Отсчетная конфигурация. Деформация

ГЕОМЕТРИЯ ОТСЧЕТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ ДЕФОРМАЦИИ ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИИ [c.28]

Отсчетная конфигурация. Деформация [c.85]

В вышеприведенном примере для обоих движений предполагалась одна и та же отсчетная конфигурация. Если бы мы в качестве отсчетной приняли текущую конфигурацию (как это обычно делают для жидкостей), те же самые два движения имели бы предыстории деформаций, значения которых различались бы во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где благодаря выбору отсчетной конфигурации градиент деформации был бы равен единице для обоих движений. Следовательно, при таком выборе отсчетной конфигурации физический смысл различия двух движений в момент наблюдения оказался бы скрытым математическим символизмом. При выборе текущей конфигурации жидкого элемента в качестве отсчетной вычисление производных по деформационным импульсам в момент наблюдения потребовало бы сложных операций. [c.158]

Здесь V — набла-оператор в отсчетной конфигурации. На основании (1.6), (1.10)—(1.1.2) получаем следующие эквивалент-1 ыё представления градиента деформации [c.26]

Пусть оболочка в отсчетной конфигурации представляет сО- бои цилиндрическую панель, т. е. сектор круговой цилиндриче-1 ской оболочки радиуса уо. Рассмотрим следующую деформацию панели [c.138]

Функция W(E) называется потенциальной энергией деформаций. Механический смысл функции W(E) следует из ее определения эта функция представляет потенциальную энергию деформаций единицы массы тела. Введем удельную потенциальную энергию деформаций (упругий потенциал) И (Е) [67] (потенциальная энергия деформаций единицы объема тела в отсчетной конфигурации) [c.71]

Последнее обстоятельство приводит к тому, что при конечноэлементной дискретизации уравнений в слабой форме касательная матрица жесткости получается несимметричной [106]. Один из путей преодоления этой трудности состоит в замене тензора напряжений Коши тензором напряжений Кирхгофа (характеризующим силу, отнесенную к площадке в отсчетной конфигурации), что можно сделать для малых упругих деформаций в силу (2.88). Для UL-подхода совпадает с s . В этом случае можно сформулировать вариационный принцип относительно скоростей [73, 79] (см. гл. 3), а касательная матрица жесткости при конечно-элементной дискретизации уравнений будет симметричной [97]. [c.103]

Отнесем срединную поверхность недеформированной оболочки к ортогональным материальным координатам а . Пусть уравнение этой поверхности до деформации (отсчетная конфигурация) и после нее актуальная конфигурация) имеет соответственно вид [c.232]

Пусть Г —контур срединной поверхности оболочки, заданный параметрическими уравнениями а = а (I), в которых s — длина дуги Г до деформации. С кривой Г связываем тройку взаимно ортогональных векторов касательной и тангенциальной нормали к Г и нормали к срединной поверхности. Их обозначаем соответственно г, и, п до деформации и Гт, г, , п после деформации. Если г = г(I) — векторное уравнение Г в отсчетной конфигурации, то [c.321]

Для описания мер деформации вводится локальный базис в отсчетной конфигурации [c.637]

В рамках классической нелинейной механики сплошных сред следует считать, что О = Ка Ки — отсчетная конфигурация тела, деформацию которого обычно описывают, сравнивая отсчетную конфигурацию с актуальной деформированной), либо П — подобласть Кц. [c.664]

Упругой называется среда с потенциальными внутренними силами. Вид потенциала П (на единицу массы) пока неизвестен, но можно утверждать, что П определяется деформацией. Введем потенциал на единицу объема в отсчетной конфигурации рП П и учтем ба- [c.58]

Уравнениям совместности можно дать следующую неформальную трактовку. Мысленно разделим тело в отсчетной конфигурации на малые кубики. Согласно заданному полю г, каждый кубик превращается в косоугольный параллелепипед. Для того, чтобы в актуальной конфигурации тело осталось сплощным, деформации кубиков должны быть неким образом согласованы. [c.81]

Дальнейшая конкретизация (3.3) требует задания А. Остаются в силе все рассуждения гл. 3 о виде потенциала, но добавляется температурная зависимость. Ограничимся случаем малых деформаций и малых изменений температуры Т = Т -Т — температура в отсчетной конфигурации) — тогда можно представить А квадратичной формой со следующим выражением производной [c.116]

Прояснив смысл второго вектора деформации, обратимся к первому — Г. Без ущерба для общности можно считать s дуговой координатой в отсчетной конфигурации и направить I3 по касательной. Тогда [c.141]

Обобщение подобных подходов на задачи устойчивости стержней с произвольной геометрией достигается на основе фундаментального принципа виртуальной работы. Рассмотрим малую деформацию при напряженной отсчетной конфигурации. Перемещение и и поворот 9 — малые величины одного порядка Л —> О, а силы и моменты представлены суммами типа 6 = 6+0, где й = 0(Х). В уравнении виртуальных работ удерживаются все члены второго порядка. При этом используются равенства [c.263]

