Волна третьего порядка

Волна третьего порядка. Случай, когда на функции i,a, 1л непрерывны, а разрывны только производные высшего порядка I (Х , t), был рассмотрен выше. Совокупность явлений на такой поверхности является волной ускорения. Если на [c.116]

Рассмотрим теперь волну третьего порядка. Согласно (17.10) и (17.12) имеем [c.116]

Условие распространения волны третьего порядка можно также получить, дифференцируя (17.15) не по X , а по t [c.117]

Выведем выражение для энергии звуковой волны. Согласно общей формуле энергия единицы объема жидкости равна ре + ру /2. Подставим сюда р = ро + р. е = ео + е, где буквы со штрихом обозначают отклонения соответствующих величин от их значений в неподвижной жидкости. Член p oV2 является величиной третьего порядка малости. Поэтому, если ограничиться точностью до членов второго порядка включительно, получим [c.356]

Далее, рассмотрим некоторый объем жидкости, в которой распространяется звук, и определим поток энергии через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. Плотность потока энергии в жидкости равна согласно (6,3) pv w + v /2 . В рассматриваемом случае можно пренебречь членом с как малым третьего порядка. Поэтому плотность потока энергии в звуковой волне есть pvo). Подставив сюда ш = шо + ш, имеем [c.358]

Рассмотрим ударную волну, в которой все величины испытывают лишь небольшой скачок о таких разрывах мы будем говорить как об ударных волнах слабой интенсивности. Преобразуем соотношение (85,9), производя в нем разложение по степеням малых разностей Sq — Si и Р2 — Р. Мы увидим, что при таком разложении в (85,9) сокращаются члены первого и второго порядков по р2 —Рь поэтому необходимо производить разложение по р2 — Pi до членов третьего порядка включительно. По разности же. 92 — S] достаточно разложить до членов первого порядка. Имеем [c.460]

Таким образом, скачок энтропии в ударной волне слабой интенсивности является малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления. [c.460]

Отсюда видно, что энтропия меняется не монотонно, а имеет максимум внутри ударной волны (при x = 0). При л- = оо эта формула дает одинаковые значения s = Si это связано с тем, что полное изменение энтропии S2 — si являегся величиной третьего порядка по Р2 — Р (ср. (86,1)), в то время как s — Si — второго. [c.493]

Простое вычисление с помощью разложения в ряд показывает, что оба написанных выражения отличаются друг от друга только в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в виду, то изменение энтропии в разрыве есть величина третьего порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоянна). Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка звуковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней разрыва остается простой, причем на самом разрыве будет выполнено надлежащее граничное условие. В следующих же приближениях это уже не будет и.меть места, что связано с появлением отраженных от поверхности разрыва волн. [c.536]

Другой важный случай, когда потенциальность течения можно считать не нарушающейся ударными волнами,— это случай волн малой интенсивности. Мы видели ( 86), что в таких ударных волнах скачок энтропии есть величина третьего порядка по сравнению со скачком давления или скорости. Из соотношения [c.598]

Релятивистские ударные волны слабой интенсивности могут быть рассмотрены вполне аналогично тому, как это было сделано в 86 в нерелятивистском случае [И. М. Халатников, 1954). Не повторяя заново всех вычислений, приведем результат для скачка энтропии, который снова оказывается малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления [c.701]

Таким образом, эффекты ангармоничности третьего порядка приводят к тому, что на совокупность основных монохроматических волн (с частотами oj, oj,. .. и волновыми векторами kj, ка,. ..) налагаются некоторые волны слабой интенсивности с комбинационными частотами вида Wj и волновыми векторами [c.145]

В опытах по дифракции рентгеновских лучей пучок падает на решетку с периодом 2 мкм под углом скольжения в 30 (угол скольжения — угол, составляемый направлением луча с плоскостью решетки). Угол дифракции для спектра третьего порядка получился равным lVa°- Определить длину волны рентгеновских лучей. [c.881]

В Этом случае задача о волне, движущейся с постоянной скоростью, сводится после замены времени i — t — Vv к модели третьего порядка [c.158]

