Формулы для движения по эллипсу

Формулы эллиптического движения планет по законам Кеплера. Выведем теперь основные формулы движения планет, следующие из законов Кеплера. Примем плоскость орбиты за плоскость чертежа, и пусть PJ5 есть описываемый планетою эллипс, С—его центр, ЛР = 2а — его большая ось, S—тот фокус, в котором находится Солнце, F—второй фоку а. Возьмем точку С за начало координат, примем оси координат, указанные [c.107]

Выберем начальные условия так, чтобы 0( )=я/2. Тогда решение уравнений (2), (3) следует из формул задачи 1.3.4 о движении гармонического осциллятора после замены -> + iM /2m, ma - k + 2XE. Траектория представляет собой замкнутый эллипс. [c.86]

В 1845 г. Леверье заметил, что движение ближайшей к Солнцу планеты Меркурий (см. рис. 2) не может быть рассчитано по ньютоновской теории. Орбиты всех планет представляют собой эллипсы, ближайшие к Солнцу точки которых (перигелии) смещаются по кругу. Наибольшее смещение наблюдается у Меркурия (рис. 4). Оно составляет 532" в 100 лет. Расчеты по формулам Ньютона дают величину, на 43" меньшую. [c.55]

Ниже мы увидим, каким образом эта формула может быть распространена на движение по эллипсу и по гиперболе ). [c.42]

Материальной точке, описывающей эллипс около центра, сообщают небольшой импульс bv в направлении движения. Доказать, что последующее изменение длин главных полуосей определится посредством формул [c.243]

Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение (76) вокруг эллиптического цилиндра (в частности, пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса, причем плотность распределения вихрей в слое определяется формулой (77). [c.188]

Таким образом, звуковое давление во второй среде пропорционально потенциалу скорости фз. Компоненты скорости также пропорциональны потенциалу фг, но фазы компонент скорости не совпадают, а отличаются на 90°. Известно, что в случае сложения взаимно перпендикулярных колебательных движений с разностью фаз 90° возникает движение по эллипсу. Таким образом, в условиях полного внутреннего отражения составляющие скорости движения и г частиц сдвинуты по фазе на 90° и частицы, находящиеся во второй среде вблизи границы раздела, движутся по эллипсам. Плоскость этих эллипсов совпадает с плоскостью падения. Отношение диаметров эллипсов зависит от угла падения и определяется формулой [c.189]

Более сложные вычисления показывают и наблюдения подтверждают, что форма и вид орбиты связаны с начальной скоростью. Например, если скорость движения в точке А (рис. 218) меньше из формулы (79.1), то планета будет двигаться по эллипсу так, что Солнце будет находиться в дальнем фокусе эллиптической орбиты (орбита ЛЛа на рис. 218). Если же скорость больше круговой то планета также будет двигаться по эллипсу, но Солнце будет нахо- [c.275]

В действительности движение не будет таким, как представлено формулами (129.2) и (129.3), так как всегда имеет место затухание, и движение центра диска будет происходить по спирали, которая близка к эллипсу (рис. 363, б) или в частном случае к кругу. [c.446]

В главе П1 рассказывается о способах нахождения времени перелета космического аппарата по заданной дуге известной орбиты. Приведены формулы для времени перелета по дуге параболы или дуге эллипса малого эксцентриситета. Довольно подробно рассмотрено уравнение Кеплера, изложен метод его решения (для эллиптического и гиперболического движений). [c.9]

Смысл новых переменных не очень сложно выяснить только в результате анализа полученных формул. Однако для сокращения этой операции мы частично воспользуемся анализом задачи двух тел, подробно проведенным в 4.11. Мы знаем,что движение происходит по эллипсу неизменных формы, размеров и ориентации. Очевидно, что минимально допустимое значение [c.346]

Из этой формулы следует, что проекции скорости точки при движении её по эллипсу на его радиусы-векторы равны между собою по величине, но противоположны по знаку. Таким образом, если проекция скорости будет [c.243]

