Центр масс множества точек

Центр масс множества точек [c.42]

Пример 1.7.1. Предположим, что к точкам приложены параллельные скользящие векторы силы тяжести и,- = т д]и, где д — ускорение свободного падения, к — единичный вектор вертикали. Тогда центр масс дает точку приложения результирующего вектора таких сил. Вследствие того, что центр масс не зависит от ориентации вектора к, существует простой способ экспериментального определения расположения центра масс в твердом теле, рассматриваемом как множество точечных масс. Подвесим такое тело на нити, закрепив ее в какой-либо точке тела. После того как тело перестанет качаться, отметим в нем прямую, служащую продолжением нити. Центр сил тяжести (см. 1.6) совпадает с центром масс, и поэтому центр масс обязан принадлежать полученной прямой. Закрепим теперь нить в другой точке тела и повторим операцию. Тогда центр масс будет точкой пересечения этих прямых.О [c.42]

Пусть в задано множество точечных масс Q. Значение введенной в 1.8 билинейной формы Т(х,у), взятое для одной и той же пары векторов х, у, зависит от того, какая точка пространства принята за начало векторов г,-. Выясним эту зависимость. Центр масс множества Q обозначим С. Радиусы-векторы точек из Q, имеющие начало в С, обозначим г(-, — 1,..., п, так что [c.50]

Пусть г — радиус-вектор, имеющий начало в точке О и конец в центре масс множества Q точечных масс. А, В, С — главные центральные моменты инерции множества Q. Найти момент инерции множества Q относительно оси с направляющим вектором е, проходящей через точку О. [c.74]

Поиск центра масс облегчается, если множество Q точечных масс обладает симметрией. Пусть Q, например, симметрично относительно плоскости П так, что симметричным точкам соответствуют одинаковые массы. Разбив Q на два подмножества, симметричных относительно плоскости П, найдем их центры масс. Центры масс подмножеств расположатся симметрично относительно плоскости П. Значит, центр масс всей системы принадлежит плоскости П. В том случае, когда множество Q обладает осевой симметрией, можно, группируя попарно симметричные точки, убедиться в том, что центр масс должен принадлежать оси симметрии. Подчеркнем, что сказанное справедливо лишь тогда, когда симметрично не только геометрическое расположение точек, но и распределение масс. [c.44]

В предшествующем параграфе было изучено понятие центра масс, дающее представление в целом о заданном множестве точечных масс. Здесь рассмотрим другие подобные характеристики. Пусть точки, принадлежащие некоторому множеству Q С Е , заданы радиусами-векторами г,, г = 1,...,п, с началом в полюсе О. Каждой точке припишем массу т,- > 0. В пространстве соответствующем полюсу О, образуем положительно определенную билинейную симметрическую форму, которая любой паре векторов х, у 6 ставит в соответствие скаляр [c.45]

Форма Тм(х,у) и, следовательно, тензор 3 не зависят от расположения точек множества Q относительно центра масс. Они характеризуют расположение множества Q в целом относительно точки О. Формулы для расчета достаточно просты [c.52]

В частности, есть произведение суммарной массы на квадрат расстояния от центра масс до оси с направлением вр, проходящей через точку О. Особенности внутренней структуры множества Q отражаются формой Тс(х,у) и связанным с ней тензором Теорема 1.10.1 дает возможность, определив однажды этот тензор, эффективно пересчитать его для любой интересующей нас точки пространства. [c.52]

Решение. Поместим в каждую из заданных точек массу, равную единице. Обозначим С центр масс образовавшегося множества точечных [c.53]

Нахождение главных центральных осей инерции упрощается, если множество точечных масс обладает той или иной симметрией. Например, если точки с одинаковой массой расположены симметрично относительно некоторой плоскости, то центр масс должен принадлежать этой плоскости. Ей же принадлежат две главные оси инерции, а третья перпендикулярна плоскости симметрии. Если множество точечных масс об.падает осью симметрии, то центр масс принадлежит этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие перпендикулярны к ней. Если симметрия круговая, то любое [c.56]

Теорема 1.13.3. Момент инерции относительно плоскости Те с нормалью е равен моменту инерции относительно плоскости с той мсе нормалью, проходящей через центр масс рассматриваемого множества точечных масс, сложенному с произведением суммарной массы на квадрат расстояния между плоскостями [c.63]

Центр масс рассматриваемого множества точек дается формулой [c.64]

