Причинность и дисперсионные соотношения

ПРИЧИННОСТЬ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [c.106]

Рассуждения, приводящие от условия причинности к дисперсионным соотношениям для амплитуды рассеяния вперед, можно обобщить и на случай амплитуд рассеяния на другие углы. Однако в этом случае момент времени о, до которого рассеянная волна отсутствует, не совпадает с моментом времени, [c.110]

Соотношения (4.31) показывают, что в неограниченной среде, описываемой уравнением состояния (4.23), распространение звуковой волны всегда сопровождается поглощением (мнимая часть 1/с (со)) и дисперсией (действительная часть l/ (со)), которые связаны между собой. Подчеркнем тот факт, что приведенный вывод дисперсионных соотношений (4.29) опирается только на аналитичность и ограниченность функции X (со) в верхней полуплоскости со, которые обусловлены условием причинности и стремлением среды к состоянию термодинамического равновесия. Справедливость соотношений (4.31) для функции ф(со)= 1/с(со)—1/соо, характеризующей волновой процесс в среде, кроме того, обусловлена наличием достаточно простой связи (4,30) между с(ш) и х((й), не приводящей к нарушениям аналитичности с (со) или 1/с (со). В более сложных случаях, например для электромагнитных волн в анизотропной плазме [29] или для нормальных звуковых и электромагнитных волн в слоистых средах [30], связь между параметрами среды и волновыми параметрами приводит к нарушению аналитичности последних, и дисперсионные соотношения в общем случае не имеют места. [c.55]

Сама Д. п. к числу обобщённых восприимчивостей не относится и для нее нет соотношений типа приведённых выше. Исключение составляет дисперсионное соотношение при к—О, точнее при к- Ь (где L — линейный размер среды), к-рое может быть получено без использования гамильтониана, непосредственно из причинности принципа — равенства нулю величины г—г ) в (4) при t[c.699]

Принцип причинности, ограничивающий область интегрирования в выражениях (.1.6) и (1.9), приводит к определенным свойствам аналитичности функций x " ( oi, С02,. .., ш ). В результате возникают дисперсионные соотношения, которые в линейном случае являются хорошо известными соотношениями Крамерса — Кронига [c.13]

Эти формулы называются дисперсионными соотношениями ). Как мы видели, они являются непосредственным следствием аналитических свойств корреляционных функций и функций Грина и, по существу, отражают принцип причинности в неравновесных процессах. [c.368]

Впервые дисперсионные соотношения получены Г. Крамерсом в 1926 г. для комплексной диэлектрической проницаемости изотропной среды г оо). Связь между дисперсионными соотношениями и условием причинности была установлена Р. Кронигом в 1942 г. В классической электродинамике сплошных сред вектор электрической индукции О связан с напряженностью поля Е соотношением О = + Р, где Р = епг 1) — плотность дипольного момента в СИ, г — радиус-вектор электрона, п — концентрация электронов. В классической модели потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром и = тио г /2. В этом случае [c.200]

График этой зависимости показан на рис. 2.13. Частота со а представляет собой константу, характеризующую данную физическую систему. Причина такой универсальности написанного соотношения в том, что у всех рассмотренных систем возвращающая сила, действующая на массу (или индуктивность), является результатом связи массы с соседними массами и пропорциональна относительному смещению масс. Существует, однако, много других интересных и важных форм дисперсионных соотношений. Например, имеются системы, у которых возвращающая сила, действующая на движущийся элемент, имеет две независимые компоненты. Одна компонента возникает из-за связи данного элемента с подобными соседними движущимися элементами. Для этой компоненты дисперсионное соотношение имело бы вид (88). Вторая компонента возникает из-за связи с некоторой внешней силой. Вклад этой компоненты зависит [c.89]

На практике дисперсионное соотношение (10.98) для рассеяния под углом, отличным от нуля, значительно менее полезно, чем (10.100), по двум причинам. Во-первых, с точки зрения экспериментального определения или отыскания каким-либо другим способом правая часть (10.98) известна ничуть не лучше, чем левая. К тому же для рассеяния под углом не существует оптической теоремы, которая позволила бы упростить это соотношение. Во-вторых, и это более важно, интеграл в правой части содержит нефизическую область . Из (10.84) следует, что для сохранения действительных значений угла рассеяния необходимо, чтобы [c.274]

К 3, п. 2. В этом пункте приведен упрощенный вариант доказательства, предложенного в работе Кури [482], который первым доказал дисперсионное соотношение (10.98) при указанных условиях. Дисперсионным соотношениям и свойствам аналитичности для нерелятивистского потенциального рассеяния посвящены также работы [1010, 490, 97, 98, 73, 489, 410, 356, 355, 264, 53, 51, 818, 433, 12]. Митра [603] рассмотрел случай, когда потенциал является сепарабельным. Обобщение на релятивистское потенциальное рассеяние дано в работах [320, 484] см. также [385]. Связь с принципом причинности рассмотрена в работе [865]. [c.278]