Пусть цилиндр внезапно приведен в движение в направлении оси а со скоростью и оо Распределение скоростей потенциального течения вдоль контура эллипса определяется формулой [c.388]

Так как окружность есть частный случай эллипса, то все формулы кругового движения мы можем получить из соответствующих формул эллиптического движения, полагая в последних эксцентриситет е равным нулю. Кроме того, так как направление вектора Лапласа (т. е. направление линии апсид орбиты) становится неопределенным, то понятия перицентра и апоцентра теряют смысл, а угловое расстояние перицентра от узла также становится неопределенным и его можно принять просто равным нулю. [c.501]

Так как мы предположили, что оскулирующая орбита все время (или в течение некоторого промежутка времени) остается эллипсом, то координаты х, г/, г, определяемые формулами не-возмущенного движения, являются периодическими функциями от средней аномалии, которую мы здесь обозначим через I и которая определяется, следовательно, формулой [c.690]

Далее, как следует из формул (7.47) и (7.48), при неограниченном возрастании скорости m эллипс движения центра масс стягивается к нулю, происходит центровка массы, а траектория движения центра вала становится окружностью радиуса эксцентриситета разбалансировки а. [c.361]

Как показано в этой главе, для движения по эллиптическим, параболическим и гиперболическим орбитам, как и для трех соответствующих типов прямолинейного движения, имеются специальные наборы формул. Более того, даже в случае движения по эллипсу при приближении эксцентриситета к нулю (т. е. когда орбита стремится к окружности) нарушаются многие соотношения, справедливые для эллиптической орбиты. Например, в разд. 4.12 при определении элементов орбиты по заданным положению и скорости нельзя воспользоваться уравнением [c.125]

В этих формулах R называется возмущающей функцией, соответствующей возмущающей планете Р . Если бы точки Я, не существовало, то, согласно первому закону Кеплера, орбита точки Р относительно Р была бы эллипсом, а так как тогда Я = 0, уравнения движения имели бы вид [c.20]

Формула (167) показывает, как связаны между собой скорости движения спутника по эллипсу и по кругу при движении спутника по эллиптической орбите его скорость оказывается то больше той скорости, которую он бы имел, если бы двигался по окружности с диаметром, равным большой оси эллипса, то меньше ее. Если разделить эллипс на две части его малой осью, то скорость спутника больше соответствующей круговой, когда он движется по той половине эллипса, которая ближе к Земле (часть эллипса, находящаяся внутри окружности, рис. 106), и меньше, когда он движется по другой половине (с наружной стороны окружности). Наконец, скорости спутника в моменты, когда он проходит через концы малой оси эллипса (точки пересечения эллипса с окружностью), равны круговой скорости. [c.223]

В заключение вопроса о движении тела в поле силы притяжения к Солнцу заметим, что изображающая точка движется по найденному эллипсу (27.14), а к эллипсу планеты можно перейти с учетом формул (15.1), (15.8) и рисунка 15.4. Солнце не остается неподвиж- [c.232]

Эта формула широко известна и применяется в атомной и ядерной физике под названием формулы Резерфорда. Формула подтверждается экспериментально, что говорит о правомерности применения классической механики к данному случаю рассеяния. Однако это отнюдь не свидетельствует о применимости классической механики к микромиру вообще. Можно, например, решить задачу о движении электрона в кулоновском поле притяжения к ядру. При этом придем к результатам, вполне аналогичным полученным для движения планет в поле гравитационного притяжения Солнца. Электрон будет двигаться по эллипсу, в параметры которого вместо G войдет константа k (см. 28). Но такие выводы, как будет показано далее, в части IV курса,—в резком противоречии с опытом. В микромире классическая механика имеет весьма ограниченное применение и заменяется квантовой механикой. [c.242]

Формулы (5) указывают на одно интересное обстоятельство. При произвольных значениях и точки круга описывают эллипсы с горизонтальными осями. Если же будет равно то каждая точка круга будет описывать окружность по часовой стрелке и при этом движении не будут возбуждаться ни при какой частоте о прогрессивные волны в направлении положительной бесконечности. Иными словами, при круговом поступательном движении будут образовываться волны, уходящие лишь в одну сторону от тела. [c.174]

