Некоторые операции над тензорами

НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ 17 [c.17]

Некоторые операции над тензорами [c.17]

НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ 19 [c.19]

Мы уже познакомились с некоторыми операциями над тензорами, укажем еще на операцию умножения тензоров. Пусть имеется вектор А = и тензор Т = Т .]э, эЦ формально образуем [c.60]

С другой стороны, применяя операции умножения и свертывания к метрическому тензору и пользуясь некоторыми теоремами об определителях, получим на основании формулы (1.57) [c.59]

Операции тензорной алгебры. Пусть даны два тензора Pf i и рЬ с координатами . и t[- I в некотором базисе е , е . Суммой (раз- [c.312]

Над тензорами можно производить некоторые инвариантные операции, т. е. такие, результаты которых не зависят от системы координат, в которой они выполняются. [c.393]

Отметим некоторые особенности алгебраических операций над тензорами в косоугольном базисе. [c.411]

Некоторые дифференциальные операции. В качестве другого примера тензора рассмотрим поле вектора a(r) = a(Xi, х , лгз). Рассмотрим приращение da вектора а, происшедшее вследствие приращения вектора г. В проекциях на оси Xi, х , х это может быть записано так [c.775]

Свертыванием ортогональных аффинных тензоров по двум каким-нибудь индексам (индексы свертывания) называется следующая операция из компонентов тензора некоторого порядка, например <2,7 ., составляются суммы [c.236]

Но обращение в нуль операции Ink над симметричным тензором означает, что этот тензор является деформацией некоторого вектора (п. 2.1 гл. И) итак, [c.133]

Если у компонентов некоторого тензора А переставить произвольным образом один или несколько индексов, то полученные таким образом компоненты образуют новый тензор В, а эту операцию называют подстановкой индексов. [c.34]

Внутренним произведением двух тензоров называется результат Операции свертывания, примененной к внешнему произведению данных тензоров, причем совпадающие индексы должны фигурировать по одному в каждом из сомножителей. Для справок приведем некоторые часто используемые в механике сплошной среды произведения тензоров, записанные в индексных и в символических обозначениях. [c.30]

Некоторые из них в отношении сопоставления элементов не отличаются от операций над двухмерными матрицами или являются очевидным обобщением последних. Такими операциями являются сложение многомерных матриц или тензоров, поднятие или опускание индексов у тензора (аналог транспонирования матриц), умножение многомерной матрицы на двухмерную (легко представляется как последовательность умножений двухмерных слоев многомерной матрицы на двухмерную), а также свертывание тензора по одному или нескольким индексам (порядок в нем аналогичен порядку при умножении на скаляр). Другие же не имеют аналогов, например умножение тензоров, в котором сопоставляется каждый элемент одного тензора с каждым элементом другого. Близка к этому и операция умножения многомерных матриц. [c.59]

Для тех операций над многомерными алгебраическими объектами, которые являются очевидными обобщениями операций над двухмерными и одномерными матрицами из области АСУ, легко отыскиваются аналоги обработки многомерных таблиц. Для ряда процедур линейной алгебры, таких, как умножение тензоров и многомерных матриц, отыскание собственных векторов и собственных значений матриц, вычисление определителей матриц и некоторых других, в области АСУ не удается найти аналоги операций над данными. Этот факт, по-видимому, отражает объективную закономерность и свидетельствует о том, что аппарат линейной алгебры является более общим и более широким, чем аппарат обработки данных в АСУ. Однако строгое математическое доказательство этого утверждения еще требует дополнительных исследований и не рассматривается в книге. [c.59]

Пользуясь операцией умножения (20) или (21), можно дать определение тензора второго ранга, отличное от ранее указанного, а именно назовем тензором второго ранга совокупность девяти величин Тц, которые в соединении с проекциями вектора я,- по формулам (20) или (21) приводят к величинам, представляющим также проекции вектора. Такое определение тензора второго ранга представляет некоторые преимущества в тех случаях, когда тензор возникает впервые в рассуждении, включающем операцию умножения (см., например, определение тензора напряжений в начале гл. II). [c.51]

Здесь приведены формулы, определяющие дифференциальные операции над некоторыми композициями тензорных величин. Цель — представить результаты в инвариантном виде через набла-оператор и сами тензорные величины, но не через базисные векторы и компоненты тензоров иногда их приходится использовать в ходе вывода. [c.469]

Операции с тензорами связаны с необходимостью выполнения суммирований, количество которых тем более велико, чем выше ранг рассматриваемых тензоров. В связи с этим (чтобы избежать громоздкости написания формул) А. Эйнштейн предложил на первый взгляд несколько странное, а в действительности, если к нему привыкнуть, весьма удобное правило — опускать во всех формулах знаки сумм, считая при этом, что если в каком-либо выражении некоторый индекс повторяется дважды. То это означает, (если не сделано особой оговорки), что по нему производится суммирование по всем значениям, [c.100]

