Движение материальной точки в поле центральной силы

При движении материальной точки в поле центральной силы всегда действуют два закона сохранения. [c.82]

Мы получили дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле центральной силы в полярных координатах. В отличие от исходной системы уравнений (32) это уравнение (37) является уравнением первого порядка. Более того, оно легко сводится к простой квадратуре, так как переменные в нем разделяются [c.85]

Уравнение движения материальной точки в поле центральных сил допускает интеграл площадей относительно центра О поля (см. теорему 3.7.3) [c.254]

ПО. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ [c.669]

Несмотря на то, что при сделанных предположениях относительно характера функции / (г) интегрирование дифференциального уравнения движения материальной точки в поле центральной силы приводит к простым квадратурам, выразить полярные координаты точки в известных функциях от времени удается только в весьма ограниченном числе случаев. Поэтому подробное изучение возможных форм траекторий движущейся точки может быть выполнено только на основании качественного исследования уравнений движения. [c.107]

Движение материальной точки в поле центральной силы. Вводя сферические координаты / , (), X, имеем выражения (7.18.6) кинетической и потенциальной энергии. Из них получаем [c.508]

Будем, например, рассматривать движение материальной точки в поле центральной силы с помощью цилиндрических координат г, X. Кинетическая и потенциальная энергии равны [c.527]

Движение материальной точки в поле центральной силы. Потенциальная энергия является функцией только расстояния г от центра сил и поэтому [c.730]

Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле оказывается для механики фундаментальной. То, что она решается в конце курса, объясняется необходимостью опираться при ее рассмотрении на положения и методы, развитые в курсе ранее. Но к анализу отдельных сторон движения под действием центральных сйл мы обращались уже не раз. Так, было установлено, что при движении точки в поле центральной силы сохраняется момент импульса, а траекторией движения служит плоская кривая (см. 10). Рассматривался пример (12.7) получения вторых интегралов движения, задача о движении системы двух взаимодействующих точек сведена к движению одной точки. В этой главе курса изучим движение материальной точки в поле центральной силы подробнее. [c.228]

Докажем теперь теорему о вириале для сил, действующих по закону обратных квадратов. Сначала рассмотрим движение одной материальной точки в поле центральных сил, описываемых следующим уравнением для потенциальной энергии [c.299]

Уравнения (4), (6), (7) представляют полную систему интегралов исходной системы дифференциальных уравнений движения, содержащую 2п произвольных постоянных. Наличие п — пг циклических координат позволило понизить порядок интегрируемой системы до 2т и свести задачу к интегрированию этой системы (5) и к выполнению п — т квадратур (7). Надо к этому добавить, что от выбора обобщенных координат зависит и число циклических координат например, при задании положения материальной точки в поле центральной силы декартовыми координатами л , у, г циклические координаты отсутствуют, тогда как при применении сферических координат одна из них (долгота) будет циклической (пример 1° п. 7.18). [c.349]

Рассмотрим сначала для большей простоты п наглядности задачу о движении одной материальной точки в поле центральной силы и подверженной действию произвольной консервативной возмущающей силы, или, во всяком случае, силы, допускающей силовую функцию. [c.687]

Найти закон движения материальной точки по параболической орбите в поле центральной силы ньютонианского притяжения. [c.301]

Вторая формула Бине. При движении материальной точки в центральном поле сил теорема об изменении кинетической энергии (15. 21) запишется в силу (24. 1) в вид > [c.427]

Такой случай характерен для классической задачи Кеплера о движении материальной точки в ньютоновском поле центральных сил F = — jlR , где / — постоянная / — расстояние от точки до центра [2]. Уравнение скелетной кривой периодических движений в этой задаче имеет вид [c.149]

В первом приближении невозмущенное движение центра масс КА, стабилизированного вращением, в поле центральных сил может рассматриваться как движение материальной точки с массой т. При этом учитывается лишь сила тяготения, которая считается направленной точно к центру Земли (притягивающего тела). [c.51]

Пример 100. Рассмотрим движение материальной точки в центральном иловом поле сил с силовой функцией 11=11 [г). [c.351]

При исследовании движения материальной точки в пространстве следует обратить внимание на определение сил, дей-ствующ,их на материальную точку. Без этого невозможно определить траекторию и характер движения точки. Особенно большое значение имеют задача о движении тяжелой материальной точки в пустоте и задача о движении материальной точки в центральном силовом поле. При исследовании движения большое значение приобретают общие теоремы динамики материальной точки. При решении задач необходимо использовать эти теоремы и их первые интегралы. Рассмотрим несколько конкретных примеров. [c.54]