Вычисление моментов второго порядка для амплитуды волны ( ), (U]U2), (ul) производится по методу редукции на основе второй бесконечной цепочки уравнений (8.18), (8.19). Рассмотрим моменты третьего порядка, входящие в систему (8.18), [c.232]

Теперь необходимо перейти к координатам изображения, формируемого t+1-м элементом, и прибавить вносимые им аберрации. Однако из выражения (2.6) следует, что если аберрации сферической волны представляют собой сумму двух или более слагаемых (в данном случае — сумма аберраций г-го и i4-l-ro элементов), то при распространении волны эти слагаемые преобразовываются независимо, не влияя друг на друга. Подобное свойство закона преобразования аберраций в третьем порядке — прямое следствие того, что замена зрачковых переменных в аргументе функции волновой аберрации в этом случае полностью соответствует проективному преобразованию. В результате в третьем порядке малости будем рассматривать аберрации каждого элемента отдельно, так, как будто все остальные элементы системы безаберрационные, и только потом суммируем искажения, вносимые всеми элементами. [c.55]

Соотношение (2.15), как и (2.6), описывает преобразование волновых аберраций третьего порядка при распространении сферической волны, но в отличие от (2.6) дает связь между аберрациями в оптически сопряженных плоскостях. В п. 2.1 при выводе формулы (2.6) предполагалось, что волна распространяется в. свободном пространстве, тогда как выражение (2.15) справедливо только при наличии оптического элемента между рассматриваемыми плоскостями, который и обеспечивает их оптическое сопряжение. Если в соотношении (2.6) при переходе в другую плоскость зрачковые координаты заменяются линейными комбинациями новых зрачковых координат и координат центра кривизны сферической волны, в результате чего происходит перераспределение аберраций по типам, то в (2.15) все сводится к изменению масштаба координат зрачка и предмета, а перераспределений аберраций по типам не происходит. Конечно, именно к такому результату для сопряженных плоскостей должно было привести проективное преобразование, которому подчиняется замена переменных в аберрациях третьего порядка. [c.56]

При отсутствии аберраций доля энергии, приходящаяся на центральный кружок дифракционного изображения с радиусом б, равна 84 %. В остальных случаях она, естественно, меньше. Установим минимально допустимое значение (б), при котором изображение еще можно считать практически не отличимым от дифракционно-ограниченного, опираясь на общепринятую оценку качества изображения при наличии у системы только сферической аберрации третьего порядка. В соответствии с правилом Рэлея изображение практически не отличается от идеального, если сферическая аберрация системы в пределах зрачка не превышает четверти длины волны [61]. Расчет показывает, что в этом случае в пределах диска Эйри сконцентрировано 73 % всей энергии дифракционного изображения точки Е Ь) = (),12, примем в качестве граничного значения критерия концентрации энергии для систем с низким уровнем остаточных аберраций. Несмотря на достаточную условность, это значение, по мнению авторов, вполне обосновано и разумно. В данном случае имеются все основания распространить граничное значение критерия, полученное (или выбранное) для одного вида аберрационных искажений, на все остальные их виды, поскольку совершенно ясно, что одна и та же степень концентрации энергии в диске Эйри обеспечивает практически одинаковые условия регистрации изображения (особенно на нелинейной среде) независимо от характера аберраций. Инвариантность критерия концентрации энергии в диске Эйри относительно вида аберрационных искажений придает ему наибольшую достоверность по сравнению со всеми другими числовыми критериями. [c.85]

Таким образом, скачок энтропии в ударной волне малой интенсивности есть величина третьего порядка малости относительно скачка давления. Согласно второму началу термодинамики, [c.106]

Формулы связи, позволяющие решением системы линейных уравнений определить модули упругости третьего порядка по результатам измерений скоростей распространения упругих волн при различных сочетаниях трех векторов приведены в табл. 16.4. [c.255]