Из формулы (8.2) следует, что траектория движения есть коническое сечение эллипс, если е< 1 парабола, если е= I гипербола, если е>. [c.59]

Траекторис точки М является эллипс, имеющий уравнение х -/а + у /Ь = 1, Ч.Э/1ЛИПС построен на рис. 224, а. Находим параметрические уравнения годографа ско> рости точки по формулам (69.1), т. е. дифференцируя уравнения движения точки [c.167]

О i < оо —5г/3 5г/3, —г/3 < jf 5 г/3, так как sin 4nf 1, соз4яг 1, т. е. весь эллипс является траекторией точки М. По полученным уравнениям движения найдем скорость и ускорение точки, используя формулы (1.6) — (1.8) и (1.14) — (1.16), Проекции вектора скорости на оси координат [c.25]

Предположим теперь, что пластинка имеет в перпендикулярном сечении форму весьма сжатого эллипса АВ и что на нее ударяет под углом у — ji поток незавихрен-ной жидкости, дающей по замкнутому контуру, охватывающему пластинку, циркуляцию скорости, равнз о 2,1с, причем циркуляция берется в направлении, обратном движению стрелки часов. Покажем, что в рассматриваемом случае давление потока развивает поддерживающую силу, направленную по Оу, и подсасывающую силу, направленную по Ох Будем пользоваться эллиптическими координатами, которим соответствует фокальное расстояние 2а, близкое к длине нашей пластинки. Связь между декартовыми координатами д , i/ и эллиптическими 8, Ь выражается известными формулами [c.702]

Грейданус предусматривает возможность распространения своей теории на случай движения наклонного колеса. Для этого формула (1.6) видоизменяется. Пусть угол между плоскостью колеса и плоскостью дороги равен (90 — %), где х — малая величина. Тогда центральная окружность колеса спроектируется на плоскость дороги в виде эллипса с полуосями г и г%, где г — радиус колеса. Радиус кривизны этой проекции в точке касания колеса [c.315]

Одним из таких путей оказалось использование классической задачи двух неподвижных центров, связь которой с задачей о движении в поле земного притяжения была установлена в конце 50-х годов одновременно в СССР и в США. Было показано, что потенциал Земли может быть приведен надлежащим выбором некоторых параметров к потенциалу двух неподвижных центров, имеющих комплексные массы и разделенных комплексным расстоянием. Так как задача двух неподвижных центров полностью проинтегрирована еще Эйлером, появилась возможность применить известные классические формулы к новой, более общей задаче, и тем самым построить стройную аналитическую теорию, дающую промежуточную орбиту искусственных спутников Земли, более близкую к действительной их орбите, чем ббычный кеплеров эллипс. [c.359]

Примечание 2. Метод Лагранжа, принципиальная сторона которого изложена в этом параграфе, рассматривает истинное или возмущенное движение как непрерывно изменяющееся невозмущенное кеплеровское движение. Но мы знаем, что невозмущенное кеплеровское движение может быть эллиптическим или гиперболическим (а в вырожденных случаях — круговым, параболическим и прямолинейным), в зависимости от величины начальной скорости. Поэтому оскулирующая орбита в каждый данный момент времени может быть и эллипсом и гиперболой, в зависимости от величины скорости, которую имеет в данный момент движущаяся точка. Непрерывно изменяясь с течением времени, оскулирующая орбита может некоторое время оставаться эллипсом, а потом превратиться в гиперболу и оставаться некоторое время гиперболой и т. д. Может случиться также (как это обычно бывает в классических астрономических задачах), что движение всегда остается эллиптическим. Тип оскулн-рующей орбиты в каждый момент времени немедленно распо знается по величине оскулирующего эксцентриситета орбиты, в соответствии с чем и применяются формулы эллиптического или гиперболического движения для нахождения координат и составляющих скорости. [c.578]

