Собственные частоты и главные координаты

СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ 359 [c.359]

Собственные частоты и главные координаты. В предыдущем параграфе мы видели, что решения вида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты со, а в общем случае при п различных значениях. Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию нескольких колебаний с частотами соь. , Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного колебания или собственными частотами системы. [c.359]

Остановимся на приближенном определении собственных частот и форм колебаний, имея в виду, что дальнейший анализ в главных координатах не имеет специфических особенностей, требующих отдельного рассмотрения. При решении этой задачи могут быть использованы различные методы [65]. Здесь мы ограничимся лишь иллюстрацией методики расчета, опирающейся на рассмотренную в данной главе модификацию метода условного осциллятора [32]. [c.320]

Структура выражений (1. 31) аналогична классической формуле амплитуды вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы. Расчет по ним однообразен как для резонансных состояний (определяется равенством Лд = О и переходом фазы бд через углы л/2 Зя/2. . . ), так и для нерезонансных зон и не требует предварительного определения спектра собственных частот и форм как в методе суммирования движения по главным координатам В то же время знание спектра собственных частот всегда бывает полезным для оценки распределения опасных резонансных зон и качественного исследования амплитудных кривых. [c.40]

Ротор двоякой жесткости с одним диском. В изображенной на рис. 3, а системе вал ротора имеет различные жесткости на изгиб = С и j = С в двух главных направлениях т) и вращающейся системы координат, т. е. является валом двоякой жесткости. В дальнейшем используются также понятия о средней жесткости С, , коэффициенте анизотропии ротора у, парциальных собственных частотах в главных направлениях и Q , а также понятие о средней собственной частоте Q 2. которые представлены соотношениями [c.148]

Итак, собственные линейные колебания системы с двумя степенями свободы состоят из суммы двух главных гармонических колебаний с частотами и к , которые содержатся в каждой обобщенной координате 91 и Заглавные координаты [c.438]

Итак, каждая из главных координат системы изменяется по гармоническому закону, имея определенную частоту, амплитуду и начальную фазу, так же как и в случае системы с одной степенью свободы. Этот результат остается справедливым и для собственных колебаний системы с любым конечным числом степеней свободы. Некоторые частоты могут оказаться одинаковыми, но это не приводит к резонансным явлениям. [c.464]

Собственные частоты кх и колебаний системы в главных координатах определяют из уравнений (21.9) по следующим формулам [c.99]

Вынужденные колебания и диссипативные силы. Свободные колебания возникают в том случае, когда систему выводят из положения равновесия и затем предоставляют самой себе. Однако часто наблюдаются такие колебания, при которых внешние силы действуют на систему не только в момент = О, но и в дальнейшем. Частота такого вынужденного колебания определяется тогда не собственными частотами системы, а частотой возмущающей силы. Что же касается вычисления амплитуд таких колебаний, то эта задача сильно упрощается, если пользоваться главными координатами, полученными при исследовании свободных колебаний. [c.368]

Координаты 1, I2, In называются главными или нормальными координатами колебательной системы колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата изменяется по гармоническому закону с периодом 2п рг- Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний. [c.142]

Определив собственные частоты п собственные формы этой системы и перейдя к главным координатам, можио найти решение системы (4.92) рассмотренным в п. 4.1 методом. Затем в полученное решение [c.90]

Выяснение роли геометрических характеристик изделия, главным образом площади обработки, позволяет обосновать выделение внутри электроимпульсной обработки трех диапазонов. В соответствии с частотной характеристикой процесса, определяющей согласование параметров импульсов (частота, скважность) с теплофизическими, технологическими и геометрическими характеристиками изделия, можно утверждать, что, строго говоря, не только для каждого материала, но и для каждой величины площади обработки существуют свои оптимальные частоты и скважность. Фактор площади является важнейшим не только потому, что он, собственно, позволяет сделать первый отбор изделия по его размерам, но и потому, что он, в конечном счете, определяет производительность обработки при копировании. Действительно, при электроимпульсной обработке копированием форма электрода в заготовке отображается при простом поступательном движении инструмента. Поэтому производительность процесса определяется скоростью углубления электрода, обратно пропорциональной (при заданном электрическом режиме) площади обработки. Следовательно, при источнике тока достаточной мощности продолжительность изготовления фасонного изделия определяется главным образом глубиной фигуры, а от ее размеров по двум другим координатам зависит в гораздо меньшей степени. [c.69]

Условные обозначения А — площадь в мм Ат. — площадь замкнутой фигуры, ограниченной средней линией в мм Ь — ширина в мм с — жесткость в кгс/мкм й — деформация (перемещение) в мм О — коэффициент демпфирования (безразмерный) Е — модуль упругости в кгс/мм /г(о) — безразмерное отклонение в точке а, относящееся к л-й собственной частоте [г(х) — безразмерное отклонение в точке I, относящееся к г-й собственной частоте С — модуль сдвига в кгс/мм / — момент инерции в мм 1т — геометрическая жесткость сечения при кручении в мм Ь— длина в мм М — момент в кгс мм т — масса в кг с /мм Р — сила в кгс Ра — сила в точке а в кгс Р — поперечная сила в кгс 5 — статический момент инерции в мм 5 — длина (путь) в мм 5 =/(1) — оператор Лапласа х — координата (отрезок) в мм X — скорость в мм/с х — ускорение в мм/с у—координата (отрезок) в мм г — координата (отрезок) в мм б — толщина стенки в мм в — маховый момент инерции в кгс мм с А — коэффициент касательных напряжений К — собственное значение (число) <р — угол между главной осью инерции и нейтральной осью в град Ф — угол поворота при кручении в град или радиан (О — собственная частота в с- [А] — произвольная матрица [Д] — матрица демпфирования [ ] — единичная матрица [ ] — матрица податливости — матрица податливости для системы с несколькими защемлениями (заделками) [/ ея] — матрица податливости для системы с несколькими местами заделки и дополнительными связями [/ и] — матрица для системы со связями [/С] — матрица жесткости [Л1] — матрица общей массы [т]— матрица массы элемента Т] — матрица преобразования [у] — матрица приведения нагрузок (I — вектор перемещения — вектор внутренних сил О — нуль-вектор р — вектор нагрузки [c.57]

