Дифференциальные уравнения для сферических функций

Дифференциальные уравнения для сферических функций 156 [c.2]

Так как со есть любая сферическая функция, то из (6.31) мы получим два совместных дифференциальных уравнения для определения Р и О [причём /определяется по формуле (6.28)] [c.146]

При расчете пологих сферических и конических оболочек общее дифференциальное уравнение для оболочек вращения может быть преобразовано в два бесселевых дифференциальных уравнения, решение которых также приводит к формулам-, по которым можно вычислить значения затухающих функций для сил, моментов и перемещений. [c.29]

Для упомянутых выше систем обыкновенных дифференциальных уравнений не удалось найти достаточно простых общих точных методов решения (в качестве исключения можно привести сферическую оболочку [40, 90, 110, 114, 149, 190], для которой общий интеграл однородных моментных уравнений, соответствующий п-му члену разложения, удалось выразить через элементарные функции и присоединенные функции Лежандра комплексного индекса). [c.209]

Недостатком такой теории является, однако, то, что, будучи громоздкой, она в то же время недостаточно обща. Объясняется это тем, что возможности асимптотического метода ограничены и находятся (как видно из приведенного выше элементарного примера) в существенной зависимости от свойств коэффициентов дифференциальных уравнений (а для уравнений в частных производных и от свойств тех границ, на которых задаются краевые условия). Надо добавить также, что принятие быстроизменяющейся части решения в экспоненциальной форме (как это делает А. Л. Гольденвейзер) не исчерпывает всех возможностей асимптотического метода. Иногда удается строить асимптотические решения на базе других быстроизменяющихся функций (например, при расчете торообразных оболочек и решении некоторых задач сферической оболочки для этой цели успешно можно применить Бесселевы функции). [c.81]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

Если провести вокруг тела сферическую поверхность радиусом Го, то скорость движения жидкости в каждой точке этой поверхности равна некоторой функции времени и имеет направление, совпадающее с направлением радиуса сферы. В этом случае для области пространства, лежащей между Го и г< Х, можно записать решение уравнения Лапласа в виде произведения функции от координаты г и функции времени / = ф(г)/(/). Функция г) (г) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению [c.194]

В настоящей главе с помощью термодинамики необратимых процессов вы водятся соотношения и уравнения взаимосвязанной динамической задачи термоупругости тел с прямолинейной анизотропией, физико-механические характеристики которых —функции прямоугольных декартовых координат. Полученная взаимосвязанная система дифференциальных уравнений описывает деформацию тела, возникающую при нестационарных механических и тепловых воздействиях, а также обратный эффект — изменение его температурного поля, обусловленное деформацией. Из этой системы вытекают соответствующие уравнения несвязанных динамической и квазистатической задач термоупругости неоднородных тел, обладающих прямолинейной анизотропией, и изотропных тел, отнесенных к прямоугольной декартовой системе координат. Далее приводятся уравнения несвязанной динамической задачи термоупругости для тел, физико-механические характеристики которых —функции цилиндрических или сферических координат. Наконец, выводятся уравнения несвязанной динамической задачи термоупругости тонких неоднородных пластин, обладающих прямолинейной или цилиндрической анизотропией, и соответствующие уравнения для тонких изотропных пластин. [c.13]

Для оболочек вращения, обладающих постоянной кривизной меридиана, рассматриваемая задача с помощью статико-геоме-трической аналогии и комплексного преобразования уравнений оболочек сводится к нахождению комплексной разрешающей функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению второго порядка. В случаях конической и сферической оболочек приводятся точные решения в специальных функциях для всех усилий, моментов и перемещений, необходимые для расчета тепловых напряжений. [c.9]

В качестве наиболее простой задачи термоупругости оболочек в 6.6 рассматривается задача о тепловых напряжениях в цилиндрической оболочке разрешающее уравнение этой задачи является дифференциальным уравнением четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Далее выводятся разрешающие уравнения для других форм оболочек с постоянной кривизной меридиана (конической, сферической, торообразной). Для каждой из них в 6.7 составляется разрешающее уравнение в виде дифференциального уравнения второго порядка относительно комплексной функции, при этом используются известные в теории оболочек стати ко-геометрическая аналогия и комплексное преобразование уравнений. Анализ форм решений и граничных условий для этих оболочек излагается в 6.8. [c.170]

Для сферических и конических оболочек с большим подъемом каждое дифференциальное уравнение может быть преобразовано в дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения может быть получено (как и решение для цилиндрических оболочек) в виде комбинации гиперболических и тригонометрических или экспоненциальных и тригонометрических функций (табл. 3.3). [c.29]

