Преобразование тензора инерции

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ [c.147]

Преобразование тензора инерции [c.147]

В заключение рассмотрим преобразования тензора инерции в результате преобразований системы 5, жестко связанной с твердым телом. Например, в результате параллельного переноса получим две системы, жестко связанные с твердым телом систему О х у г и систему 0"х у г (оси этих систем параллельны, а начала различны — см. рис. 8.7, а). Обозначая компоненты тензора [c.353]

Отсюда следует закон преобразования тензора инерции при переходе к новой системе координат / = Р Л. Пусть оператор Г, зависящий от времени, таков, что система координат СЬГ Х з жестко связана с телом. Тогда компоненты тензора / будут постоянными величинами. Согласно теореме алгебры существует ортогональное преобразование Гд, приводящее квадратичную форму (/ ш, ш ) к каноническому виду, когда матрица Го /То = й1Я% А, B,QlЛ. [c.119]

В этом смысле матрица тензора инерции является матрицей преобразования вектора угловой скорости в вектор кинетического момента. [c.188]

Курс начинается с раскрытия понятия аффинного точечно-векторного пространства как формальной аксиоматической основы построений теоретической механики. Строится теория преобразований системы скользящих векторов к простейшему виду. Вводится понятие центра масс и тензора инерции и развивается геометрия масс. Весь этот аппарат, помимо теоретической механики, может быть эффективно применен и в некоторых разделах математики [7, 50]. Чтобы подчеркнуть это, ему придана векторно-алгебраическая форма. [c.10]

Из определения формы Т(х,у) следует, что ее значение не меняется при преобразованиях базисных векторов. В этом смысле набор Л ее коэффициентов Урд, p,q = 1,2,3, представляет собой тензор второго ранга. Он называется связанным с точкой О тензором инерции множества Q точечных масс. Найдем компоненты тензора Л [c.45]

Собственные значения тензора инерции и главные оси преобразования. Предыдущие рассуждения имели целью подчеркнуть ту важную роль, которую играет тензор инерции при изучении движения твердых тел. С этой точки зрения исследование свойств этого тензора и связанной с ним матрицы представляет значительный интерес. Из формулы (5.7) видно, что составляющие этого тензора симметричны, т. е. [c.172]

Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /ь /2, /3 — главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора /, т. е. из векового уравнения. Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при /=1, [c.175]

Хорошо известно из теории тензоров второй валентности, что для симметричного тензора всегда можно подобрать такую ориентацию осей, что тензор инерции превратится в диагональный тензор. Преобразование к таким осям носит название преобразования к главным осям, а про тензор говорят, что он приводится к главным осям. Следует подчеркнуть, что в общем случае, когда ориентация твердого тела меняется во времени, меняется со временем и ориентация его главных осей в пространстве. Если только не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что оси XVZ, жестко связанные с телом, совпадают с главными осями тензора инерции. Тот факт, [c.103]

Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике — тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной — три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел. На языке математики тензор — это многокомпонентная величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как произведения соответствующих координат). [c.24]

Переход от произвольной системы координат К, в которой тензор инерции недиагонален, к системе К осуществляется с помощью некоторого линейного и ортогонального преобразования координат, называемого преобразованием к главным осям. В справедливости этого утверждения проще всего убедиться, исходя из геометрических соображений. Рассмотрим с этой целью момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей [c.285]

При выводе интересующей нас формулы преобразования следует исходить из определения тензора инерции относительно системы отсчета К - [c.288]

Как видно, эти формулы почти буквально, с точностью до знака при У и Уж у, совпадают с формулами для преобразования компонент тензора напряжений (см. 37). Так же как плоское напряженное состояние, совокупность моментов инерции для множества пар осей, проходящих через точку, так называемый тензор инерции, можно представить с помощью круговой диаграммы Мора (рис. 144). [c.215]

Отсюда с помощью формул преобразования компонент тензора моментов инерции [c.631]

В задаче моделирования были использованы характерные значения осевых и центробежных моментов инерции. После соответствующих преобразований были вычислены элементы тензора моментов инерции в осях симметрии Ь , т. е. в осях х,у, г [c.73]

