ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение систем нелинейных уравнений из "Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений " Все методы, рассматриваемые ниже, основаны на линеаризации нелинейных уравнений, т. е. поиск решения нелинейных уравнений осуществляется решением рекуррентной последовательности линейных. [c.72] Если исходные уравнения задаются алгоритмически, то имеется возможность составить алгоритм построения линеаризованных уравнений. Некоторые рассматриваемые ниже методы часто применяются для решения нелинейных задач (метод упругих решений, метод переменных параметров, метод последовательных нагружений). [c.72] В математике аналогом этого метода служит упрощенный метод Ньютона. В физическом смысле метод упругих решений означает итерационный поиск таких дополнительных нагрузок, которые сообщают линейно деформируемому телу перемещения, равные перемещениям нелинейного тела под заданную нагрузку. В связи с этим метод часто называют методом дополнительных нагрузок. Жесткостные характеристики, обусловливающие оператор Ао, назначаются заранее. Как правило, начальный модуль деформации Eq, который определяет Ао, назначается для состояния, когда отсутствуют напряжения и деформации, т. е. [c.73] Покажем, что функционалы, соответствующие приближенному решению задачи на каждой итерации, образуют минимизирующую последовательность, т. е. [c.74] Для одномерного случая итерационный процесс (3.20) допускает геометрическую интерпретацию (рис. 3.3). [c.76] Предполагается, что задача имеет решение и т. е. [c.78] Условие (3.29) по сути представляет собой равенство нулю суммарной работы нагрузочных невязок (выражение в квадратной скобке) на приращение перемещений, найденных на п+ 1 этапе. Выражение (3.28) аналогично выражению (3.16) для метода упругих решений. Для одномерного случая геометрическая интерпретация не имеет смысла, так как на первом же этапе находится точное решение. [c.79] Хотя из одного нелинейного уравнения (3.29) необходимо найти один параметр a +i, задача достаточно сложна. Сложность обусловливается построением этого уравнения. Ведь компоненты матрицы жесткости Кц,г, в свою очередь, зависят от q)n, а эта зависимость может быть настолько сложной, что возможна только алгоритмическая запись. [c.79] Вычислив I (и + аДц), получим уравнения (3.29), т. е. [c.80] Некоторые разновидности шаговых методов. Рассматриваемые метод последовательных жесткостей и ряд модификаций шаговых методов единообразно укладываются в схему известного в. прикладной математике метода дифференцирования по параметру (методы продолжения) Методы продолжения использовались для доказательства суш,ествования решения еш,е в прошлом столетии [84]. Впервые этот метод для численного решения систем нелинейных уравнений был применен, по-видимому,. яэемом [82]. Кроме того Д. О. Давыденко [22] применил метод дифференцирования по параметру к широкому классу задач, в том числе и для решения систем нелинейных уравнений. В ряде более поздних работ [10, 74] эти методы были снабжены четким физическим смыслом, что обусловило их широкое распространение при решении различных нелинейных задач механики. [c.80] Процесс продолжается до тех пор, пока t не станет равным /. Величины М необходимо принимать такими, чтобы пренебрежение высшими степенями не превышало заданную точность решения задачи. В физическом смысле этот процесс можно трактовать как постепенное изменение жесткост[ системы. Сначала жесткость системы назначается настолько большой ( 0 1), чтобы под заданную нагрузку f работа системы была близка к линейной, тогда о найдется из уравнения /оАово = /. [c.81] Здесь все обозначения, да и само выражение, за исключением множителя +1, аналогично (3.23). [c.81] В физическом смысле этот процесс можно трактовать как постепенное увеличение нагрузки, начинающееся от О и заканчивающееся заданным /. [c.82] 35) следует, что рассматриваемый метод сходится, причем погрешность убывает пропорционально числу принятых шагов. [c.83] Таким образом, из (3.39) следует, что рассматриваемая модификация сходится, причем погрешность убывает пропорционально квадрату N. [c.84] Метод последовательных нагружений с однократным уточнением на каждом шаге по методу Ньютона. При одинаковых шагах нагружения метод имеет следующую вычислительную схему. [c.84] 40) следует, что рассматриваемая модификация сходится, причем погрешность убывает пропорционально N . [c.85] Полученные здесь оценки погрешности (3.35), (3.39), (3.40) основаны на достаточно общих свойствах оператора А и поэтому могут быть использованы не только для задач нелинейной теории упругости, но и для задач другого типа. [c.85] Вернуться к основной статье