Свертывание индексов

Внутреннее свертывание индекса А == = А , 5.V = В. [c.349]

Эта запись устанавливает правило свертывания индекса — правило получения инвариантов. [c.357]

Свертывание индексов 811 Сдвиг 59 [c.937]

Свертыванием индексов , уЗ во второй формуле (1.1.13) получается инвариант-дивергенция вектора и [c.22]

Сумма —результат действия свертывания по индексам а и Р, выполненного над тензором Т а.]. Покажем, что действие свертывания по одной паре индексов понижает ранг тензора на две единицы, т, е. величины являются компонентами тензора первого ранга, т. е. компонентами вектора. Чтобы это доказать, надо рассмотреть закон преобразования величии Та ,. На основании формул преобразования (1.71) имеем [c.57]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Отсюда видно, что потенциальная энергия W является результатом умножения тензоров упругости и деформации с последующим свертыванием по двум парам индексов ( 24 т. I). Воспользовавшись формулами (IV. 108), получим [c.512]

Л"/Я1 в котором индекс п является повторяющимся в соответствии с нашим условием производим суммирование от п=1 до п = 3. В результате получаем ковариантный тензор второго ранга, т. е. тензор, ранг которого на две единицы ниже ранга исходного тензора. Операция свертывания в данном примере, очевидно, больше не может быть повторена. [c.10]

Возьмем теперь тензор пятого ранга Aft и произведем свертывание относительно любой пары индексов, один из которых является верхним, а другой — нижним. Если мы, например, по- [c.10]

Произведя свертывание аффинного ортогонального тензора ртп по индексам тип, получим инвариант [c.11]

Теперь произведем операцию свертывания в равенстве (3.46) по индексам in/ [c.62]

Выполняя в равенстве (4.44) операцию свертывания по индексам [c.79]

Выполняя операцию свертывания по индексам t и / в равенстве [c.81]

Заметим, что свертывание тензора (ац д по индексам i и / равносильно умножению компонент данного тензора на символ Кронекера [c.394]

Свертывание тензора ( / i ,.. (jp ,/jp) четного ранга 2р по р парам индексов приводит к тензору нулевого ранга, т. е. к инварианту (скаляру). Следовательно, операция свертывания является одним из способов получения инвариантов тензора четного ранга. [c.394]

Свертывание тензора возможно только по индексам, один из которых верхний (контравариантный), а другой нижний (ковариантный). Свертывание по паре индексов приводит к снижению ранга тензора на две единицы. [c.411]

Свертывание тензора с тензором состоит в предварительном тензорном умножении их, а затем свертывании по соответствующим индексам тензоров-сомножителей. [c.411]

Путем свертывания данного тензора с метрическим тензором выполняется операция опускания или поднятия индексов у данного тензора. Эту операцию для вектора (тензора первого ранга) иллюстрируют равенства (2 .22) и (2 .23). Пусть, например, два раза контравариантный тензор а 1 дважды свертывается с ковариантным метрическим тензором. В результате получим два раза ковариантный тензор [c.411]

Свертыванием ортогональных аффинных тензоров по двум каким-нибудь индексам (индексы свертывания) называется следующая операция из компонентов тензора некоторого порядка, например <2,7 ., составляются суммы [c.236]

Свертыванием тензора называется операция суммирования его компонент по любой паре верхних и нижних индексов. При этом его ранг снижается на два. Например, в результате свертывания тензора второго ранга, заданного смешанными компонентами Т/ получается скаляр Т — Т Т + T L который можно рассматривать как тензор нулевого ранга. В результате свертывания тензора третьего ранга, заданного смешанными компонентами f /, по индексам А и / получается вектор с компонентами с == [c.39]

Из возможных свертываний по двум парам индексов отметим [c.844]

Свертывание по одной паре индексов дают тензоры второго ранга [c.844]

Из тензоров третьего ранга (II. 4.11) при свертывании пары индексов образуются векторы [c.845]

Этой формулой определяется правило свертывания по немому индексу с помощью компонент метрического тензора, тогда как формулы (IV. 2.4) иллюстрируют операции подъема и опускания индекса — перехода от ковариантных компонент к контра-вариантным (и обратно) путем умножения на g (на g sfe) с последующим свертыванием по немому индексу. [c.872]