Следовательно, фй = 0(гГ + ф°. Эти формулы задают условно-периодическое движение на двумерном торе T = фl, фгто(12я с постоянными частотами Qi и 0,2. Области, изображенные на рис. 40, являются проекциями тора на плоскость R2 = a , у). Если отношение 0 /Й2 = Тг/т1 рационально, то траектория точки в эллипсе замкнута. В противном случае траектория заполняет указанные области всюду плотно. Наличие инвариантных торов с условно-периодическими движениями — характерное свойство интегрируемых гамильтоновых систем (см. по этому поводу [3, гл. 4]). [c.103]

В качестве примера рассмотрим случай частицы или планеты, описывающей эллипс вокруг центра сил. Обычно в качестве элементов эллиптического движения берут большую ось 2а, эксцентриситет е, долготу апсиды ы и т. д. Предположим, что движение частицы возмущается притяжением некоторой другой частицы. Цель метода Лаграижа решения задач планетной теории состоит в том, чтобы определить, как эти элементы изменяются под действием возмущающих сил. Для осуществления этой цели нужно, во-первых, возмущающую функцию К выразить через время и постоянные а, е, (о,. .. и, во-вторых, найти формулы, выражающие а, е, (о, . .. через дК/да, дК/де,. .. Эти формулы ие содержат I, не считая неявной зависимости через возмущающую функцию, и это замечательное свойство относится не только к данному частному выбору постоянных, но сохраняется при любом другом выборе констаит, определяющих эллиптическое движеиие. Заметим также, что эта особенность сохраняется, когда К является функцией не только от координат, но и от соответствующих им импульсов. [c.380]

Пусть //3=0 (предположение О < //2 1 не вносит ничего принципиально нового). Если выполнено обычное соглашение о центре тяжести системы (формула (2) в части 1), то рх и р2 описывают в плоскости ХОУ кеплеровы орбиты, симметричные относительно 0 в случае Ъ, < О и к ф О они будут эллипсами, что мы и предположим далее. При подходящем выборе единиц можно считать, что период обращения тел р1 и р2 по этим эллипсам равен 2тг, а гравитационная постоянная и суммарная масса тел Р1ИР2 — единице. Обозначим через г 1) половину расстояния П2 (т.е. расстояние от каждого из тел рх, р2 до точки 0). Тогда уравнение движения тела рз, положение которого определяется лишь одной координатой г , имеет вид [c.100]

Из-за наличия элементы орбиты в некоторый последующий момент будут равны а , е , <1, йх, о>1 и Ху. Величины (ау — а ) и Т-. д. являются возмущениями элементов на интервале (/1 — Q. Очевидно, этим возмущениям элементов соответствуют возмущения координат и компонент скорости. Если для получения положения х, у, г) и скорости (х,у,г)в момент использовать формулы задачи двух тел (гл. 4), а в качестве элементов взять оскулиру-ющие элементы при to, то полученные величины будут отличаться от соответствующих величин (х, у, г ) и х, у, г ), вычисленных по оскулирующим элементам при /1. Отклонения х — х ) и т. д. являются возмущениями координат и т. д. Использование решения задачи двух тел (конического сечения) в качестве средней орбиты дает хорошее приближение действительной орбиты тела на значительном интервале времени. Делались попытки использовать в качестве средней орбиты более точные приближения действительной орбиты. Примером может служить приближение, использованное Хиллом в построенной им теории движения Луны. В дальнейшем будет показано, что при рассмотрении движения искусственного спутника можно в первом приближении выбрать такую орбиту, которая будет описывать движение значительно точнее, чем простой кеплеровский эллипс. [c.180]

Первый закон. Каждая из планет движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Этот закон получен нами в процессе рещения кеплеровой задачи в виде формулы (27.14). Необходимо только отметить, что с учетом движения Солнца фокус эллипса планеты совпадает не с центром Солнца, а с центром масс системы [c.233]

Значения координат и скорости спутника в момент оскуляции являются начальными условиями воображаемога движения спутника по оскулирующему эллипсу. Поэтому оскулирующие элементы для каждого момента времени могут быть найдены из формул эллиптического движения по значениям координат и скорости спутника в его истинном движении. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...