Vg %. Интерференционная полоса третьего порядка вступит в видимый спектр прежде, чем соответствующая полоса второго порядка вступит в невидимый инфракрасный участок спектра, и последовательность цветов поэтому изменится. Так как красная и синяя волны интерферируют, окисел кажется зеленым. [c.55]

В случае, когда аномалия попадает в область зеркального или двойного зеркального резонанса, эти эффекты взаимно усиливают друг друга и существенно влияют на ход зависимостей. Например, если наряду с условиями (4.10) и ф = 2а — 90° выполняется условие sin ф =—га/дг, 1// = = 2/yv, л/ = 2, 3,. .., то в случае Е- и Я-поляризаций во всем пространстве над эшелеттом будут существовать четыре попарно встречных плоских волн одинаковой амплитуды. Структура поля, образованного интерференцией этих волн 125], предопределяет своеобразный геометрический резонанс, который является частным и особо четким случаем двойного зеркального резонанса. Одна из точек, удовлетворяющих указанным выше условиям, расположена (см. рис. 127) в плюс втором порядке при X// = 1/2, а другая — в плюс четвертом порядке при У/ = 1/4. В этих точках обе кривые достигают единицы, причем для -поляризации область резонанса шире, а перепад интенсивностей больше, чем для Я-поляризации. В точках ХИ = 2/5 и 2/7 в плюс третьем порядке данные условия выполняются нестрого, поэтому не достигают единицы, но тем не менее резонанс выражен довольно четко. [c.187]

В [57] проанализирована динамика развития модуляционной неустойчивости в условиях сильного влияния дисперсии третьего порядка. Показано, что приближение длины волны излучения к длине волны нулевой квадратичной дисперсии позволяет значительно повысить частоту повторения импульсов при фиксированной входной мощности излучения. Из анализа структуры сформированных импульсов следует, что с точки зрения достижения максимального контраста оп- [c.219]

Температурная зависимость постоянных упругости, найденная с помощью ультразвука, зависимость от давления, определенная подобным же образом для постоянных упругости и постоянных третьего порядка вообще, так же как явление затухания ультразвуковых волн, заслуживают детального обзора с точки зрения перс- [c.457]

Далее, поскольку удвоенная длина волны крайних красных лучей больше утроенной длины волны крайних фиолетовых лу ей, мы можем получить в поле спектра полосы второго и третьего порядков в одно и то же время, ие изменяя нагрузки. В этом случае возможно непосредственно сравнивать оптические коэффициенты напряжения, так как небольшие ошибки вследствие нецентрального расположения нагрузки, несущественны. Очевидно, что если Х , суть длины волн наблюдаемых полос, С, и С,— их оптические коэффициенты деформации, то [c.194]

Допустим, что наблюдатель начинает наблюдения при полном безветрии, когда поверхность воды спокойна и отражает окружающие предметы, как. зеркало. Это состояние поверхности не изменяется при легком дуновении воздуха прн скорости, меньшей, чем половина мили в час (8>/, дюймов в секунду), гладкость отражающей поверхности не нарушается заметным образом. Можно хорошо видеть, что легкий порыв ветра, проносящийся вда1ь поверхности, на одно мгновение коробит поверхность зеркала но после того, как этот порыв замрет, поверхность становится такою же гладкою, как и прежде. Если же воздух движется со скоростью около одной мили в час, то поверхность воды оказывается уже не в состоянии отражать вполне ясно проводя наблюдения в этих условиях, можно заметить, что уменьшение отражательной способности зависит от наличия той мелкой ряби поверхностного слоя, которую образуют волны третьего порядка (капиллярные волны)... Эта первая стадия возмущения отличается тою особенностью, что явление прекращается почти одновременно с прекращен> ем возмущающей причины поэтому место, защищенное от непосредственного действия ветра, остается спокойным, так как волны третьего порядка не [c.792]