Интенсивность и продолжительность колебательных движений звеньев робота в значительной степени зависят от принятых законов движения. Если для изучаемой конструкции робота уже определены частоты собственных колебаний, то дальнейшее решение удобно осуществлять в главных координатах. Движение масс системы с п степенями свободы в данном случае можно представить уравнением [c.279]

Колеблющаяся система станка (рис. 2) состоит из чугунной платформы 1, которая при помощи трех упругих элементов 10 соединена с неподвижной станиной станка 8. Упругие элементы расположены симметрично относительно вертикальной главной центральной оси инерции системы, что в известной мере ослабляет связь между движениями по различным координатам и этим облегчает измерение неуравновешенности. Частота собственных колебаний плиты 4 гц, что значительно ниже угловой скорости вращения балансируемого изделия. Поэтому движение плиты под действием неуравновешенности шины может рассматриваться как свободное движение в пространстве с шестью степенями свободы. [c.79]

Что представляет собой система с двумя степенями свободы С помощью каких величин описывается их движение 2. Какое положение называется устойчивым положением равновесия и каковы его условия 3. Какие колебания называются собственными колебаниями системы 4. Каковы дифференциальные уравнения колебаний системы с одной и двумя степенями свободы 5. Что представляют собой главные колебания системы 6. Как определяются частоты главных колебаний 7. Как определяются нормальные координаты [c.160]

Для модели 11ч других многомассных моделей с постоянными параметрами при достаточно сложном виде кинематических возмущений и внешних сил целесообразно осуществить переход к нормальным (главным) координатам (см. справочник т. 1). На этапе перехода к нормальным координатам диссипативные силы из-за их малого влияния на собственные частоты и формы колебаний могут быть опущены и учтены позже соответствующими членами дифференциальных уравнений. [c.85]

Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты й, и — собственными частотами системы. При этои, колебание с частотой ft, (всегда меньшей) называют первым главным колебатаем, а с частотой /г — вторым главным колебанием. Числа /ij и rjj, определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. q-ilqi) в каждом из этих колебаний, называют коаф4шциентами формы. [c.395]

Следовательно, бд подчиняется дифференциальному уравнению, описываюшему колебательный процесс, происходящий с одной из собственных частот Шд, и является координатой для s-й формы главных колебаний. [c.57]

Случай плотного спектра собственных частот. Если спектр собственных частот достаточно тотен, то области неустойчивости, соответствующие различным обобщенным координатам, могут накладываться друг на друга, заполняя обширные области в пространстве параметров. Примером может служить задача о параметрических колебаниях тонкостенной сферической оболочки под действием пульсирующего давления t/o + qi os Ш (см. табл. 1). Спектр собственных частот, рассчитанный согласно теории пологих оболочек, начинается с частоты и тем плотнее, чем меньше относительная толщина оболочки h/R. Допустим, что нас интересует область неустойчивости, получившаяся в результате наложения главных областей для каждой из обобщенных координат. По приближенной формуле (28) из гл. VII нижняя граница главной области неустойчивости для обобш,енной координаты с собственной частотой й (к) и критическим параметром q. (X) определяется из выражения [c.255]

Как следует из (2-9), для оценки эффективности применяемых амортизаторов при заданных демпфировании и частоте возбуждення необходимо также знать собственную частоту подрессоренной системы в направлении г-й главной координаты, которая обычно подбирается расчетным путем из условия соблюдения эффективности упругой системы. [c.26]

Напомним теперь, что в электродинамике мы выяснили, что взаимодействие заряженного нерелятивистского осциллятора с электромагнитным полем определяется в главном приближении его дипольным моментом, который, в свою очередь, пропорционален координате осциллятора q t). Отсюда следует, что заряженный осциллятор может поглощать и испускать свет только одной частоты — его собственной частоты оз. При этом поглощению света соответствует переход осциллятора из состояния п) в состояние n-f 1), энергия осциллятора возрастает на fi o, а испусканию — переход из состояния п) в со-стояние п—I), энергия осциллятора уменьшается на йо>. Это — как раз те соотношения, которые приходилось постулировать на первоначальных этапах теории квант, о чем шла речь в I. [c.475]

МЫ. Система с п степенями свободы имеет п, в общем случае раз- личных, собственных частот. Из выражений (3.54) следует, что колебания системы, определяемые изменениями обобщенных координат q , представляют сложное движение, которое может и не быть периодическим. Но оно всегда составлено линейно из гармонических колебаний. Поэтому выражения частота или nepuoi колебаний для системы, у которой число степеней свободы боль ше единицы, имеют определенный смысл только по отношению к отдельным главным колебаниям системы. , [c.122]

Уравнения (12.36) содержат 6 постоянных (Лц, Л12, Л13, , 2, < з), которые определяются из начальных условий. При произвольно заданных начальных условиях обобщенные координаты изменяются по полигармоническому закону. Специальным выбором начальных условий можно достичь того, что все обобщенные координаты будут изменяться по гармоническому закону с одной и той же частотой ki (или Аг, или Аз), а фазы колебаний либо совпадают, либо отличаются на я главные колебания). ОтЕЮшения амплитуд при главных колебаниях образуют собственную форму, соответствующую частоте колебаний. [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...