П. Рассмотреть вывод дисперсионных соотношений для электромагнитного излучения, приведенный в гл. 4, 2 и основанный на принципе причинности. Применим ли он для случая рассеяния квантовых частиц Если нет, то почему [c.279]

В п. 1.1 уж упоминалось, что функции 8 у(ш, к) не имеют особенностей в верхней полуплоскости и на вещественной оси комплексной переменной ш (этот важный результат вытекает в первую очередь из принципа причинности, в силу которого в (1.6) интегрирование ведется лишь в интервале О оо) ). Отсюда следует, что вещественная и мнимая части /у(ш. к) на вещественной оси ш связаны между собой интегральным образом —с помощью так называемых дисперсионных соотношений. [c.42]

Уравнение для функции О, как легко убедиться, совпадает с (8.10), если вычеркнуть там второе и третье слагаемые в левой части, т. е. оно никогда не содержит явно потенциала Ф(х) и тока J. Легко проверить, например, что вариация уравнения (8.12) по (х ) дает (8.11) без второго и третьего членов слева. По этой причине функцией О иногда бывает удобнее пользоваться, чем (так, например, обстоит дело при вычислении среднего потенциала в пространственно неоднородной системе заряженных частиц, см. 21). С другой стороны, дисперсионные соотношения 4, 5 явно выписаны именно для а не для О. Чаще всего, однако, рассматривается однородная система, когда различие между и исчезает. В дальнейшем мы всегда будем писать уравнения именно для В , имея в виду, что она совпадает с как раз тогда, когда последняя представляет интерес. [c.73]

Необходимо отметить, что полученные выше дисперсионные соотношения для обобщенной восприимчивости являются прямым следствием сформулированного нами несколько ранее общефизического принципа причинности (в рассматриваемом случае — для восприимчивости х(0 и несколько далее — для формальных коэффициентов переноса L t)), который в частотном варианте получил свое спектральное выражение в исходной интефальной форме для динамической восприимчивости х(П) или в виде формул Крамерса—Кронига, связывающих ее действительную и мнимую части. [c.227]

Из приведенных данных видно, какое огромное внимание было уделено изучению поглощения и дисперсии сейсмических волн. Параметры поглощения волн в горных породах измерялись с помощью разнообразных методик в широком диапазоне частот и условий. Было предложено большое число моделей поглощения, которые исследовались с различной степенью математической строгости. Условие причинности, будучи примененным к распространению волн в линейно-неупругих средах, порождает дисперсионные соотношения, которые позволяют аппроксимировать экспериментальные данные в разумных пределах. Однако до сих пор нет общей концепции относительно доминирующего механизма поглощения или предпочтительного дисперсионного соотношения. Много вопросов остаются не решенными. [c.146]

Напомним, что называют особенностями Ландау. Это особенности фейнмановских интегралов, рассматриваемых как аналитические функции внешних импульсов частиц в соответствующих графах Фейнмана. В мои задачи не входит объяснение того, как фейн-мановские интегралы были введены в физику и почему физики интересовались изучением их особенностей, даже несмотря на то, что их вера в сами интегралы оказалась поколебленной. Я не буду говорить и о тонких причинах (построение дисперсионных соотношений), побудивших физиков изучать особенности, появляющиеся при комплексных значениях импульсов. Вместо этого я хочу показать, что для вещественных импульсов в так называемой физической области особенности Ландау являются довольно простыми геометрическими объектами, которые могут быть введены непосредственно с помощью чисто кинематических рассмотрений, и поэтому должны играть важную роль в любой разумной теории элементарных процессов, каково бы ни было динамическое содержание такой теории. Мой доклад состоит из двух частей в первой части вводятся геометрические объекты, называемые особенностями Ландау, и изучаются их свойства во второй части речь идет об их физическом смысле и о той роли, которую они играют в различных теориях элементарных процессов. [c.145]

Несмотря на незавершенность общей теории сильных взаимодействий, в ней удалось получить несколько точных количественных результатов, допускающих экспериментальную проверку и опирающихся только на основные требования теории релятивистская инвариантность, справедливость исходных положений квантовой теории, причинность, положительность энергии. Примером может служить приведенное в п. 8 ограничение (7.124) на возможную степень роста полного сечения о<. Главным экспериментально проверяемым точным результатом теории сильных взаимодействий следует считать дисперсионные соотношения, предложенные М.Гелл-Манном, М. Гольдбергом и В. Тиррингом (1954) и строго доказанные Н. Н. Боголюбовым (1956) для рассеяния пион—нуклон. Боголюбовские дисперсионные соотношения имеют вид [c.396]

