Закон больших чисел и предельная теорема

Рассмотрим решение задачи для частного случая, когда распределения нагрузки и несущей способности подчиняются нормальному закону. Этот случай имеет широкое применение и позволяет получить простое замкнутое решение. Применение нормального закона оправдано в случае совместного действия достаточно большого числа случайных-возмущений, подчиняющихся различным законам распределения если среди них нет превалирующего, то результирующее возмущающее воздействие согласно центральной предельной теореме теории вероятностей имеет распределение, близкое к нормальному. На практике распределения многих возмущений отличны от нормального хотя бы потому, что целый ряд параметров (предел прочности, размеры и т.п.) не могут быть величинами отрицательными. Но усечения законов распределения обычно невелики, что позволяет игнорировать теоретическую нестрого сть допущения нормального распределения. [c.8]

Если число составляющих погрешностей достаточно велико (практически т 5), то независимо от закона их распределения закон распределения суммарной погрешности можно считать нормальным. Этот вывод следует из так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, согласно которой сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных величин с любыми распределениями дает нормальное распределение. [c.45]

Реальное распределение свойств металла в пределах переходной области испытывает влияние множества факторов, в том числе случайных и потому не поддающихся детерминированному учету. Статистическое распределение физико-механических свойств (а следовательно, и величины начального локального электродного потенциала) металла в переходной области может подчиняться различным законам распределения, которые, однако, в пределе при достаточно большом числе случайных факторов весьма быстро приближаются к нормальному закону распределения, как это установлено центральной предельной теоремой Ляпунова. [c.217]

Теоретической основой метода статистических испытаний является широко известный в теории вероятностей закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опытов. На основании количественной формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы Ляпунова можно оценить точность метода статистических испытаний. [c.15]

Применение этого закона определяется сочетанием большого числа влияющих факторов (предельная теорема [61]). Возможно, однако, приравнивание v к ti для другого характерного закона, в частности закона равномерной плотности. Такое конкретное условие идентификации (распознавания и установления) нормальных условий может быть аналогично сформулировано и для других видов измерений. Динамическое воздействие внешних влияющих величин Vj xt) и искажение выходного сигнала y t) функционально связаны через частотную характеристику ф ш) измерительной системы, включающей средства и объект измерения. Если рассматриваемая система является линейной стационарной, то по принципу суперпозиции [c.24]

При таких условиях в теории вероятности доказывается центральная предельная теорема Ляпунова, в соответствии с которой распределение суммы большого числа независимых случайных величин (с произвольными законами распределения ) подчиняется нормальному закону. В практике нормальное распределение встречается очень часто погрешности изготовления и измерения деталей, рассеяние механических свойств материалов, распределение различного рода случайных воздействий и т. п. Нормальный закон распределения обладает устойчивостью, линейные функции нормальных случайных величин также следуют этому закону. Во многих задачах с помощью нормального закона или его модификаций можно приближенно представить другие распределения. Плотность распределения при нормальном законе выражается следующим равенством [c.218]

В обоих случаях необходимо знание закона распределения погрешностей. Упрощение методики суммирования состоит в том, чтобы сделать эти переходы по возможности более простыми. Один из вариантов состоит в следующем. Согласно центральной предельной теореме, если число суммируемых независимых составляющих достаточно велико (практически при т> 5) и если среди этих составляющих нет существенно преобладающих над остальными, то результирующий закон распределения близок к нормальному. Однако предположение о близости закона распределения к нормальному без соответствующего анализа достаточно рискованно даже и при большом числе суммируемых составляющих. Тем не менее Ьри [c.106]

Теоретическим обоснованием использования нормального распределения служит одна из центральных предельных теорем теории вероятностей. Согласно ей распределение среднего независимых случайных величин, распределенных по любому закону (или даже имеющих до N различных распределений с конечными математическими ожиданием и дисперсией), при неограниченном увеличении числа наблюдений в выборке приближается к нормальному. Хотя центральная предельная теорема связана с большими выборками, распределение выборочного среднего стремится к нормальному даже при относительно небольших значениях п, если значения дисперсии какого-либо элемента или небольшой группы элементов не является преобладающим и распределение элементов выборки не слишком отклоняется от нормального. На примере гамма-распределения, рассмотренного в начале этого раздела, было показано, что уже 12 независимо действующих факторов приводят к распределению, практически не отличающемуся от нормального. [c.419]