В ударной волне, возникающей при обтекании вогнутого профиля, мы имеем пример волны, начинающейся от некоторой точки, расположенной в самом потоке вдали от твердых стенок. Такая точка начала ударной волны обладает некоторыми общими свойствами, которые мы здесь отметим. В самой точке начала интенсивность ударной волны обращается в нуль, а вблизи нее мала. Но в ударной волне слабой интенсивности скачок энтропии и ротора скорости — величины третьего порядка малости, и потому изменение течения при прохождении через волну отличается от непрерывного потенциального нзэнтропического изменения лишь в величинах третьего порядка. Отсюда следует, что в отходящих от точки начала ударной волны слабых разрывах должны испытывать скачок лишь производные третьего порядка от различных величин. Таких разрывов будет, вообще говоря, два слабый разрыв, совпадающий с характеристикой, и тангенциальный слабый разрыв, совпадающий с линией тока (см. конец 96). [c.606]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

Здесь индекс 5 приписывается величинам непосредственно за ударной волной, индекс оо — характеристикам непоз-мущенного потока, а лишнее условие для безразмерной функции тока (для / имеем уравнение третьего порядка, и четыре граничных условия) используется для определения [c.444]

В гл. 1 отмечалось, что хроматические аберрации в отличие от монохроматических начинаются с первого порядка малости, т. е. возникают уже в гауссовой области изменение длины волны приводит прежде всего к смещению изображения вдоль оптической оси (хроматизм положения) и изменению его масштаба (хроматизм увеличения). В третьем порядке малости основную роль играет сферохроматическая аберрация, т. е. добавочная сферическая аберрация, возникающая при изменении длины волны. Поскольку во всех рассмотренных в гл. 4, 5 объективах хроматические аберрации не скомпенсированы, то для оценки допустимой ширины спектра достаточно учета первого порядка. Даже в комбинированных системах, содержащих помимо преломляющих поверхностей только дифракционные ас-ферики, которые не дают вклада в хроматизм первого порядка, ограничения ширины спектра за счет хроматизма положения, обусловленного дисперсией стекла, как правило, превалируют над ограничениями за счет сферохроматизма. [c.181]

Возможно также и голографическое изготовление ДЛ. Правда, по мнению авторов, в настоящее время нет удовлетворительной методики регистрации осесимметричных интерференционных картин, но она может появиться, особенно если голо-графический метод использовать не для получения ДЛ, а для изготовления их фотошаблонов. Необходимо иметь в виду, что не всякая структура соответствует картине интерференции двух сферических волн. Так, нельзя получить голографически геометрическую зонную пластинку даже с точностью до третьего порядка малости. Действительно, согласно выражению (1.21) коэффициент асферической деформации третьего порядка голо-графической линзы [c.213]

Такая волна с точностью до третьего порядка малости не отличается от акустической. Давление на ее фронте Рх роСоС/ь Волна разгрузки также не будет отличаться от акустической, и скорость ее распространения с со. Амплитуда волны разгрузки равна 1, а вещество приобретает дополнительную скорость, связанную с [c.116]

Периодичность солитонов высщих порядков означает, что такие импульсы должны восстанавливать первоначальную форму и спектр на расстояниях, кратных периоду солитона. Такое восстановление наблюдалось для солитонов второго и третьего порядков в экспериментах [40], где длина световода 1,3 км соответствовала примерно одному периоду солитона. В другом эксперименте [41] эффект сжатия солитонов высших порядков на начальном этапе распространения, изображенный на рис. 5.4 для случая N = 3. наблюдался для значений N вплоть до 13. Подробнее это обсуждается в гл. 6. Солитоны высщих порядков также наблюдались на выходе лазера на красителе с синхронизацией мод на сталкивающихся пучках, работающего в видимом диапазоне (длина волны генерации 620 нм), посредством [c.119]

