании уравнений (14). [c.374]

В этом уравнении г = О в центре трубы а, Ъ, с, а — постоянные, характерные для частных распределений газосодержания. Значения объемного газосодержания, полученные интегрированием [c.95]

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но гг они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости п таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов. [c.291]

Необходимо отметить, что в числе суммируемых членов имеется член, в котором все символы Vj,. .., имеют нулевое значение. Следовательно, мы должны в некотором смысле признать существование системы, не содержащей ни одной частицы, которая, хотя и бесплодна сама по себе в ка честве объекта исследования, но все же не может быть исключена из рассмотрения как частный случай системы с переменным числом частиц. В этом случае е постоянна и интегрирования не нужны. Мы имеем, следовательно ) [c.190]

Частные значения постоянных интегрирования (270) — 163. Пр,1ме-нение к противосиянию (Gegens luin) (272)— i64. Применены критерия устойчивости к второй группе частных решений (273). [c.14]

Частные значения постоянных интегрирования. Выразим постоян--ные интегрирования через начальные условия и покажем, что последние Л10гут быть выбраны так, что движение будет периодичным. [c.270]

Аргументы t, <71, <72,. .., ( ы — независимые переменные, входящие в уравнение (11.350). Переменные Qu Q2, QN можно рассматривать как постоянные интегрирования. Действительно, функция У, определенная равенством (П.351Ь), должна удовлетворять уравнению (II. 350) при произвольных значениях переменных Q , С 2, , так же, как полный интеграл уравнения в частных производных удовлетворяет этому уравнению при произвольных значениях постоянных интегрирования. [c.357]

Заметим, что уравнения (47.2) сохранят свою форму и для свободного твёрдого тела, если ограничимся лишь рассмотрением движения тела вокруг центра масс и положим, что силы дают относительно этой точки момент, равный нулю сказанное вытекает из уравнений (45.57) на стр. 504 при = 0. Итак, задача о движении твёрдого гела по инерйин вокруг неподвижной точки, заключающая в себе эйлерово движение как частный случай,.совпадает с задачею о движении свободного твёрдого тела вокруг его центра масс, если только силы дают относительно центра масс момент, равный нулю. Всё различи в уравнениях движения, интегрирование которых даёт решение задачи, состоит лишь в значениях постоянных Уц,.Д.,), в первой задаче это — главные моменты инераии, соответствующие неподвижной точке, а в последней это — главные центральные моменты инерции. Заметим, что для эйлерова движения и указанное различие исчезает неподвижная точка и центр масс совпадают. [c.522]

При таком постепенном приведении присоединяющееся каждый раз интегральное уравнение применяется для исключения одной из переменных. Например первый интеграл — а применяется для того, чтобы выразить через X, х ,. .. и и полученное значение подставить в А, Xj,. .. При этом, хотя мы до сих пор рассматривали как произвольную постоянную, однако легко видеть, что в рассуждении ничто не изменится, если вместо подставить определенное значение Только в этом случа-е приведенная система не будет более равнозначаща с данной, а будет соответствовать только частному случаю, когда в интегральном уравнении = а произвольная постоянная а имеет частное значение а . Хотя таким образом в течение интегрирования можно дать произвольной постоянной некоторое частное значение н этим путем ввести в выкладки некоторый частный интеграл данной системы, но веб же надо знать полный интеграл fn = определения множителя из М необходимо знание / . Таким образом недостаточно знать частный интеграл х = Ф(х, х ,. .. без произвольной постоянной, но надо знать, как произошел частный интеграл из полного интеграла = и какое. значение дано произвольной постоянной. В этом заключается распространение принципа носледнего множителя, которое можно высказать следующим образом [c.102]

До настоящего времени не найдены методы интегрирования уравнений Навье — Стокса в их общем виде. Правда, для некоторых частных случаев течения вязкой жидкости удалось найти решения, но среди этих частных случаев только совсем немногие не налагают никаких ограничений на величину вязкости. К числу таких случаев, допускающих для коэффициента вязкости любые значения, принадлежат, например, течение Пуазейля в трубе и тбчение Куэтта между двумя параллельными стенками, из которых одна неподвижна, а другая движется в своей плоскости с постоянной скоростью (рис. 1.1). Это обстоятельство вынудило искать решение проблемы расчета течений вязкой жидкости, исходя из двух предельных случаев. А именно, с одной стороны, были рассмотрены течения с очень большой вязкостью, а с другой стороны, стали исследоваться течения с очень малой вязкостью, так как в том и другом случае получаются некоторые математические упрощения. Однако результаты, полученные для таких предельных случаев, ни в коем случае нельзя интерполировать на течения 0 средней величиной вязкости. [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...