Пока еще трудно судить о том, насколько целесообразно использовать полученные разложения для решения дифференциальных уравнений движения спутника. Можно лишь заметить, что эти разложения также содержат большое число членов, а используемые в них функции являются более сложными, чем сферические. [c.44]

Это уравнение, являющееся обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка без правой части (однородное ), называется уравнением Лежандра и играет важную роль, так как служит аналитической основой для изучения сферических функций. [c.159]

Подставляя эти выражения в уравнения газодинамики, записанные для сферически-симметричного случая, и переходя от дифференцирования по г и it к дифференцированию по с помощью соотношения (1.109), подобно тому как это было сделано в 11, получим систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех неизвестных функций р, и, Q. Решение этой системы должно удовлетворять условиям на фронте волны при = oi = w = q = 1. [c.86]

Тейлорова неустойчивость весьма заметно проявляется в пульсации сферических пузырьков. Такие пузырьки играют главную роль как в кавитационной эрозии ( 42), так и в подводных взрывах. В предположении сферической симметрии (снова гипотеза (С) ) Рэлей ) получил простые дифференциальные уравнения для радиуса Ь 1) как функции времени, применимые к обоим типам пузырьков. Однако, если возмущения сферической границы разложить по функциям Лежандра р/,(созф), то можно показать, что амплитуды возмущений >л (<) удовлетворяют уравнению [c.108]

В этом, достаточно общем случае подстановка выведенных выражений для сферических компонент скорости и давления в систему уравнений Стокса (26) не приведет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, но уменьшит на единицу число независимых переменных в системе уравнений в частных производных, служащих для определения функций /н> /в, /е, Такие решения также заслуживают названия подобных или автомодельных, так как соответствующие им эпюры величин ЕУцЬ = Д (0, е) и т. д. будут одинаковыми при всех Р. При наличии осевой симметрии Уе = О, д/де — О (случай осесимметричной незакрученной струи) аргумент 8 исчезает, решение задачи приведется к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и задача станет в обычном смысле слова автомодельной. [c.377]

Вра1цеиие около оси полости. Вращение около оси, перпендикулярпой к оси полости. Потенциал скоростей. Дифференциальные уравнения линий тока и ояенты инерции эквивалентных тел. Уравнения для присоединенных сферических функций первого рода и их некоторые свойства. Легко видеть, что вращательное движение около оси полости, имеющей форму тела вращения, не вызывает никакого абсолютного движения жидкости. Действительно, если направим ось Ог по оси вращения полости, то найдем [c.220]

Постановка задачи о конических вихревых течениях с переменной турбулентной вязкостью Ут, зависящей только от сферического угла 0, содержится в работах Серрина [236] и Ву [255]. В последней рассматривается автомодельный турбулентный вихрь с условиями при.пипания на плоскости и регулярности на оси. В случае постоянной вязкости подобное движение невозможно. Для данного конического класса циркуляция I2(0) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, допускающему лишь монотонно изменяющиеся решения, и является монотоипой функций угла 0, так что удовлетворить краевым условиям I2(0) = 0(я/2) = О нельзя. Помимо того, хорошо известно [210], что для струи, вытекающей из точечного источника на плоскости, автомодельного решепия, удовлетворяющего условиям прилипания на плоскости и регулярности на оси, не существует. Так, решение Сквайра [240] [c.144]

Это векторное уравнение эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений в координатах и содержит шесть неизвестных функций — проекции радиуса-вектора материальной точки и проекции натяжения нити в декартовых координатах неизвестными являются х (), y t), z t), Rx t), Ry t), Rz t) Для отыскания решения приведенного уравнения необходимы дополнительные сведения. В поставленной задаче такие сведения есть во-первых, в любой момент времени материальная точк находится на сферической поверхности радиуса I (если нить натянута) и, следовательно, координаты точ ки должны удовлетворять условию г = 1 во-вторых, натяжение нити направлено вдоль нити, в связи с чем можно написать, что К = 2А.г, где X — неизвестная скалярная функция. Таким образом, условия задачи приводят к системе [c.198]

В этом, достаточно общем случае подстановка выведенных выражений для сферических компонент скорости и давления в систему уравнений Стокса [(И) 86] не приведет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, по уменьшит на единицу число независимых переменных в системе уравнени I частных производных, служащих для определения функци //(, / , Р. Такие рен]еиия также заслуживают названия подобных или автомодельных, так как соответствующие ЯУ [c.469]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...