Основные уравнения в компонентах смещения

Определение упругого состояния, как это было показано в главе I, эквивалентно нахождению решения определенного дифференциального уравнения (система основных уравнений в компонентах смещения), принадлежащего некоторому классу функций. [c.275]

Основные уравнения в компонентах смещения. Система уравнений (1), (2) предыдущего параграфа содержит одновременно и компоненты смещения и компоненты напряжения. Можно, однако, составить систему, содержащую только те или другие компоненты. Проще всего составить систему, содержащую компоненты смещения. Для этого достаточно внести выражения (2) 20 в уравнения (1) 20 тогда после очевидных упрощений получим [c.76]

Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл. IV т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). [c.342]

Классическая теория упругости. В этой теории основные уравнения движения даются формулами (4.3). Компоненты напряжений связаны с компонентами деформаций и смещений законом Гука (5.12) или (5.15). [c.39]

При выводе основных уравнений теории деформаций могут быть применены прямолинейные прямоугольные координаты. Однако при решении задач часто более удобно пользоваться криволинейными ортогональными координатами, которые уже встречались ранее. Поэтому следует привести дифференциальные соотношения, связывающие компоненты деформации с компонентами смещения в этих криволинейных ортогональных координатах. Они даются здесь в обычной форме записи, так как в такой форме они будут использованы в дальнейшем. [c.29]

В предыдущей главе были получены основные дифференциальные уравнения, описывающие поведение упругих сред при деформировании, а также найдены выражения для краевых значений вектора напряжений посредством компонент тензора напряжений или смещений. Для рещения конкретных физических задач необходимо теперь перейти к корректной математической постановке краевых и начальных задач теории упругости. [c.242]

Основными компонентами напряженно-деформированного состояния второго типа являются (в исходных переменных) смещение V, усилие Т2 и составляющая касательного усилия 82, определяемые в нулевом приближении из уравнений [c.60]

Пусть а р, Ьар — тензоры первой и второй квадратичных форм срединной поверхности, Уа — символ ковариантного дифференцирования в метрике а р, О — модуль сдвига, V — коэффициент поперечного расширения, р — плотность материала, к — толщина оболочки, р — компоненты вектора внешних сил, тпа — компоненты вектора моментов, отнесенных к единице площади срединной поверхности, г + г/ + гг] — компоненты вектора смещения, z — расстояние точки от срединной поверхности. Тогда основные соотношения сводятся к следующей системе уравнения движения [c.232]

Однако у самого Лауричелла, который не пользуется интегралами типа Коши, связь между функциями, непосредственно фигурирующими в соответствующих задачах (бигармоническая функция U в основной бигармонической задаче, компоненты смещения во второй основной задаче), и вспомогательными функциями р, q точки контура L представлена в весьма сложном (по крайней мере внешне) виде и сами интегральные уравнения записаны далеко не в таком простом виде, как система уравнений (5"). Это последнее обстоятельство, разумеется, не имеет принципиального значения, но зато большое значение имеют формулы (3), [c.372]

В этих уравнениях продольная компонента второго приближения, для которой -и" 0, отделена от поперечной компоненты, для которой V хи" =7 0. Таким образом, мы приходим к двум нелинейным волновым уравнениям, описывающим во втором приближении распространение ультразвуковых волн копечтюй амплитуды в изотропном твердом теле и относящимся соответственно к продольной и поперечной компонентам смещения второго приближения. В этом, собственно, состоит основное отличие нелинейной акустики твердого тела от подробно рассмотренной нами в гл. IV картины распространения волн конечной амплитуды в жидкостях и газах, где возможны лишь продольные волны. [c.239]

Основные однородные уравнения статики трансверсально-изотропного упругого тела в компонентах вектора смещения можно записать в виде (см. Love [1 ] или Лехницкий [1, 21) [c.563]

Когда основные уравнения колебаний образованы методом, который был указан выше для цилиндрической оболочки, берутся компоненты смещения в форме, содержащей два фактора первый — это синус или косинус дуги, кратной (р, второй представляет собой элементарную гармоническую функцию от t после этого уравнения приводятся к линейной системе восьмого порядка, служащей для определения зависимости компонентов смещения от широты 6. Условия на свободных краях выражаются при помощч приравнивания нулю для определенного значения 6 некоторых линейных выражений, связывающих компоненты смещения и их производные по 0. Порядок системы достаточен для того, чтобы можно было удовлетворить этим условиям. Если бы решение системы уравнений, подчиненное краевым условиям, было найдено, то это привело бы к определению типа колебаний и их частоты. [c.578]