Рассмотрим движение заряженной материальной точки в поле притяжения центральной силы при условии, что имеется слабое однородное магнитное поле с индукцией В (например, электрон движется в поле кулоновского притяжения к ядру, а атом находится в магнитном поле). Функцию Гамильтона в цилиндрических координатах для этого случая можно записать, пользуясь примером 22.3 [c.199]

Как уже отмечено, к понятию центрально-симметричного поля в механике приходят в связи с рассмотрением взаимодействия двух материальных точек. В 15 показано, что сначала в этом случае нужно рассмотреть движение одной (изображающей) точки с приведенной массой под действием силы взаимодействия между точками в системе отсчета с неподвижным центром масс, т. е. движение материальной точки в центрально-симметричном поле, а затем перейти к движению каждой точки. [c.228]

Каждая из этих функций 5 (д ) удовлетворяет тогда в этих переменных дифференциальному уравнению второго порядка. Наряду с постоянной энергией в решение входят в качестве параметров ещё 1—1 новых постоянных а ,, а . Всё, что в дальнейшем говорится о системе с одной степенью свободы, справедливо без каких-либо изменений также и для движения каждой отделённой координаты и для соответствующей собственной функции Пу, (д ) системы с разделяющимися переменными. В частности, это верно для радиального движения материальной точки под влиянием центрального поля сил. [c.154]

ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ. [c.55]

Пример. Рассмотрим задачу Ньютона о движении материальной точки массой т в центральном поле силы притяжения со стороны неподвижного притягивающего тела массой М. Притягивающее тело считаем однородным шаром, и сила притяжения направлена к центру О этого шара. [c.403]

К задаче о движении тел в центральном поле тяготения относится, например, изучение движения планет солнечной системы. В этом случае Солнце и планеты можно принимать за материальные точки. Рассматривая движение какой-либо планеты, будем считать, что она движется только под действием сил тяготения к Солнцу, пренебрегая при этом влиянием других планет. Это допустимо потому, что масса Солнца почти в 750 раз превышает массу всех вместе взятых планет. Кроме того, можно также пренебречь и силой, с которой рассматриваемая планета притягивает к себе Солнце, потому что вызываемое ею ускорение Солнца мало. При этих упрощениях задача, по существу, сводится к изучению движения материальной точки (планеты) в поле тяготения, созданном другой неподвижной материальной точкой (Солнцем), т. е. к изучению движения тела, принимаемого за материальную точку в центральном силовом поле. [c.115]

Во-первых, траектория движения точки — плоская кривая. Центр, через который всегда проходит линия действия силы, лежит в плоскости траектории. Удобно описывать движение такой материальной точки в полярной системе координат с полюсом в центре силового поля. Полярную ось направим пока произвольно. Тогда положение точки в плоскости ее движения будет определяться полярными координатами г и ф. Для центральной, силы имеем выражение [c.102]

Как развитие аналогии, указанной в предыдущем параграфе, рассмотрим движение материальных точек, взаимодействующих по закону ньютоновского притяжения (точнее, его аналогу) на пространствах постоянной кривизны, в качестве которых мы выберем компактные двумерную и трехмерную сферы и "З (кстати, А. Эйнштейн предлагал использовать как статическую модель реального мира). Хотя почти все изложенные результаты справедливы и для (некомпактного) пространства Лобачевского, мы не приводим их здесь подробно, ориентируясь лишь на приложения к динамике шарового волчка. В силу отсутствия группы преобразований Галилея такая небесная механика обладает некоторыми отличиями от плоской. Например, задача двух тел здесь не тождественна задаче о центральном поле. Более того, первая задача оказывается неинтегрируемой в отличие от второй. Тем не менее часть интегрируемых задач небесной механики плоского пространства (задача Кеплера, двух центров) обобщается и для искривленного пространства, а значит порождает интегрируемые шаровые волчки. [c.336]

В 4 мы рассматривали канонические уравнения и канонические переменные для простейшей задачи о движении одной материальной точки в центральном поле и под действием возмущающей силы. Здесь мы распространим изложенные ранее результаты на задачу о движении системы материальных точек, предполагая, что все действующие силы, и основные и возмущающие, исключительно силы взаимных притяжений, определяемые законом Ньютона. [c.704]

