Статистика электронов проводимости

Существование П. п. у металлов было теоретически объяснено В. Паули в 1927 на основе Ферми — Дирака статистики электронов проводимости и Зеемана эффекта. [c.550]

Распределение электронов проводимости в твердом теле подчиняется статистике Ферми — Дирака (рис. 2.1). С повышением температуры тепловую энергию воспринимают только внешние валентные электроны, переходящие на еще более высокие энергетические уровни, которые у металлов обычно свободны. [c.31]

У металлов электроны проводимости, образующие вырожденный электронный газ, подчиняющийся квантовой статистике Ферми-Дирака, занимая определенные энергетические уровни, достаточно свободны для перемещения при наложении на металл внешнего напряжения. Если напряженности поля достаточно для перевода большого числа валентных электронов на ранее свободные уровни, то создаются предпосылки для проявления электропроводности. [c.68]

Выше, при исследовании проблемы определения спектра разрешенных энергетических состояний электронов проводимости в решетке кристалла, мы определили энергию Ферми как такое значение энергии, которое при 0° К отделяет заполненные электронные состояния от незаполненных, а при конечной температуре соответствует вероятности заполнения, равной /г- Даже при комнатной температуре (300° К) эта энергия мало отличается от того значения, которое она принимает при 0° К, однако теперь уже имеется определенная вероятность заполнения состояний с энергией, превышающей Ef на величину порядка к Т. Следствием статистики Ферми является то, что в явлениях электро-и теплопроводности в металлах могут принимать участие лишь электроны с энергиями, близкими к энергии Ферми. [c.88]

Это опять-таки есть удвоенная величина орбитального магнитного момента связанного электрона. Величина магнитного момента (36) называется магнетоном Бора и обозначается буквой р. При наличии спинового магнитного момента энергия системы в магнитном поле будет наименьшей, когда эти магнитные моменты выстраиваются параллельно направлению магнитного поля. Этим эффектом обусловлен спиновый парамагнетизм электронов проводимости. Величина этого эффекта мала, так как, согласно статистике Ферми, только для электронов с энергиями, близкими к энергии Ферми, есть свободные уровни, на которые они могут переходить, когда их спины ориентируются вдоль магнитного [c.98]

Б противоположность уравнению (IX.23) уравнение (IX.34а) не зависит от типа статистики, которой подчиняются электронные спины, и равным образом применимо как для парамагнитных ионов или свободных радикалов в жидкости, так и для электронов проводимости в металлах. Легко видеть, что если I > Уг, то (IX.34а) еще применимо. В частности, полное насыщение электронного резонанса, при котором 8 ) = О, 5 = 1 приводит к стационарному значению I [c.343]

Хорошим примером положения когда электроны проводимости подчиняются статистике Больцмана, а не статистике Ферми, служат полупроводники, например гг-типа (кремний). Больцмановский характер статистики определяется малой плотностью электронов в полосе проводимости, благодаря чему электронный газ не является вырожденным. [c.361]

Прежде всего вычислим время ядерной релаксации, предполагая наличие сферической симме рии для энергетической полосы проводимости. Будем исходить из формулы (IX.6), где предположение о статистике электронов еще не было введено. Элементарная вероятность опре- [c.361]

Возможность создания ядерной динамической поляризации при насыщении электронного резонанса была предсказана теоретически, реализована экспериментально для случаев, когда в образце суш,ествует быстрое электронно-ядерное относительное движение (парамагнитные примеси в жидкости, электроны проводимости в металлах и полупроводниках), для различных типов электронных статистик (Ферми или Больцмана) и для различных типов электронно-ядерных взаимодействий (скалярное или диполь-дипольное). [c.365]