Будучи частным (н исторически первым) примером дисперсионных соотношений, Iv.— К. с. имеют универсальную форму, не зависящую от структуры и динамики среды. Они выводятся из общего причинности принципа, прид(енённого к эл.-динамич. функциям отклика. Однако поскольку связь комплексного показателя преломления л с этими ф циями в общем сл чае слож-па, вывод об аналитичности ф-ции п (со) можно сделать [c.487]

В физ. приложениях чаще встречается именно такое одностороннее Л. п. переменная х имеет обычно смысл времени, а функция / (л ) описывает реакцию системы на внеш. воздействие, начинающееся с момента x=Q (в двустороннем Л. п. интегрирование проводится по всей оси). Согласно физ. причинности принципу, реакция не может опережать воздействие, и /(а )=0 для л <0. Поскольку Л. п. даёт в этом случае ф-цию F k), аналитическую при д>0, можно использовать аппарат теории аналитич. ций для матсм. анализа разл. явлений в оптике, электродинамике сплошных сред, теории электрич. цепей, гидродинамике, сейсмологии и др. (см. Дисперсионные соотношения). Л. П. введено П. Лапласом (1812), впоследствии использовано для обоснования операционного исчисления, введённого О. Хевисайдом (О. Heaviside). [c.577]

Л. к. является отражением физ. представлений спец. теории относительности о пространстве-вромени. Физ. смысл Л. к. раскрывается эйнштейновским принципом причинной независимости событий, по к-рому возмущение состояния системы, производимое в одной области пространства-времени, не влияет па процессы в другой области, отделённой от первой пространственноподобным интервалом (такие две области наз. причинно независимыми). С помощью Л. к. выводится ряд нетривиальных следствий об амплитудах взаимодействия элементарных частиц б7Р7 -иивариантиость (см. Теорема СРТ), дисперсионные соотношения (см. Диспер-сионных соотношений метод), Померанчука теорема, Фруассара ограничение и др. [c.605]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Существенные результаты даёт также использование принципа причинности, согласно к-рому к.-л. событие может воздействовать лишь на события, связанные с ним времениподобным интервалом и происходящие в более поздние мовшнты времени. Требование причинности, выраженное в матем. форме, накладывает серьёзные ограничения на аналитич. свойства элементов матрицы рассеяния, что позволяет написать дисперсионные соотношения, связывающие действи- [c.499]

Следует еще раз обсудить причины, которые обычно выдвигаются, чтобы объяснить расхождение между экспериментальными и теоретическими коэффициентами отражения МИС. Прежде всего, это несоответствие оптических констант веществ, которые обычно используются для интепретации, и тех, что практически реализуются в слоях МИС. В работе [66 ] измерение коэффициента от титануглеродной МИС было использовано для определения оптических констант титана в области аномальной дисперсии. Слои титана в образце имели толщину 26,4 А. Результаты оказались в прекрасном согласии с данными, полученными методом дисперсионных соотношений из известных значений киэффициекта поглощения [771. Таким образом, в данном случае константы титана в слоях МИС и в массивном образце совпадают. [c.444]

Функция Грина (25) удовлетворяет условию релятивистской причинности, исчезая при х из-за наличия -функции и равенства нулю коммутатора вне светового конуса, т.е. при х . Это ведет к ряду общих свойств, которыми обладает любая удовлетворяющая указанному условию функция отклика среды 7 (сс ,к) (см. [14] и Приложение). Именно величина Т (сс ,к + сс 8), где 8 — произвольный вектор с 5 = 1, анали-тичпа как функция ш в верхней полуплоскости этой переменной при фиксированном к. Отсюда следует дисперсионное соотношение Леонтовича [c.228]

С другой стороны, в особенности в последнее время, в связи с изучением дисперсионных соотношений, делаются попытки освободиться от теорпи возмущений и от адиабатич. гипотезы и ио возможности полнее восстановить первоначальный подход Гейзенберга. Это удается сделать, лишь налагая, в дополнение к первоначальной схеме, требование строгой причинности, К-рое позволяет вводить локальные операторы и уста- [c.160]

Все сказанное выше оттгосится к теории 1 -матриг1,ы, основанной на лагранжевом описании. Существует и другой путь построения -матрицы, базирующийся на исследовании ее аналитич. свойств и получивший назв. метода дисперсионных соотношений. Дисиер-сионный подход использует такие наиболее общие принципы, как унитарность -матрицы, релятивистская инвариантность и другие важные требования симметрии. Особое место занимают здесь условия причинности. Для т. н. простых дисперсионных соотношений (по одной переменной) они существенны. В J[y- [c.204]