Общие соотношения между различными характеристиками упругой деформативности одного и того же орто-тропного материала могут быть получены также из формулы (2.9), в сущности тоже основанной на условии существования упругого потенциала. Формула 2.9 является определением тензора четвертого ранга, для которого можно получить инвариантные (не изменяющиеся при повороте осей координат) соотношения путем так называемого свертывания. Если приравнять друг другу любые два индекса тензора Сц 1т, а затем просуммировать все компоненты по этому индексу от единицы до трех, то получится тензор второго ранга. Повторив операцию еще раз, получим инвариант. Производя операцию свертывания по разным индексам, можно получить разные инварианты, которые называются линейными, так как в них входят компоненты в первой степени. Путем двукратного свертывания можно из тензора получить два линейных инварианта /1 и /4. В сокращенном обозначении [c.49]

Второй линейный инвариант получится, если проводить свертывание по двум другим индексам [c.49]

Тензоры высших рангов. Свертывание индексов. Условимся называть скаляр тензором нулевого, вектор — первого ранга. Из трех родов операций над двумя векторами а, Ь диадного, векторного и скалярного умножения — наиболее общей является первая с ее помощью из двух тензоров первого ранга образуется тензор второго ранга аЬ, задаваемый матрицей компонент asbth ранг этого тензора понижается на единицу при сопоставлении ему тензора первого ранга — сопутствующего вектора Он понижается на две единицы [c.811]

Весьма существенным является сочетание действия умножения с действием свертывания. С частными случаями этого действия мы встречались выше. Рассмотрим это действие подробнее, вводя как множитель метрический тензор. Простейшие случаи применения этого комбинированного действия определены формулами (1.53) и (1.55). Из этих формул видно, что, применяя действия умножения на метрический тензор и свертывания к вектору, можно поднять индекс компоненты вверх, превратив ковариантиые компоненты в контравариантные, или, наоборот, опустить этот индекс вниз. Это действие поднимания или опускания индексов, являющееся результатом комбинированного действия умножения и свертывания, можно распространить на произвольные мультипликативные тензоры. [c.58]

Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два тензора А "" и Bft, свертывая четырьмя способами их тензорное произведение, получим скалярное произведение, а именно А " A " BU, а "Bn, А" BU- Скалярное произведение контравариантно-го вектора и ковариантного вектора дает инвариант Л 5п, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов Л и Вп- В случае аффинных ортогональных векторов и Ьт, получим скалярное произведение этих векторов а-Ь = апЬп. [c.11]

Свертывание тензоров. Операция свертывания состоит в отождествлении (приравнивании) двух индексов у компонент данного тензора. Отождествленный индекс оказывается немым и, следовательно, по нему производится суммирование. В результате получается тензор, ранг которого меньше на две единицы ранга исходного тензора. Так, свертывая тензор четвертого ранга (aij i), например по первому и второму индексам (J = t). получаем тензор второго ранга с компонентами = aiihi. [c.394]

Производится также свертывание тензора с тензором, Эта операция, называемая внутренним произведением тензоров, состоит в предварительном тензорном (внешнем) умножении тензоров, а затем полученный мультипликативный тензор свертывается по индексам, принадлежащим тензорам-сомножителям. Например, перемножая тен-зорно два вектора (а ) и (6 ), а затем свертывая полученную диаду ( i/) = (ад (bj), приходим к инварианту [c.394]

Дивергенция тензорного поля представляе собой тензор, получае-ыьш свертыванием двух последних индексов у компонент градиента тензора поля. Так, для тензора второго ранга (а ) его дивергенция [c.406]

Для подстановки в уравнения Ламе нам понадобится выражение Aiti = Uijj. Произведем свертывание предыдущего равенства по индексам j и к. После приведения получим [c.275]

Альтернативная форма записи уравнений (12.14.3) получится, если опустить у тензора индексы двукратным свертыванием его с дискриминантныд тензором, т. е. принять [c.425]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...