Грина и Фингера, называя их 0(0, Р (О вместо О, Р. Нет нужды в реконструкции обозначений величин, определение которых не связано с отсчетной конфигурацией, каковы вектор скорости V, его градиент уу, деформация О, вихрь W. [c.47]

Потенциальная энергия деформации представляется функцией инвариантов (относительно полной ортогональной группы) выбранной меры деформации. Отсчетной конфигурацией является неискаженное состояние по (3.5.11) напряженное состояние в ней представляется шаровым тензором, описывающим равномерное во всех направлениях сжатие или растяжение в частности оно может отсутствовать, если отсчетная конфигурация —натуральная. Преобразование подобия натуральной конфигурации приводит к новой отсчетной неискаженной конфигурации, но уже не являющейся натуральной. [c.107]

Потенциальная энергия деформации определена с точностью до аддитивной постоянной и может быть принята равной нулю в отсчетной конфигурации [c.108]

Представления удельной потенциальной энергии деформации тела Синьорини по (2.7) при отсчетных конфигурациях V, V, связанных преобразованием подобия (4.4.3), имеют вид [c.162]

Осесимметричная деформация круглого полого цилиндра. Поверхностное нагружение осуществляется равномерно распределенными по внутренней и наружной поверхностям цилиндра г = г , г = г-,) давлениями р,. Материальными координатами служат цилиндрические г, ф, г в отсчетной конфигурации. Для принятых условий нагружения следует принять радиальное перемещение зависящим только от г, а осевое — линейной функцией Место точки в актуальной конфигурации определяется выражением [c.206]

В изотропной упругой среде, когда за отсчетную конфигурацию принято неискаженное состояние материала, / и е представимы через меру деформации Фингера F [c.415]

При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную определение напряженного состояния не требует конкретизации задания удельной потенциальной энергии деформации. [c.501]

Конечно, движение (II. 1-1) позволяет определить бесконечно много деформаций по одной на каждую отсчетную конфигурацию X. Если и Хк, и ставятся посредством (3) в соответствие одному и тому же движению X тела то мы будем говорить, что Хх, и X, — эквивалентные деформации тела Иными словами, х, 9 X , представляют одно и то же движение тела а, но описываемое относительно различных отсчет-ных конфигураций Xj и щ, точно так же, как в аналитической геометрии два различных уравнения могут описывать одиу и ту же геометрическую фигуру в различных системах координат. [c.87]

Прежде всего, поскольку тензор U симметричен, он имеет по крайней мере одну ортогональную тройку главных осей эти оси называются главными осями деформации ) в точке X в отсчетной конфигурации x(i ). Точно также и V имеет ортогональную тройку главных осей, которые называются главными осями деформации в точке X в актуальной конфигурации х ( > О - В силу (2) и и V имеют общие собственные числа. Действительно, если Bj — собственный вектор тензора U, соответствующий собственному числу Vi, то [c.100]

Деформация х по отношению к отсчетной конфигурации х называется однородной, если тела-точки, образующие прямолинейный отрезок в образуют прямолинейный отрезок и в X, ( ,0- Согласно известной теореме элементарной геометрии, всякая такая деформация должна быть аффинной в любой момент 1. Таким образом, однородная деформация х имеет вид [c.111]

Используя нестрогие определения, упругие тела можно считать материалами, обладающими совершенной памятью каждое из этих тел помнит, таким образом, свою предпочтительную форму. В то же время вязкие жидкости (или в общем случае жидкости Рейнара — Ривлина) не обладают памятью и чувствительны лишь к мгновенной скорости деформации. Между двумя этими крайними концепциями возможны промежуточные. Можно представить себе материалы, которые, хотя и лишены отсчетной конфигурации особой физической значимости — они не обладают способностью запоминать свою предпочтительную форму навсегда и, по существу, являются жидкостями ,— все же могут сохранять некоторую память о прошлых деформациях. Очевидно, здесь затронуто понятие о затухающей памяти , которую следует определить. При жэлании можно видеть, что, в то время как твердые тела запоминают одну форму навсегда, в памяти жидкости удерживаются все формы, но не навсегда. [c.75]

Теория БКЗ представляет собой распространение вышеупомянутых концепций на упруговязкие жидкости. Постулируется также, что и для этих жидкостей существует энергетическая функция,, которая, разумеется, не обладает уже консервативными свойствами напротив, эта функция затухает с течением времени, отсчитываемого от момента наложения деформаций. Если принять в качестве отсчетной конфигурацию материала в текупщй момент и учитывать вклад деформаций за все времена в прошлом, то эта гипотеза приводит к следуюш,ему уравнению для напряжений [c.223]