В заключение этого пункта укажем, что макроскопические свойства симметрии ферромагнитных кристаллов нужно классифицировать в соответствии с 90 магнитными классами и, следовательно, разные особенности магнитных (материальных) тензоров (т. е. материальных тензорных коэффициентов из, например, разложения свободной энергии (6.4.47)), определяются их поведением относительно некоторых групп преобразований из Ж . Если операция 5 не влияет на свойства материала, то он принадлежит к одному из классических тридцати двух классов. [c.363]

Определять удовлетворяющими тому же свойству как и в электрическом случае, этого можно достичь, вычитая из подинтегрального выражения в (81.1) некоторую линейную комбинацию его следов, умноженных на единичные тензоры. Мы опять не будем формулировать эту операцию явно, а просто укажем иа нее символом S . [c.265]

Пусть (5 и — два пространства, элементами которых являются функции 8 (X) и Т (X), определенные в одной и той же области Ш сг В рассматриваемом случае значения функций 8 (X) и Т (X) могут быть векторами, тензорами и т. д. Пусть имеется некоторое отображение, ставящее в соответствие каждой паре функций [Т (X), 8 (X)] 6. 5 X вещественную функцию С (X), X Бинарную операцию, которая для заданного X отображает пару [Т (X), 8 (X)] в С (X), будем обозначать символом , т. е. [c.91]

Таким образом, операция умножения тензоров дает снова тензор. Теперь ставится вопрос — будет ли некоторая система величин тензором, если ее произведение на тензор дает гензор. На этот счет существует теорема, позволяющая легко установить тензорный ха- [c.11]

Перестановка (транспозиция) индексов. Эта операция состоит в том, что из тензора, например, ац ) образуется того же ранга другой тензор Ьцц) путем перестановки индексов у компонент тензора аци). Пусть переставляются, например, 1-й и 3-й индексы, т. е. i и й. В результате получим тензор (bi/s) с компонентами Ьц = Поскольку у тензора строго определенный порядок индексов при его компонентах, то операция перестановки индексов приводит, вообще говоря, к тензору, отличному от исходного, т. е. (6,/ ) = (ахл) ф (агу ). Однако некоторые тензоры не изменяются при п рестановке индексов у компонент или изменяют лишь свой знак. [c.395]

Тем не менее для некоторых нелинейных моделей материалов может оказаться, что выгоднее использовать тензоры деформаций, которые выше не рассматривались. При этом структура определяющих соотношений может быть простой [63], т. е., проигрывая в числе операций при определении компонент тензора деформаций, можно выиграть в том, что компоненты тензора напряжений определяются по более простым определяющим соотношениям. Кроме того, для некоторых законов пластичности с анизотропным законом упрочнения материала в формулировке определяющих соотношений наллучшим выбором являются тензоры логарифмических деформаций [3, 35, 38, 121]. [c.41]

Расшотрим некоторые обобщшия митральных операций над векторами ю векторного анализа для тензоров произвольного ранга. [c.257]

В работе В. В. Лохина (1963) было отмечено удобство классификации анизотропных сред по их точечным группам симметрии. Показано, что любой тензор, инвариантный относительно данной точечной группы, можно представить в виде линейной комбинации тензоров, составленных при помощи тензорных операций из некоторого минимального набора тензоров. Л. И. Седов и В. В. Лохин (1963) выявили такие системы тензоров для 7 типов текстур и всех 32 классов кристаллов. Установлен общий вид формул для тензоров произвольного ранга, являющихся нелинейными тензорными функциями скалярных и тензорных функций произвольного ранга (см. также В. В. Лохин и Л. И. Седов, 1963). Показано, что для построения тензорных функций необходимо и достаточно знание полной системы функционально независимых совместных инвариантов рассматриваемых тензоров и тензорных аргументов. Выявлена структура тензорных функций, описывающих состояние текстур и некоторых классов кристаллов (В. В. Лохин, 1963). [c.74]

Говоря о порядке сопоставления элементов таблиц, отметим, что в операциях над матрицами, векторами, тензорами наблюдаются только такие порядки, которые можно назвать регулярными, сопоставляются элементы с одинаковыми индексами (каждый элемент или строка из одного тензора или матрицы с каждым элементом из другого и т. д.). Поиск примеров сопоставлений с другими порядками в области вычисления показателей позволил обнаружить некоторые довольно распространенные в области АСУ примеры вычисления показателей, в алгоритмах которых, на первый взгляд, непосредственно не прослеживается структура линейноалгебраических операций. Однако подробный анализ показал, что и эти вычисления, по своей природе, являются линейно-алгебраическими,представляя собой определенные частные случаи известных операций. Обнаруженные примеры относятся к тем случаям, когда порядок сопоставления элементов таблиц, над которыми выполняется операция, определяется специальной таблицей. Такая таблица может отображать, например, маршруты прохождения деталей в производственном процессе. Рассмотрим характерный пример. [c.59]