Альтернативное описание дается обобщенным уравнением распространения (2.3.35) и разд. 2.3, последний член которого, пропорциональный времени нелинейного отклика Г J. отвечает за ВКР. Как обсуждалось выше, для небольших частотных отстроек 7 связан с наклоном кривой комбинационного усиления (см. рис. 8.1). Влияние члена, отвечающего за комбинационное усиление, на эволюцию фемтосекундных импульсов внутри световода уже обсуждалось в разд. 5.5 после рассмотрения других нелинейных эффектов высших порядков. На рис. 5.20 были показаны форма и спектр импульса, пиковая мощность которого соответствует солитону второго порядка. В таком случае исходный импульс расщепляется на два фрагмента на длине одного периода солитона, явление, названное в разд. 5.5 распадом солитона. Это явление может быть интерпретировано как вынужденное комбинационное (ВК) саморассеяние импульса [119], которое может возникать, даже если порог ВКР с уровня шумовой затравки еще не достигается. Основная идея состоит в следующем. Входной импульс, являющийся солитоном высшего порядка, в начальной фазе распространения укорачивается с одновременным ущи-рением спектра. Спектральное уширение красного крыла обеспечивает затравку для комбинационного усиления, т. е. через ВКР синие компоненты импульса служат накачкой для красных компонент. Это ясно видно на рис. 5.20, где o nopHoff пик спекгра непрерывно смещается в красную сторону. Такое смещение называют самосдви-гом частоты солитона [121]. Во временном рассмотрении энергия [c.248]

При изучении механики сплошных сред задача состоит в исследовании движения сплошной среды под действием заданных сил. Таким образом, в уравнениях (3.3.5) компоненты массовой силы Р рассматриваются как величины заданные. Остальные величины, а именно плотность р, компоненты напряжения р у , Руу] р /, р у, Рухч Рхх и компоненты ускорения а , ау, (либо компоненты векторов скорости или смещения, через которые а выражается), являются величинами, подлежащими определению. Уравнения (3.3.5) представляют систему трех уравнений относительно 10 неизвестных. Следовательно, уравнения (3.3.5 ) являются, как очевидно, уравнениями необходимыми, но недостаточными. Недостающие уравнения для описания движения сплошных сред принципиально не могут быть найдены методами классической механики. Их можно получить, только рассматривая основные физические характеристики тех или иных сплошных сред и строя на основании их гипотезы [c.41]

Если в условиях ооевой симметрии обозначить через г, 0, цилиндрическую систему координат, то, как показал Г. Н. Положий [4], комбинацию 2fx (ги + iw), где и, W — компоненты вектора смещений в направлении осей г и можно выразить через две произвольные jo-ana л итические функции от г + с характеристикой р i /г по формуле, вполне аналогичной представлению Колосова — Мусхелишвили для случая плоской деформации. Эта формула после использования соответствующим образом определенных аналогов интегралов типа Коши для р-аналити-ческих функций позволяет свести решение основных граничных задач в рассматриваемом случае к решению некоторых одномерных интегральных уравнений относительно граничных значений р-аналитических функций комплексного переменного. [c.632]

В самом общем виде решение основной смешанной задачи для полуплоскости, когда на некоторых отрезках ее границы заданы компоненты вектора смещений, а на остальной части — компоненты вектора напряжений, было получено в 1935 г. Н. И. Мусхелишвилн [236]. Решение было найдено сведением проблемы к бесконечной системе линейных уравнений, удовлетворяющ,ей известным критериям разрешимости. [c.14]

Простейшие формулировки теории очень близки к анализу уравнения Клейна — Гордона, и результаты можно получить по аналогии с этим случаем. Мы начнем с классической модели, в которой электрическая поляризация среды обусловлена смещением связанных электронов электрическим полем. В дальнейшем полученные резу.чьтаты можно будет интерпретировать более широким образом. Рассмотрим основной одномерный волновой пакет и будем считать, что волны распространяются в а -направлении, а поля имеют компоненты Е ж В ъ г- ж у-направлениях соответственно. Электроны смещаются в г-направлении, и мы будем описывать это смещение функцией г х, 1). Уравнения Максвелла сводятся к следующему виду [c.513]

Основным элементом метода Рэлея является определение циркуляции скорости жидкого кольца при его смещении в близкое положение. Пусть Г есть циркуляция скорости по круговому жидкому кольцу с центром на оси симметрии. В начальный момент времени iq циркуляцию Г(Го) определяем по распределению скорости в основном невозмущенном движении Г( о) = 2Krv(tQ, г). Основное движение, исследуемое на устойчивость, с компонентами скоростей и = 0, v(t, г), w = О, где v t, г) удовлетворяет уравнению (2.1), подвергнем возмущению и положим [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...