Для однообразия в расчетах за возможные максимальные отклонения в установившихся режимах работы тепловозной системы принимаем допуски на параметры элементов. При учете переходных процессов отклонения параметров и выхода будут больше допусков. Закон распределения ошибки выходного параметра системы является суммой законов распределения погрешностей параметров элементов и по предельной теореме теории вероятностей при числе элементов системы более четырех характер его совпадает с нормальным законом распределения. [c.232]

На основании центральной предельной теоремы закон распределения замыкающего звена тем ближе к нормальному закону и, следовательно, а тем ближе к нулю, чем больше число т—1 составляющих звеньев. [c.220]

Из приведенных соотношений следует, что для нормального закона равен нулю первый момент, а коэффициенты асимметрии (третий момент) и эксцесса (четвертый момент) равны нулю и трем соответственно. Действительно, первые измерения пульсаций скорости в турбулентном потоке за решеткой, являющимся хорошим аналогом однородной турбулентности, показали, что экспериментальные точки хорошо согласуются с кривой нормального закона распределения, а измеренные Таунсендом [102] коэффициенты асимметрии и эксцесса дали в согласии с теорией значения = = О и Ш4 = 3, 0. Эти результаты были получены для компонент скорости 1, 2, 3 на различных стадиях вырождения и при различных числах Рейнольдса. Полученные результаты имели ясный физический смысл. Поле турбулентных пульсаций связано уравнениями Навье-Стокса. Следовательно, скорость в любой точке потока обусловлена всем полем случайных скоростей в пространстве, окружающем эту точку. Другими словами, пульсация скорости в данной точке есть результат совместного влияния на нее множества случайных пульсаций во всех прочих областях поля. А это ситуация, при которой справедлива центральная предельная теорема Ляпунова, согласно которой случайные процессы, формирующиеся под воздействием большого или бесконечно большого числа независимых или линейно связанных факторов, имеют нормальный закон распределения. Однако более детальный анализ обнаружил, что эта похожесть на нормальный процесс не полная, а применимость центральной предельной теоремы возможна лишь с определенными оговорками. Так, дальнейшее изучение механизма турбулентности показало, что случайные воздействия, [c.124]

На основании исследований Бэтчелора [4] известно, что при увеличении порядка производной возрастает энергетический вклад в законы распределения все более мелких компонент турбулентности. Поскольку при увеличении порядка производной законы распределения все более уклоняются от нормального, то из этого следует, что мелкомасштабная структура проявляет тенденцию к большей статистической связи, возрастающей с уменьшением ее масштаба. А это в свою очередь отдаляет ее от условий, требуемых центральной предельной теоремой для реализации нормального закона распределения. Сказанное согласуется и с ролью увеличения числа Рейнольдса на отклонение коэффициента асимметрии от нулевого значения, поскольку с увеличением числа Рейнольдса возрастает энергетическая доля мелкомасштабной структуры в общем балансе энергии турбулентных пульсаций. [c.126]

Действительно, уровень = 1 рассчитанный в первом приближении метода плавных возмущений (2.28), представляет собой сумму большого числа независимо рассеянных вперед компонент. Согласно центральной предельной теореме, его можно считать распределенным по гауссову закону. А так как в области [c.138]

Причина, по которой большинство флуктуирующих величин подчиняется нормальному закону, заключается в том, что флуктуирующая величина является суммой большого числа независимых случайных переменных. В таком случае справедлива центральная предельная теорема [c.14]

Так называемая локальная предельная теорема теории вероятностей, дающая приближенное выражение для плотности закона распределения которому подчиняется сумма большого числа взаимно независимых случайных величин, в наиболее удобном для наших целей виде может быть формулирована следующим образом [c.58]

Как мы уже указывали в конце предыдущей главы, мы должны будем применять локальную предельную теорему к оценке сопряженного закона распределения С/( ) (х) данной системы С, в предположении, что она состоит из весьма большого числа компонент gl, g2,..., g , со структурными функциями и>1(х), и>2(х), , п(х), ведущими функциями (/ (а), (/ 2 (а) (а), и сопряженными законами (х), (х),(ж) эти последние призваны, следовательно, играть роль законов ик х), фигурирующих в формулировке предельной теоремы поэтому мы прежде всего должны убедиться в том, что сопряженные законы реальных физических систем действительно удовлетворяют предпосылкам предельной теоремы. [c.59]