С точки зрения кинематики конечных деформаций отличие наращивания тела от тел постоянного состава состоит в том, что для него невозможно зафиксировать какую-либо единую отсчетную конфигурацию частиц, по отношению к которой имело бы смысл говорить об изменении полевых величин (перемещений, деформаций и др.), определяющих состояние наращиваемого тела. Действительно, поскольку тело в процессе наращивания непрерывно пополняется новыми элементами, то произвольно выбранный элемеггт его не имеет прообраза ни в одной из конфигураций тела в моменты времени, предшествующие моменту присоединения рассматриваемого элемеггга. Кроме того, так как различные частицы могут присоединяться к телу в одной и той же точке пространства (имеется в виду случай конечных деформаций), для наращиваемого тела невозможно ввести корректное определение вектора перемещения. [c.191]

Видим, что. ковариантные. компоненты тензора деформаци Коши в лагранжевом базисе отсчетной конфигурации совпадаю-с ковариантными компонентами тензора деформации Альманз в лагранжевом базисе деформированной конфигзфации. [c.30]

Гиперупругнй материал называется изотропным, если существует такая отсчетная конфигурация, относительно которой удельная потенциальная энергия деформации W является изотропной функцией меры деформации Коши —Грина Л. Эта от- [c.45]

Здесь W — удельная потенциальная энергия деформации оболочкр, то есть энергия, приходящаяся на единицу площади средицной поверхности в отсчетной конфигурации. [c.88]

Формулы (2.9) описывают деформацию кручения оболочки вращения, сопровождаемую осесимметричным изгибом. При этом деформиров анная срединная поверхность остается поверхностью вващения. Для отсчетной конфигурации оболочки имеем [c.135]

На рис. 20 условно показано движение тела вдоль некоторой траектории деформации [219]. Будем различать в этом движении три различные конфигурации 1) отсчетная конфигурация v (начальное или неде-формированное состояние) 2) актуальная конфигурация (текущее деформированное состояние, соответствующее началу шага) 3) конфигурация V2 (деформированное состояние, близкое к актуальной конфигурации Vi и соответствующее концу шага). [c.93]

Значит и тензоры (4), (5) — нулевые, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную не отличается от аффинного. Эти тензоры, характеризующие неаффинность преобразования, называются тензорами аффинной деформации (А. Ц. Норден). [c.53]

Ограничения на зависимость уравнения состояния от градиента деформации, выраженные функциональным уравнением (3.18), обусловлены соображениями инвариантности актуальной конфигурации сравниваемых движений в нештрихованном и штрихованном базисах. Отсчетная конфигурация оставалась неизменной. Рассмотрение вопросов, связанных с ее выбором, позволит дать некоторую классификацию простых упругих материалов (твердое тело, жидкость) и точно определить понятие изотропии. Актуальная конфигурация в этих рассмотрениях предполагается неизменной. [c.89]

При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную тензор напряжений постоянен и представйм в единой для всех материалов форме записи уравнения состояния. Явное задание его коэффициентов или представление удельной потенциальной энергии через инварианты деформации требовалось на этапе количественного разыскания связей между деформациями и напряжениями в конкретном материале. [c.206]

Декартовы координаты а отсчетной конфигурации служат ее материальными координатами. Предполагается, что антиплоская деформация осуш,ествлена в предварительно растянутом цилиндре, так что в актуальной конфигурации декартовы [c.313]

Теперь мы дадим важное определение. Пусть ф — деформация, инъективная на 2, так что матрица Уф обратима во всех точках отсчётной конфигурации. Рассмотрим тензор Г (дс ), заданный в точке дс = ф (х) деформированной конфигурации. Поставим в соответствие тензору Г (дс ) тензор Т (х), заданный в точке X отсчетной конфигурации, полагая [c.72]

В отсчетном описании используется некоторая заранее выбранная отсчетная конфигурация х и движение х описывается в терминах деформации Мы всегда должны иметь в виду, что X выбираем мы сами, что х — это просто некоторая конфигу- % рация, которую тело занимало или могло бы занимать, и что-всегда должна существовать возможность так сформулироватьi предположения и уравнения, чтобы они были справедливы при i любом выборе X, хотя при некотором специальном выборе х, может быть, и легче описать свойства деформации чем при дру--гих. Любое движение имеет бесконечно много равноценных от-, счетных описаний., В 3 мы уже выразили этот факт по-дру--гому, введя понятие экивалентных деформаций тела в данном -движении. [c.88]

Это — линейная аппроксимация отображения (II. 3-3). Более точно, следовало бы называть ее градиентом деформации отно- г сительно х но в том случае, когда, как обычно, раз и навсегда устанавливается одна-единствен ая отсчетная конфигурация, не должно возникнуть путаницы от того, что мы не будем лишний I" раз напоминать себе, что уже сами понятия деформации и градиента деформации предусматривают использование некоторой отсчетной конфигурации. Если, как мы это можем сделать, мы выберем независимо координаты X и л в отсчетной и в акту-альной конфигурациях соответственно, так что движение (И.3-3) окажется записанным в координатной форме [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...