Плоская задача в эллиптических координатах

Плоская задача в эллиптических координатах. В случае плоской деформации мы будем исходить из уравнений [9Г]. Эти уравнения будут удовлетворены, если, как это показано в параграфе 47, взять [c.198]

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ [c.199]

Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами в отношении, обратно пропорциональном квадрату расстояния. Эта знаменитая задача рассматривалась впервые Эйлером, который показал, что в случае плоского движения она приводится к квадратурам. Рассмотренная снова Лагранжем, она была затем решена Якоби в эллиптических координатах при помощи метода разделения переменных способом, который мы кратко здесь изложим. [c.385]

Чтобы обобщить результаты исследований плоских задач на трехмерный случай, необходимо определить напряженное состояние в окрестности криволинейного фронта трещины. Ирвин [52] постулировал, что для эллиптической трещины состояние в окрестности вершины (фронта) является состоянием плоской деформации, и вывел выражение для соответствующего коэффициента интенсивности напряжений Ki. Позже гипотеза Ирвина была подвергнута проверке в работах [47,49], где было показано, что коэффициент интенсивности напряжений можно найти в виде некоторой функции локальных координат t, п, z, отсчитываемых по касательной и по перпендикулярам к фронту трещины, как показано на рис. 15 полное решение имеет вид [c.36]

А. И. Лурье [163] предложил оригинальный метод решения задачи об эллиптическом штампе, связанный с разделением переменных в общих эллиптических координатах и последующим предельным переходом. Это позволило ему рассмотреть случай плоского нецентрально загруженного штампа, а также неплоский штамп, для которого предложен метод решения в общем случае. [c.196]

Плоская задача о вертикальном ударе эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности несжимаемой жидкости, заполняющей софокусный эллиптический канал, рассматривалась в [151. В этом случае методом разделения переменных в эллиптической системе координат [типа (2.26)] можно получить точное выражение для потенциала ф (одна из осей эллипсов совпадает со свободной поверхностью жидкости). При- этом граничные условия для потенциала ф принимаются в обычной форме на погруженной поверхности цилиндра [c.44]

В случае контакта двух цилиндрических тел, оси которых параллельны оси у выбранной системы координат, задача становится плоской. Предполагается, что цилиндры сжимаются силой Р, рассчитанной на единицу длины оси. Область контакта при этом представляет собой полосу шириной 2с, параллельную оси у. Герц рассматривал эту задачу как предельный случай контакта по эллиптической области, когда полуось Ь становится неограниченно большой по сравнению с а. Альтернативный подход заключается в учете с самого начала особенностей плоской задачи и использовании полученных в гл. 2 результатов для случая нагружения полупространства вдоль прямой. [c.117]

В случае известных областей контакта в качестве примера рассмотрена задача о вдавливании в упругое полупространство z О двух одинаковых эллиптических штампов с плоскими основаниями. Считалось, что большие оси оснований штампов размещены на оси Ох, координаты их центров равны (0,0) и (h, 0), а глубина вдавливания каждого штампа равна <5. [c.145]

При исследовании течения около плоской пластинки в эллиптической системе координат Лил [1969] для определения я) и на внешней границе брал асимптотическое решение на далеком расстоянии, предложенное Имаи. Это решение дает поправку первого порядка (к решению для потенциального течения), зависящую от коэффициента сопротивления пластинки Со- Коэффициент Со получается интегрированием сил трения по поверх-ностн пластинки (задача 2.2) на каждом итерационном шаге. Значит, вычислительные граничные условия на достаточно удаленной границе, задаваемые здесь посредством аналитического решения, итеративно связаны с определением вихря на стенке. (Это решение применимо только для стационарного состояния [c.257]

Эллиптическая пластинка, имеющая верх (г > 0) и низ (г<0), ограниченная фокальным эллипсом о, представляет одну из координатных поверхностей р = 1 семейства эллипсоидов р = onst в системе эллиптических координат р, [х, v [см. п. III. 11, в частности формулу (III. 11.16)]. Поэтому естественно ввести в рассмотрение потенциал простого слоя со (х, г ро) на поверхности эллипсоида Q (р = ро>1), определив эту непрерывную гармоническую функцию ее значением (и х,у,г рс) на Q. Можно для задачи о плоском штампе по (6.2.6) принять [c.312]

В этой главе приведено строгое решение задачи о диффрак-ции на открытом конце плоского волновода, в дальнейших главах то же будет сделано для круглого волновода. Эти задачи поучительно (с методической точки зрения) сравнить с задачами о диффракции на бесконечной прямой щели и на круглом отверстии в плоском экране. Для бесконечно тонкого и идеально проводящего экрана последние задачи, как известно, решаются методом разделения переменных в криволинейных координатах— эллиптических и сфероидальных решения имеют вид сложных рядов, члены которых выражаются через специальные функции. Эти ряды оказываются пригодными для вычислений [c.58]

В качестве еще одного применения эллиптических координат рассмотрим задачу о плоском движении материальной точки в поле притяжения двух неподвижных центров эта задача была проинтегрирована Эйлером в 1760 г. Пусть —декартовы координаты в плоскости движения, (О, с), (О,-с) — координаты притягивающих центров (с > 0). Перейдем к эллиптическим координатам в плоскости = хьхг , считая, что 02 — = 2с. Это означает, в частности, что при фиксированных значениях Л уравнение х / а - Л) +Х2/(аг - Л) = 1 задает коническое сечение, фокусы которого совпадают с неподвижными центрами. В симплектических координатах Л, рь функция Г амильтона этой задачи равна [c.103]

Большое значение для изучения плоских течений несжимаемой жидкости с помощью теории функций комплексного переменного сыграли монографии В, В. Голубева Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке (1927) и Л. И. Седова Теория плоских течений идеальной жидкости (1939), Л. И. Седов в этой монографии ввел в теорию обтекания тонкого профиля метод выделения особенностей на кромках профиля, позволивший ему найти в замкнутом виде решение задачи об отыскании интегральных характеристик тонкого профиля, подъемной силы, момента сил. Решение задачи обтекания профиля может быть получено также в виде рядов, составленных из фундаментальных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Такое решение для симметричного профиля было получено Я. М. Серебрийским (1945), причем решение уравнения Лапласа находилось в Эллиптической системе координат в виде ряда для потенциала скорости. [c.86]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...