Соотношения типа (1. ) называются формулами преобразования компонент тензора напряжений при повороте координатных осей. Заметим, что вообще всякая физическая величина, определяемая шестью компонентами, которые удовлетворяют формулам преобразования при повороте осей координат типа (1.2), называется симметричным тензором второго ранга. Примерами таких величин являются деформация тела, инерция твёрдого тела с одной неподвижной точкой и другие ). Как числа и как векторы, тензоры можно складывать, вычитать, умно- [c.19]

В соответствии с общим определением тензоров компоненты тензора инерции /,ь при повороте осей координат относительно начала преобразуются в Jui (г, k=x, у, г ). Причем компоненты Jш определяются через компоненты Jui и представляют квадратичные формы относительно направляющих косинусов. В последнем можно убедиться непосредственным вычислением Jиспользуя формулы преобразования координат при повороте координатной системы. Тензор инерции будет второго занга. [c.173]

В осях симметрии iXiyiZi для колес 1, 3 к осях jIt] для колеса 2 вычисляются числовые значения экваториального и полярного моментов инерции. Тензоры инерции /[О, 1(р /з<з) колес в этих осях будут диагональными. Тензор инерции колеса 2 в осях вычисляется с помощью матричного преобразования [c.116]

Аналогичный вид имеет тензор диска 2 в осях Сз1г . В осях zX yiZi его тензор инерции определяется с помощью матричного преобразования [c.118]

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли — Клейна матричные методы позволяют ввести понятие спинора . [c.8]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Совокупность величин расположенных в виде матрицы (/) и преобразующихся в величины по формулам (а), определяет гювую величину J) называемую тензором инерции. Тензор (/) представляет собой оператор, который, действуя на некоторый вектор а, дает другой вектор Ь, проекции которого являются лилейными функциями проекций вектора а, причем матрицей линейного преобразования является матрица (/), а вектор Ь называют линейной вектор-функцией вектора а и обозначают в виде [c.381]

Когда мы в рассмотренном выше примере с лифтом переходим от локально инерциальной (сопутствующей кабине лифта) системы к системе, связанной с Землей, находящееся в лифте тело приобретает ускорение, обусловленное полем тяжести при этом в новых координатах квадрат интервала ds представляется в форме (68). Основополагающая идея Эйнштейна заключается в том, что отличие составляющих метрического тензора rs ) от brs объясняется полем тяготения, которое, таким образом, делает геометрию иространственно-временного континуума римановой геометрией. Если ири этом тензор grs) таков, что вычисленный по нему тензор кривизны обращается в нуль в протяженной области иространственно-временного континуума, то в этой области существуют такие координаты (л -), в которых квадрат интервала допускает представление (66). В исходной системе координат (x,j составляющие тензора (grs) характеризуют тогда специальное поле тяготения, называемое полем сил инерции. Может случиться, однако, что тензор кривизны не обращается в нуль в протяженной области пространственно-временного континуума, — в этом случае составляющие тензора (grs) определяют истинное поле тяготения, созданное распределенными в этой области материальными телами. Истинное поле тяготения нельзя устранить во всей области никаким преобразованием координат, которого в этом случае попросту не существует. В этом заключается фундаментальное отличие истинных полей тяготения от полей сил инерции эти поля эквивалентны только локально ( в малом ), но отнюдь не глобально ( в большом ). [c.477]

Преобразования координат более общего вида, чем (2), уже не будут оставлять метрик, тензор форминва-риантным, это произойдёт, напр., при переходе к не-инерц. системе отсчёта. Разумеется, введение в М. п.-а. криволинейных координат не изменяет плоского характера геометрии М. п.-в. (в противоположность искривлённому пространству-времени при наличии гравитац. полей). Это выражается в равенстве нулю во всех точ-ка.х пространства-времени кривизны тензора Д я [c.157]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Порождение Э. п. перем. магн. полем и магн. поля переменным электрическим приводит к тому, что электрич. и магн. ноля не существуют обособленно, независимо друг от друга. Компоненты векторов, характеризующих Э. п,, образуют, согласно относительности теории, единую физ. величину — тензор Э, п,, элементы к-рого преобразуются при переходе от одной инерц, системы отсчёта к другой в соответствии с Лоренца преобразованиями. [c.874]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...