Составляя формулы преобразования компонент антисимметричного тензора к новым коордийатным осям, можно было бы убедиться, что они сводятся к формулам преобразования компонент (Л23, Л31, Л12) некоторого псевдовектора. Для этого надо только использовать свойство определителя, составленного из направляющих косинусов новых осей со старыми. Этот псевдовектор, как мы вскоре увидим, с точки зрения операций его векторного умножения на другой истинный вектор в известном смысле эквивалентен антисимметричному тензору, но, конечно, как вектор, не может быть равен тензору. [c.50]

Случай простого нагружения, основные особенности которого/ /состоят в том, что направляющий тензор напряжений остаётся посто- янным, направляющий гиперболоид напряжений — неподвижным, глав- jwut оси напряжений не меняют своей ориентации относительно материальных частиц элемента тела, является исключительным. Если не рассматривать явлений ползучести, релаксации и последействия, все теории пластичности, вытекающие из уравнения (1.127), тождественно совпадают между собой. Это утверждение вытекает из теоремы, доказанной в 5 если зависимость девиатора некоторого тензора от параметра Л является простой, т. е. направляющий тен зор от него не зависит, то девиатор, получающийся из данного путёш любой линейной операции, имеет тот же самый направляющий тензор, и девиаторы относятся как их интенсивности. Совпадение теорий пластичности в том случае, когда главные оси деформаций неподвижны, уже было проиллюстрировано на диаграмме Прагера. Теперь мы> поясним его на основе только что приведённой теоремы [c.91]

Суммируя результаты, полученные в предыдуш,их параграфах, отметим еш,е раз, что максимальное число независимых компонент тензора нелинейной восприимчивости второго порядка в условиях, когда равно 18, а в центросимметричных кристаллах нелинейная поляризация второго порядка тождественно равна нулю. Из 32 различных кристаллографических классов 21 является нецентросимметричным, но среди них лишь один вообще не имеет симметрии это класс 1 в триклинной системе. Для всех других классов существует одна или более операций симметрии, которые преобразуют кристалл сам в себя. Очевидно, что если для данного кристаллографического класса задана матрица восприимчивости и мы применяем к ней операцию симметрии, которая физически никак не изменяет кристалл, то матрица при этом не изменится. В результате некоторые компоненты матрицы должны быть равны нулю, а другие должны быть равны или численно равны друг другу, но противололожны по знаку. Применяя разрешенные операции симметрии к каждому кристаллографическому классу [89], можно найти матрицу заданной формы для каждого из 21 нецентросимметричного кристаллографического класса. Альфа-йодная кислота, например. [c.55]

Цель книги —описание во. бужаения, распространения и приема сейсмических поли а различных аспектах, причем во многих случаях с большой детальностью При этом от читателя не требуется знания соответствующих разделов высп1ей математики во всей их полноте. Например, не применяются формализованные векторные операции, не используется символика и операции с тензорами. Хотя предполагается знакомство с алгеброй комплексных чисел, но автор избегает использования функций комплексного переменного, а об интегрировании в комплексной плоскости Даже пе упоминается, В связи с этим преобразования Фурье для любой функции приводятся в таком виде, чтобы читатель имел возможность сверять результаты по таблицам интегралов. Знания дифференциального и интегрального исчисления, а также курса дифференциальных уравнений вполне достаточно для понимания обсуждаемых в книге проблем. Очевидно, при таком способе изложения материала мы чем-то поступились Так, некоторые выражения могли бы быть написаны более компактно. Кроме того, теряются возможности обобщения некоторых результатов. Выбор математического аппарата в некоторых случаях базируется на физических соображениях, хотя можно было бы дать 6o.iee точное и общее решение. Если такой подход позволит воспринять обсуждаемые принципы и применить нх к интересующим проблемам, он будет оправдан. [c.5]

Соотношения (16.5) можно сделать наглядными, если перейти к представлению тензоров йг ), Оц векторами в девятимерном пространстве напряжений ац. Такое представление не является, разумеется, полным и возможно лишь в некотором смысле. При анализе уравнений пластического состояния обычно используются лишь простейшие операции над тензорами, и можно установить соответствие между этими операциями и операциями с представляющими их векторами. Векторное изложение более наглядно, облегчает интерпретацию опытных данных и широко применяется для анализа уравнений пластического состояния. [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...