Теория свободных электронов успешно объясняет многие характерные свойства металлов. Наиболее явные недостатки модели в том виде, как она была первоначально предложена Друде, связаны с тем, что для описания электронов проводимости в ней используется классическая статистическая механика. Вследствие этого даже при комнатной температуре рассчитанные значения термо-э. д. с. и теплоемкости оказываются в сотни раз больше наблюдаемых. Расхождение все же не казалось столь серьезным, так как классическая статистика случайно дает сравнительно точное значение постоянной в законе Видемана— Франца. Зоммерфельд устранил подобные недостатки, применив к электронам проводимости статистику Ферми — Дирака, но оставив без изменения все другие основные предположения модели свободных электронов. [c.70]

Очевидно, что конкретный механизм рассеяния электронов играет для термоэлектричества важную роль. Можно, например, предположить, что электроны, имеющие большую скорость, должны рассеиваться атомами решетки под меньшими углами, чем электроны с меньшей скоростью. Другими словами, средняя длина свободного пробега электронов будет зависеть от их кинетической энергии. Это верно в целом, но конкретная взаимосвязь длины пробега и энергии сложна и сильно зависит от электронной структуры решетки. Сложность связи между длиной пробега и энергией электронов не дает возможности получить количественное описание термоэлектричества, хотя качественно картина явления проста. Другими словами, наших сведений о поверхности Ферми реального металла недостаточно для вычисления термо-э.д.с. Следует отметить, что для полупроводников ситуация проще, поскольку число электронов и дырок, участвующих в процессе проводимости, значительно меньше. В этом случае модель электронного газа, в которой частицы подчиняются статистике Максвелла — Больцмана, лучше отражает истинную природу явления. [c.268]

Рассмотрим собственный полупроводник. При температуре Г=0 К все энергетические уровни валентной зоны заполнены электронами, а уровни зоны проводимости - свободны. С повышением температуры некоторое количество электронов покидает валентную зону и переходит в зону проводимости. Распределение электронов и дырок по энергиям в твердом теле описывается статистикой Ферми - Дирака. Согласно этой статистике вероятность того, что состояние с некоторой энергией Ш при температуре Т будет занято электроном, определяется функцией Ферми - Дирака [c.52]

При дальнейшем увеличении N нарушается неравенство (1). Из-за перекрытия волновых ф-ций электронов соседних атомов дискретные уровни уширяются настолько, что преобразуются в примесную зону. Пока в полупроводнике сохраняются уширенные примесные уровни либо обособленная от и примесная зона, уровень легирования относят к среднему (или промежуточному). При Достаточно большой концентрации примесей полностью нарушаются оба неравенства. Примесная зона продолжает расширяться, и при нёк-рой критич. концентрации Л ор она сливается как с зоной проводимости, так и с валентной зоной (рис. 1,е), Плотность состояний оказывается отличной от О практически во всей запрещённой зове полупроводника ( хвосты плотности состояний). При этом газ носителей заряда уже не подчиняется статистике Больцмана он становится вырожденным и подчиняется статистике Ферми. [c.502]

Вывести закон действующих масс для концентраций основных и неосновных носителей в полупроводнике, предполагая, что для носителей тока в зоне проводимости и в валентной зоне, так же как для классических свободных частиц, применима статистика Максвелла — Больцмана и что функция плотности состояний параболическая для обеих зон. Эффективные массы т% (для электронов) и т р (для дырок) считать известными и постоянными. [c.77]

При высоких температурах, при малой ширине запрещенной зоны, при сильном легировании полупроводника, когда уровень Ферми оказывается в валентной зоне или зоне проводимости, это условие не выполняется. В этом случае полупроводник называется вырожденным. К нему уже не применима статистика Максвелла—Больцмана. Распределение электронов и дырок по энергиям описывается функцией распределения Ферми—Дирака. [c.58]

Природа металлической проводимости. Классическая электронная теория представляла твердый проводник в виде системы, состоящей из узлов кристаллической ионной решетки, внутри которой находится электронный газ из коллективизированных (свободных) электронов (фиг. 128). В коллективизированное состояние от каждого атома металла отделяется от одного до двух электронов. К электронному газу применялись представления и законы статистики обычных газов. Рассматривая хаотическое (тепловое) и направленное под действием силы электрического поля движения электронов, получали выражение закона Ома [c.261]