Движение в центральном поле сил тяготения. Небесные тела (звезды, планеты и их спутники) в хорошем приближении можно считать шарами, в которых масса распределена сферически симметрично, т.е. плотность р зависит только от расстояния г до центра шара р= р(г). Простейшей задачей астрономии является нахождение траекторий тела (материальной точки), движущегося в поле тяготения шарообразного небесного тела. Такая проблема возникает при изучении движения планеты в поле тяжести Солнца, спутника планеты в поле тяжести этой планеты и т.п., если пренебречь всеми прочими силами, в частности влиянием других планет. Можно показать, что шар действует на материальную точку с такой же силой, с какой на нее действовала бы материальная точка, обладающая массой шара и расположенная в его центре. Следовательно, в инерциальной СО с началом координат в центре шара массы М сила тяготения, действующая на материальную точку массы т, согласно (10.2) запишется в виде [c.33]

В задаче Кеплера рассматривается вопрос о движении частицы в центральном поле сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчиняются силы гравитационного притяжения между материальными точками (или телами, обладающими сферической симметрией), а также кулонов-ские силы между точечными зарядами. [c.239]

Движение материальной точки в поле центральной силы (кеплерово движение). Уравнение движения в векторной записи имеет вид [c.355]

Кеплерово движение — движение материальной точки в поле центральной силы ньютонова притяжения [c.595]

Следует заметить, что эту задачу целесообразно формулировать, не оговаривая, что центробежная сила притягивающая, ибо, например, явление движения электрона в поле ионизированного атома моделируется движением материальной точки под действием центральной отталкиваюнгей силы. [c.145]

Два одинаковых шарика массы т могут двигаться без трения по сторонам прямого угла АхОу расположенного в горизонтальной плоскости. Шарики имеют заряды д и —д. Показать, что такая система моделирует плоское движение материальной точки массы т в поле центральной силы Г = —а/г (а = д ). [c.69]

Пример. Рассмотрим задачу Ньютона о движении материальной точки массой т. в центральном поле сил ньютоновского прг.тяжсния со стороны неподвижного притягивающего тела массой й1. Пусть притягивающее тело является однородным шаром, т. е. все силы поля направлены к цен1ру О притягивающего тела. [c.374]

Рассмотрим движение абсолютно твердого спутника в центральном поле тяготения сферической Земли. По теореме об изменении количества движения центр масс спутника в центральном ньютони-анском поле сил будет двигаться как материальная точка с массой, равной массе т спутника ( 3.11). Предположим, что траектория центра масс есть окружность радиуса й с центром в центре Земли. [c.504]

Если тело, движущееся в ньютоновском центральном поле сил, не является материальной точкой, а является твердым телом конечного размера, то его поступательное и вращательное движение, строго говоря, взаимосвязаны центр масс тела движется не по кеплеровой траектории. [c.145]

В данной работе рассматривается задача стабилизации положения равновесия орбитальной тросовой системы (ОТС) при помощи одностепенных гироскопических стабилизаторов — статически и динамически уравновешенных симметричных маховиков. ОТС состоит из тела-носителя с маховиками и присоединенного к нему на длинном весомом тросе зонда-спутника. Зонд-спутник считается материальной точкой, трос — гибкой нитью, не испытывающей сопротивления на изгиб и кручение. Предполагается, что центр масс тела-носителя с маховиками (первый случай) и орбитальной тросовой системы (второй случай) совершает движение по известной кеплеровской круговой орбите в ньютоновском центральном поле сил. Найдены частные решения нелинейных дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными, соответствующие положениям равновесия ОТС в орбитальной системе координат. Главные центральные оси ОТС коллинеарны осям орбитальной системы координат. Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону притягивающего центра (первый и второй случаи). Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону противоположную от притягивающего центра (первый и второй случаи). [c.403]

Соотношение (2.13) это интеграл -живых сил или интеграл ЭНЕРГИИ. Вдоль орбиты сумме кинетической и потенциальной энергии ори движении тела в центральном поле остается величиной постоянной. Действительно, считая КА материальной точкой с единичной массой, сщ>аведливо следующее первый член выражения (2.13) — кинетическая энергия, а второй член — потенциальная. Как известно, потенциальная энергия равна произведению веса тела на высоту. Для единичной массы, удаленной от начала координат на величину г, потенциальная энергия равна gr. Так как ускорение силы притяжения g = ц/г (для сферической модели Земли), то после подстановки значения g получаем ц/г. [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...