Тем не менее есть особая причина, в силу которой желательно изучить дисперсионное соотношение для волн ряби на воде произвольной, но постоянной глубины, а именно возможность выбора много меньшей, чем обычная глубина воды в волновой кювете с тем, чтобы (разд. 1.7) рябь имитировала звуковые волны, обладая по возможности малой дисперсией. Идея состоит в том, что глубина выбирается таким образом, чтобы уничтожить противодействующие отклонения в скорости от длинноволновой асимптотики уменьшение (рис. 52) скорости за счет уменьшения Я до величин, сравнимых с глубиной, и увеличение ее (рис. 56) за счет уменьшения Я до величин, при которых эффективное значение Е повышается из-за влияния поверхностного натяжения. [c.279]

Следует заметить, что поскольку мы рассматривали определенную модель взаимодействующего с излучением атома, то полу чеппое нами равенство не содержит сразу всех деталей происходящего процесса взаимодействия. Дисперсиопиые соогношепия были выведены Крамерсом и Кронигом для показателя преломления и коэффициента поглощения, но они получили значительно более широкое применение. Важная роль дисперсионных соотношений заключается в том, что они могут быть установлены для любого причинного события. Обсуждение вопроса о дисперсионных соотношениях и причинности проводится в работе [5]. Дисперсионные соотношения можно получить для любых величин, допускающих аналитическое продолжение на комплексную плоскость. Мы используем эту методику в п. 4.10.2 при выводе уравнения для смещения фазы за проход в лазерной среде с учетом формы линии. Это уравнение, как было показано в [6], является важным для понимания процесса затягивания моды. [c.63]

К 2, п. 1. Более подробно свойства преобразования Гильберта изложены в книге Титчмарша [838]. Дисперсионное соотношение (4.36) впервые было получено Кронигом [504] и Крамерсом [501]. И тот и другой получили его как предельный случай в теории дисперсии резонансного поглощения, обусловленной атомными линиями, но только Крамере связал этот результат с условием причинности. Более подробное рассмотрение дисперсионных соотношений можно найти в опубликованных сравнительно недавно статьях [864, 845], в которых также содержатся дополнительные ссылки см. также работы [385, 324]. [c.119]

Физики и инженеры хорошо представляют себе пре-имуш ества описания полей с помощью линейных уравнений. При таком описании эффекты от независимых источников аддитивны. К сожалению, при быстром развитии науки и техники, которое сопровождается выделением самостоятельных узких направлений исследования, на общность некоторых основных положений линейной теории иногда не обращают внимания. Например, то, что инженеры-электрики называют импульсной реакцией, является функцией рассеяния для физиков-оптиков и функцией Грина для физиков-теоретиков. То, что в одной дисциплине называется требованием причинности, в другой известно как дисперсионное соотношение, а в третьей — как условие физической реализуемости четырехполюсника. [c.15]

Спектры на рис. 3 и 4 хорошо иллюстрируют это обстоятельг ство. Напротив, каждая компонента Фурье волны (5.3) представляет собой точное решение уравнений Навье—Стокса (по существу, тривиальное, так как нелинейные инерционные члены тождественно равны нулю) ограничений на амплитуду нет. Следовательно, при взаимодействии этих волн заранее нет причин, по которым не возникают вынужденные компоненты с волновыми векторами и частотами, не подчиняющимися дисперсионным соотношениям (5.4), и амплитудами, сравнимыми с амплитудами первичных волн. [c.158]

Дисперсия скорости и закон зат)осания волн в линейных системах в силу принципа причинности, как известно (ЧАСТЬ 1), связаны дисперсионными соотношениями, поэтому, исходя из приведенных выше представлений, можно сконструировать модельные уравнения, эффективно описывающие кинематику волн, соответствующих процессам распространения возмущений в рассматриваемых системах, доопределив подходящим образом уравнения дисперсии для комплексного волнового числа к в области отрицательных частот, а затем перейдя к их про-странственно-временному представлению. [c.137]

Одна из причин развития А. т. п.— желание получить непосредств. следствия из системы аксиом, аккумулирующих осн. представления о мире, с тем чтобы подвергнуть их эксперим. проверке. К таким результатам А. т. п. относится теорема СРТ и строгий матем. вывод связи спина со статистикой (см. Квантовая теория поля). Важнейший результат А. т. п.— доказательство дисперсионных соотношений, связывающих две измеримые на опыте хар-ки рассеяния ч-ц полное эфф. сечение рассеяния и веществ, часть амплитуды рассеяния. Эксперим. проверка этой связи показала, что вплоть до расстояний 5 10- см сомнений в правильности исходных аксиом не возникает. [c.13]

Впоследствии обнаружился чрезвычайно общий характер К.—К. с. Они явл. следствиел причинности принципа и представляют собой частный класс дисперсионных соотношений в частотной области. Они справедливы как для равновесных сред, так и для широкого класса неравновесных (возбуждённых) сред (напр., для активных сред квант, генераторов и усилителей). В средах с пространств, дисперсией могут быть получены соотношения между е и s", учитывающие релятив. принцип причинности. [c.318]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...