Схема механизма выпрямления на границе зон р—п иллюстрируется фиг. 184. Вверху (184, а) показано равновесное состояние в германии, левая половина которого имеет дырочную проводимость р , а правая электронную п , при этом по законам статистики небольшое число дырок окажется справа, а электронов — [c.329]

Вырожденные П. Средний объем, приходящийся на 1 атом примеси при концентрации примеси N равен 1/-/Уд, а среднее расстояние между атомами примеси (l/iУ ) Когда N столь велико, что (1//Уд)- 5 а, где а — радиус 1-й боровской орбиты примесного атома, то среднее расстояние становится столь малым, что электроны могут переходить от одного атома к другому посредством туннельного эффекта, п примесные уровни превращаются ( размазываются ) в зону, к-рая при (1/Л д) я сливается с основной. Прп этом уровень Ферми лежит в зоне проводимости Ер> (аналогично, при больших Ж, и р ЕрСЕ >). Такой П. наз. вырожденным. В этом случае при расчете следует пользоваться квантовой статистикой Ферми — Дирака. [c.112]

В обычной теории переноса обе величины 5 и являются положительными, если перенос осуществляется дырками, т. е. пустыми состояниями в почти заполненной зоне. Уравнение (2.1) справедливо с положительным и- отрицательным знаками для дырок и электронов соответственно в широкой области значений /г. Если п достаточно мало, чтобы можно было применять статистику Максвелла—Больцмана, в формулу вводят дополнительный коэффициент , по порядку величины близкий к единице, величина которого зависит от механизма рассеяния [14]. Расхождения в знаках между и 5 можно, по-видимому, объяснить, используя представления о проводимости, вклад в которую дает более чем одна зона. Другая возможная интерпретация, основанная на справедливости формулы (2.1) для многих [c.36]

Вследствие электрон-электронного взаимодействия в изоляторах и в некоторых полупроводниках возможно существование хорошо определенных элементарных возбуждений с энергиями в запрещенной зоне, разделяющей валентную зону и зону проводимости. Эти возбуждения, называемые экситонами [3], соответствуют связанным состояниям электронно-дырочной пары. Энергия экситона лежит внутри запрещенной зоны вследствие кулоновского притяжения между электроном, возбужденным из валентной зоны, и оставшейся там дыркой. Экситоны, подобно плазмонам, подчиняются статистике Бозе. [c.26]

Для объяснения явления ферромагнетизма в квантовой теории используются два основных подхода. Один из них основан на предложенной Френкелем модели коллективизированных электронов, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака. Эта модель учитывает обменное взаимодействие. В теории показано, что при некоторой плотности электронного газа возможно появление самопроизвольного намагниченного состояния вне зависимости от того, что кинетическая энергия электронов при этом увеличивается. Напомним еще раз, что увеличение кинетической энергии связано с тем, что, в силу принципа Паули, электроны с параллельной ориентацией спина не могут з нимать один энергетический уровень. Поэтому при перевороте спина электрон вынужден занять состояние с большей энергией. В настоящее время, однако, существует мнение, что газ электронов проводимости, по-видимому, не является )ерромагнитным ни при каких условиях. Строгое доказательство этого пока отсутствует. В то же время ни в одном эксперименте не было обнаружено ферромагнетизма металлов, не содержащих атомов или ионов с недостроенными d- или /-оболочками. Появление ферромагнетизма в системе d- или /-электронов связано с аномально высокой (по сравнению с s-электронами) плотностью состояний в - и /-зонах. [c.337]

Для равновесного газа квазичастиц функция v e) имеет универсальный вид, зависящий от характера статистик квазичастиц данного типа (статистика Бозе — Эйнштейна или статистика Ферми — Дирака). Так, для фононов она описывается выражением (6.1.13), а для электронов проводимости и дырок выражением (6.2.1). Что же касается спектра G,(e), то для квазичастиц индивидуального происхождения (электроны проводимости и дырки) он описывается выражением (6.2.6) с заменой электронной массы на определяемую структурой данного кристалла зс х зективную массу электрона проводимости или дырки, а для квазичастиц коллективного происхонадения (фононы, магноны и другие) он существенно зависит как от типа квазичастиц, так и от конкретной рассматриваемой периодической структуры. [c.148]