Для оптимального режима работы ВКР-усилителей на основе световодов из кварцевого стекла разность частот накачки и сигнала должна соответствовать пику комбинационного усиления на рис. 8.1 ( 13 ТГц). В ближнем ИК-диапазоне наиболее практичный источник накачки-Nd ИАГ-лазер, работающий на 1,06 или 1,32 мкм. Для этого лазера максимальное усиление возникает на длинах волн сигнала 1,12 и 1,40 мкм соответственно. Однако с точки зрения оптической связи наиболее интересны длины волн 1.3 и 1,5 мкм. Nd ИАГ-лазер в этом случае можно использовать, если накачкой для сигнала служат стоксовы компоненты высших порядков. Например, стоксова компонента третьего порядка с длиной волны 1,24 мкм от лазера на длине волны 1,06 мкм может служить накачкой для усиления сигнала па длине волны 1,3 мкм. Действительно, в такой схеме былС) получено усиление 20 дБ [56]. Таким же образом первая стоксова компонента на длине волны 1,4 мкм ВКР от лазера с длиной волны 1,32 мкм может служить накачкой для сигнала на длине волны [c.231]

Параметрические процессы третьего порядка обусловлены взаимодействием четырех оптических волн и включают в себя явления генерации третьей гармоники, четырехволнового смешения и параметрического усиления [1-5]. Четырехволновое смешение достаточно интенсивно исследовалось [6-29], поскольку это довольно эффективный способ генерации новых частот. Его основные свойства следуют из рассмотрения нелинейной поляризации третьего порядка [c.282]

В течение последних 15 лет в области исследования нелинейности при малых де( юрмациях появились три новых пути, которые не представляют собой ни повторения, ни переадаптации, ни просто улучшения экспериментов, проведенных в XIX веке или начале XX века. Определение констант упругости с использованием скорости распространения волн в экспериментах, применяющих ультразвук, будет изложено в главе III (раздел 3.39). Вообще говоря, амплитуды этих волн были чрезвычайно малы. В более новых исследованиях использовались несколько большие амплитуды, причем часто говорилось о волнах конечной амплитуды, хотя на самом деле она конечна только по отношению к обычно используемым чрезвычайно малым амплитудам. Нелинейность функции отклика при инфинитезимальных де( юрмациях приводит к негармоническим явлениям, экспериментальное обнаружение параметров которых дает меру отклонения от обычно принимаемого линейного закона Роберта Гука. Такие исследования, совместно с определением во втором типе эксперимента коэффициентов сжатия посредством отыскания скоростей распространения ультразвуковых волн при различном давлении в окружающей среде, из которых могут быть найдены константы упругости третьего порядка, указывают на определенно новое и интересное направление поиска. [c.203]

Последние десять лет и особенно последнее десятилетие свидетельствовали о большом интересе к использованию коэффициентов сжатия как постоянных упругости, найденных ультразвуковым методом, чтобы определять постоянные упругости третьего порядка. Поскольку амплитуде ультразвуковых волн соответствуют области деформаций порядка 10 или 10", то представляется, что есть основание возвратиться к проблеме, поставленной Грюнайзеном (Gra-neisen [1906, 1]) в 1906 г., когда, как мы помним, он продемонстрировал существенную нелинейность зависимости между напряжением и деформацией для твердых тел вблизи нулевого значения напряжения. [c.457]

В XX столетии в проблеме отыскания постоянных третьего порядка и оценки того, как можно проделать такое огромное число измерений, чтобы получить желаемое количество от 6 до 56 постоянных, можно видеть исторически интересную во всех подробностях параллель с эволюцией идей и наблюдений Фохта в XIX веке. Отсылая читателя к доступным табулированным постоянным второго и третьего порядков, я подчеркиваю экспериментальную и теоретическую дилемму в интерпретировании данных о скорости волн в неодномерном пространстве в терминах скорости в одномерном. Интерес к супергармоникам, субгармоникам, взаимодействию фононов энергетическому обмену между компонентами ультразвуковых волн и тому подобное позволяют полагать, что важность линейной аппроксимации может уменьшиться в одной из наиболее важных ее крепостей — атомной физике. Развитие нелинейных теорий распространения волн в изотропных и анизотропных телах, совместно с соответствующей теорией отражения волн в телах со свободными и смешанными граничными условиями для материалов как в предварительно напряженном состоянии, так и при нулевых напряжениях характеризуют XX столетие, точно так же, как XIX столетие, как мы теперь видим, характеризовалось использованием в значительной мере линейной аппроксимации. [c.523]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...