При отсутствии априорных сведений о шуме лучше всего предположить, что его амплитудное распределение является гауссовским. Это предположение оправдывается центральной предельной теоремой, согласно которой наложение большого числа случайных процессов дает случайный процесс, амплитудное распределение которого приближается к гауссовскому, или нормальному, распределению. Это означает, что его мгновенное значение, скажем n t), распределено по закону [c.235]

НУЛЬ - ЕДИНИЦА ЗАКОН - совокупность теорем вероятностей теории,утвер)кдающих, что для определенных условий вероятность события может быть равна либо 1, либо 0. Так, если (д) последовательность независимых испытаний и при любом п событие Л определяется исходами испытаний с номерами, большими п, то может быть либо н пем, либо единицей. Наибольшую известность получила гемма Бореля-Кантелли если - независимые события, то вероятног ь наступления бесконечного числа этих событий равна 1 при и равна О при Р А )=со. Н - Е 3 используется в предельных теоремах вероятностей, а также в математической статистике ( последовательный анализ, распознавание образов). [c.46]

Ранее мы выяснили, что конденсация атомов (или ионов и электронов) приводит к понижению энергии системы и является вследствие этого энергетически выгодным процессом. Поэтому в невозбужденном состоянии при предельно низких температурах все тела находятся в конденсированном состоянии, причем, за исключением гелия,—это твердые кристаллические тела. Гелий при нормальном давлении — жидкость, но при давлении в 30 кбар он также становится кристаллом. Существуют различные подходы к объяснению самого факта существования в твердом теле периодического расположения атомов (трансляционной симметрии). Так, согласно теореме Шенфлиса, всякая дискретная группа движений с конечной фундаментальной областью (т. е. элементарной ячейкой) имеет трехмерную подгруппу параллельных переносов, т. е. решетку [22]. Можно объяснять необходимость существования кристаллической решетки, а в конечном счете и вообще симметричного расположения атомов, исходя из третьего закона термодинамики. Согласно этому закону, при приближении к абсолютному нулю температуры энтропия системы должна стремиться к нулю. Но энтропия системы пропорциональна логарифму числа возможных комбинаций взаимного расположения составных частей системы. Очевидно, любое не строго правильное расположение атомов влечет за собой большое число равновозможных конфигураций атомов и приводит к относительно большой энтропии, и только строго закономерное расположение атомов может быть единственным. Поэтому равная нулю энтропия совместима только со строго повторяющимся взаимным расположением составных частей тела [1]. Иногда симметричность расположения атомов в кристалле объясняют исходя из однородности среды. [c.124]

При большом числе мод в силу центральной предельной теоремы лазерное излучение нормализуется, т. е. с достаточно хорошей точностью описывается нормальным законом распределения. В [2] показывается, что это утверждение справедливо вне зависимости от того, имеют ли все излученные моды одну частоту или их частоты оказываются различными. Так как всякий нормальный закон однозначно описывается двумя первыми статистическими моментами, то, следовательно, особо важную роль для характеристики генери-руемого лазером излучения приобретает корреляционная функция. [c.10]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Теоретическая схема, отображающая реальные условия возникновения рассеивания случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, лежит в основе центральной предельной теоремы теории вероятностей. Этой теоремой доказано, что случайная величина, являющаяся суммой достаточно большого числа независимых (или слабозависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону распределения, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. [c.73]

Один из вариантов состоит в следующем. Согласно центральное предельной теореме, если число суммируемых независимых со. ставляющих достаточно велико (практически при /и > 5) и есл1( среди этих составляющих нет существенно преобладающих над остальными, то результирующий закон распределения близок ц нормальному. Однако предположение о близости закона распределения к нормальному без соответствующего анализа достаточно рискованно даже и при большом числе суммируемых составляющих. Тем не менее при недостатке времени и невысоких требованиях к точности получаемого результата предположение о нормальности закона распределения результирующей погрещности вполне возможно. В этом случае доверительный интервал Д = ZpS , где — квантильный множитель, определяемый через функцию Лапласа — суммарное СКО или его оценка. [c.104]

Особое значение имеют закономерности, установленные при изучении спец. класса М. п.— инклюзивных процессов, когда из большого числа процессов множеств, образования ч-ц при столкновении адронов а и Ь отбираются события с рождением определённой ч-цы с независимо от того, какие др. ч-цы (X) и в каком кол-ве сопровождают её рождение. На важность изучения таких процессов указал в 1967 А. А. Логунов, установивший на основе квант, теории поля законы предельного возрастания их сечения с ростом энергии (аналогичные теореме Фруассара). [c.425]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...