В настоящее время известно, что необычные свойства электронов проводимости являются следствием принципа Паули, действующего в металле это заставляет применять к электронам статистику Ферми—Дирака. Заслугой Зоммерфельда [6] является то, что он первый приложил этот принцип в теории перемещения электронов в металлах. Вскоре после работы Зоммерфельда появились работы Хаустопа [7,8] и Блоха [9 —11], в которых взаимодействие между электронами и решеткой рассматривалось с квантовомеханической точки зрения, после чего началось быстрое развитие современной теории металлов. Нужно, однако, отметить, что в период между работами Друде и Лоренца и появлением теории Зоммерфельда было предложено несколько новых теорий электронной проводимости, в которых, кроме вывода различных выражений для электропроводности, теплопроводности и вездесущего числа Лоренца, делались попытки объяснить другие явления. [c.155]

Несмотря на то, что в так называемых промежуточных теориях содержались интересные идеи, вопрос об электронах проводимости в металле оставался окончательно нерешенным. Формулируя основы своей теории, использущей статистику Ферми — Дирака для электронов, Зоммерфельд [24 — 26] в 1927 г. писал Именно поэтому на протяжении последних двадцати лет идея электронного газа в металле все более п более дискредитировала себя.). [c.158]

Совокупность электронов проводимости и взаимодействие электрон— электрон. В настоящее время в рассматриваемой области остались две нерешенные проблемы необходимо, во-первых, разработать более точную теорию рассеяния электронов в металлах и, во-вторых, выяснить воиросы, связанные с установлением теплового равновесия. Эти задачи нельзя рассматривать как совершенно независимые, так как обе они требуют для своего решения точного понимания особенностей поведения совокупности электронов проводимости в металле. Когда Лоренц впервые использовал методы статистики ( уравнение Больцмана ) в теории переноса электронов в металлах, он предполагал, что по сравнению с взаимодействием электронов с атомами столкновениями электрон—электрон можно пренебречь. Он писал ...мы полагаем, что преобладают соударения с атомами металла надо считать, что число таких столкновений настолько превосходит число соударений электронов друг с другом, что последними вполне можно пренебречь . [c.215]

Этими двумя приближениями будут модель еаза свободных электронов и зонная модель почти свободных электронов. Первая модель позволит нам с помощью статистики Ферми вычислить основные величины, характеризующие электроны проводимости (например, теплоемкость или плотность состояний) на ее основе нам будет легко понять смысл тех модификаций, к которым приводит использование более реалистичных приближений. Из второй модели мы увидим, что спектр разрешенных состояний не является непрерывным, а существуют запрещенные энергетические зоны. Это приводит к понятию зонной структуры, весьма важной для детального понимания теории металлов. Кроме этих моделей, мы кратко опишем еще два приблингения (будут указаны лишь физические допущения, лежащие в их основе) метод ячеек и метод ортогонализованных плоских волн. Эти последние методы включены потому, что они позволяют точнее рассчитывать более тонкие свойства кристаллической решетки — соответственно сжимаемость и детали зонной структуры данного кристалла. [c.67]

ФЕРМИ ЭНЕРГИЯ (граничная фермп-евская энергия, уровень Ферми) — макс. энергия фермиевских частиц или кеазичастиц (частиц, подчиняющихся Ферми—Дирака статистике) ири абс. нуле темп-ры. Напр., электроны проводимости, ответственные за перенос заряда в проводниках (см. Твердое тело, Метал.гы), подчиняются статистике Ферми, т. е. в каждом энергетич. состоянии может находиться пе более одного электрона. При абс. нуле теми-ры электроны будут последовательно заполнять самые пизкпе возможные уровни эпергии g, вплоть до нек-рой макс. энергии go. зависящей от плотности электронов п. [c.298]

Паули [19] показал, что правильные результаты теория дает, если учесть, что электроны в металле подчиняются статистике Ферми — Дирака (см. гл. 7). Здееь же мы сначала дадим качественное объяснение. Из формулы (15,21) следует, что вероятность параллельной полю В ориентации атомного спипа превышает вероятность антипараллельной ориентации примерно в хВ квТ раз. Если у нас N атомов (в единице объема), то их суммарный вклад в намагниченность равен примерно М х В1квТу т. е. прн таком подходе мы опять-таки получаем стандартный результат классической теории. Однако для большинства электронов проводимости в металле вероятность того, что спиновый момент при включении внешнего поля повернется в направлении поля, равна нулю, поскольку состояния ниже уровня Ферми со спином вдоль поля в подавляющем числе уже заняты. Только у небольшой части электронов с энергиями порядка квТ, находящихся в верхней части фермиевского распределения, спины имеют шанс повернуться в направлении поля, и таким образом лишь доля Т Тр от общего числа электронов дает вклад в восприимчивость. Следовательно, [c.535]

Мы здесь еще не можем оценить границы применимости такой модели (для этого см. 23 и 24). Однако два примера мы все же можем привести электроны проводимости в одновалентных металлах и во многих полупроводниках. Значения эффективных масс для металлов несколько выше массы свободного электрона (Ма 1,22/п 2,3/п). У полупроводников они могут быть существенно меньше т (1п5Ь 0,01/п). В другом отношении, однако, электронный газ в двух приведенных примерах существенно отличается один от другого. В полупроводниках концентрация электронов проводимости так мала, что они ведут себя как газ невзаимодействующих частиц и подчиняются классической статистике Больцмана. Электронный же газ в металлах вырожден . Из-за высокой концентрации электронного газа при расчете числа [c.28]

На первый взгляд кажется, что уравнение (IX.23) применимо для ядержых спинов в металле с этим же значением ибо реализуются те же условия для иж взаимодействия с электронами проводимости. В действительности же такой внвод неверен это связано с тем, что, согласно прищипу Паули, электроны проводимости в металлах подчиняются статистике Ферми. Иногда считают, что это усложнение может быть снято, если вместо рассматриваемых статистик индивидуальных электронов использовать статистический метод Гиббса (см. гл. V). Макроскопическая система, состоящая шз всех электронов образца при тепловом равновесии подчиняется статистике Больцмана и описывается статистическим оператором ехр кТ , гдел — полный гамильтониан электронов, включающий энергию жх взаимодействия. Хотя это положение, несомненно, правильно, им следует пользоваться с некоторой осторожностью, что иллюстрируется следующим ошибочным вычислением. [c.339]

Механизм релаксации, обусловленный скалярным взаимодействием (IX.1), можно представить себе следующим образом. Взаимодействие вызывает одновременные переворачивания электронного и ядерного спинов в противоположных направлениях энергия (сОе — соп) (где со = —Уе о и соп = —Уп о электронная и ядерная ларморовские частоты), требуемая для такого переворачивания, обеспечивается за счет изменения кинетической энергии электрона. Из статистики Ферми, которой подчиняются электроны проводимости в металле, вытекают два следствия, которые одинаково важны для ядерного релаксационного механизма. Во-первых, средняя кинетическая энергия электронов много больше, чем тепловая энергия /сТ, и того же порядка, что и энергия Ферми во-втЬрых, вследствие принципа Паули, большинство электронов проводимости не могут получить или отдать даже малую энергию Ь (сое — со ). Поэтому вклад в ядерные релаксационные процессы дает только часть кТ Е г электронов, находящихся на границе распределения Ферми. Вероятность переворачивания ядерного спина по порядку величины может быть вычислена следующим образом. Электронное поле, создаваемое электроном проводимости в месте расположения ядра, можно рассматривать как флуктуирующее локальное поле со временем корреляции Тс. Если мы примем в среднем один электрон проводимости на атомный объем, то время Тс, грубо определяющее продолжительность, в течение которой электрон проводимости может быть локализован в окрестности данного атома, согласно квантовомеханическим представлениям, по порядку величины равно — где Ер — энергия Ферми. [c.332]

Две характерные особенности ядерной релаксации, вызванной взаимодействием с электронами проводимости в металлах, которые делают этот механизм сущ ественно отличным, например, от механизма релаксации, обусловленного фиксированными парамагнитными примесями, состоят в том, что электроны подчиняются статистике Ферми и находятся в быстром движении. Основные следствия упомянутых особенностей заключаются соответственно в пропорциональности скорости ядерной релаксации 1/Гь абсолютной температуре Т и возможности получения ядерной поляризации (эффект Оверхаузера), как было указано в разделе А. Другая менее сущ е-ственная особенность рассматриваемого механизма релаксации состоит в скалярном характере взаимодействия Л (1-8) между электронным и ядерным спинами, сущ ествование которого предполагается. Как было показано в гл. VIII, основное изменение, которое происходит в случае, еслж взаимодействие является в основном диполь-дипольным (для р-электро-нов), а не скалярным (для 5-электронов), состоит в изменении знака динамической ядерной поляризации. [c.361]

Формула вида (78,13) была получена качественно (Р. Drude, 1900), впервые сформулировавшим представление об электронах проводимости, участвующих в тепловом равновесии металла. Количественный вывод в классической статистике был дай Лоренцем Ш. А. Lorenz, 1905), а в статистике Ферми — Зоммерфельдом (А. Sommerfeld, 1928). [c.396]

Так как в собственном полупроводнике количество электронов Б зоне проводимости должно быть равно количеству дырок в валентной зоне, то, как легко видеть из рис. 6.1, б, уровень Ферми должен располагаться в этих полупроводниках примерно в середине запрещенной зоны (более точно его положение будет определено ниже). В этом случае условие невырожденности (6.1) будет выполнено, если Egl2 > kT, т. е. если Eg> 2 kT. При комнатной температуре kT = 0,025 эВ. Ширина же запрещенной зоны у полупроводников обычно больше 0,1 эВ (она равна г 0,7 эБ у германия, 1,1 эВ у кремния, 1,35 эВ у арсенида галлия, 0,35 эВ у арсеннда индия, 0,177 эВ у антимонида индия и т. д.). Поэтому электронный газ в собственных полупроводниках является невырожденным и подчиняется статистике Максвелла —Больцмана. Этот вывод справедлив и для дырок, находящихся в валентной зоне. [c.160]

Теория ЗОННОЙ модели основывается на одноэлектронном уравнении Шредингера (3.20). Последнее отличается от уравнения Хартри—Фока (З.П) тем, что в нем взаимное кулоновское и обменное взаимодействие электронного газа было усреднено. Только благодаря этому электроны перестают быть связанными. Они движутся в поле под действием некоторого общего среднего потенциала. Блоховские состояния, заданные функцией Е к), не зависят от заполнения электронами спектра состояний. Электроны в этом приближении рассматриваются как невзаимодействующие квази-частпцы, которые в заданном спектре энергий располагаются согласно статистике Ферми. Возбуждение пары электрон — дырка имеет тогда энергию, равную разности энергий между блоховским состоянием электрона в зоне проводимости и блоховским состоянием дырки в валентной зоне. Для улучшения этого приближения вспомним следующее. В приближении Хартри —фока перед усреднением, которое приводит к уравнению (3.20) зонной модели, существует разница между энергией взаимодействия одного возбужденного электрона при взаимодействии со всеми электронами в основном состоянии (проблема (Л + 1)-го электрона) и энергией при взаимодействии с N — 1 электронами в с( ре Ферми или соответственно в валентной зоне (Л -электронная проблема). Эта разница как раз и есть взаимодействие электрон —дырка в картине квазичастиц зонной модели. [c.180]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...