Необходимость и достаточность этого условия могут быть также непосредственно усмотрены из сопоставления уравнений (31.17) и (31.27). Найденное условие, например, выполняется, если скорость полюса А коллинеарна со скоростью центра масс. Как частный случай отметим, что искомым полюсом может служить сам центр масс. Из бесчисленного множества других подвижных полюсов, для которых закон изменения кинетического момента пишется так же, как для неподвижного полюса, укажем следующий соединим центр масс С с произвольной неподвижной точкой 5 и на прямой GS возьмём точку Л так, чтобы всегда было [c.311]

Легко только понизить порядок системы (7.1) на шесть единиц при помощи интегралов движения центра масс. Действительно, левые части интегралов (7.8" ) линейны, как уже отмечалось, относительно координат и составляющих скоростей точек системы, а это обстоятельство и позволяет без всякого труда выполнить преобразования, связанные с использованием этих интегралов. При этом очевидно, что понижение порядка можно произвести бесчисленным множеством способов, из которых естественно выбрать наиболее простые и удобные. [c.342]

В общем случае, когда центр масс не совпадает с точкой подвеса, задача полного описания бифуркационных множеств и интегральных многообразий существенно усложняется. Она подробно изучена в работах Я. В. Татаринова [120]. Мы приведем в качестве примера серию рисунков из работы [120], на которой показан механизм перестройки бифуркационной диаграммы, когда центр масс из общего положения в плоскости Хз= = 0 переходит на ось л 1 = л 2=0. Числа на этих рисунках указывают многозначный род областей возможности движения на сфере Пуассона. Будем говорить, что связная область имеет род /, если Вьс диффеоморфна сфере 5, из которой удалены [c.120]

Более интересным приложением является следующее рассуждение Литлвуда (Л. Ь1111>Уоо(1). Рассмотрим задачу п тел с покоящимся центром масс. Движение точек описывается гамильтоновой системой функция Гамильтона Н регулярна в области, где их взаимные расстояния Гы>0. Для произвольного с>1 рассмотрим открытое множество 4(с) точек фазового пространства, где выполнены неравенства [c.90]

Следствие 1.7.1. Центр масс некоторого множества точечных масс можно определить путем замены отде.пьных непересека-югцихся его подмножеств точками с массами, равными су.имарным массам подмножеств, расположенньши в центрах масс этих подмножеств. [c.43]

Допущение о конечной совокупности свойств материальных объектов позволяет ввести понятие материальной точки (частицы) т, как материального объекта пренебрежимо малых размеров, но обладающего конечной совокупностью свойств Р (например, конечной массой). Материальная частица т в фиксированный момент времени t занимает лространственное положете п (пространственную точку). В произвольный момент времени каждой материальной точке т (пространственной точке и) приписьшается окрестность. Под окрестностью точки понимают совокупность (множество) всех внутренних точек какого-либо щара с центром в этой точке. Достаточно малая окрестность -это шар с достаточно малым радиусом. Так как все такие точки вместе с центром лежат внутри некоторого щара, то они образуют ограниченное множество. [c.13]

Рассмотрим тот же самый процесс на более физическом языке. Расширяющаяся по закону р = ш сферическая оболочка из двух коррелированных частиц встречает на своем пути множество частиц и создает новые рассеянные волны. Если некоторая частица с номером "3", сталкивающаяся с расширяющей оболочкой, имеет вид волнового пакета ф гз), то соответствующее рассеяние можно найти следующим образом. Представим волновую функцию расширяющейся оболочки в виде суперпозиции волнового пакета, такого же, как у встречного пакета, и оставшуюся за вычетом пакета часть. Вьщеленный нами волновой пакет повторит с встречной частицей тот же самый сценарий образования новой рассеянной сферической оболочки из двух скоррелированных частиц. А оставшаяся часть старой сферической оболочки за время взаимодействия А/ Л/щ не успеет деформироваться, так что совместная волновая функция />(п, гг, гз) окажется равной нулю в точке рассеяния Г1 = -Г2 = гз (все г, отсчитываются от центра масс первой пары частиц). Площадь оболочки Апр возрастает со временем как поэтому число рассеяний и стохастизация волновой функции пары частиц г1,гг возрастает очень резко по мере приближения г к т. Соответственно и переход - Йт должен происходить доста- [c.234]

Сравнение (18)1 с (13) показывает, что в инерциальной системе отсчета движение центра масс тела совпадает с движением точки, масса которой такая же, как у тела Я, располоо/сенной в центре масс тела М и подвергающейся воздействию результирующей силы, приложенной к Таким образом, если мы не хотим знать о движении какого-то тела ничего, кроме движения его центра масс, и если мы можем определить приложенную к этому телу силу, нам нет необходимости вникать в механику глубже, чем до уровня аналитической динамики. Этот факт в значительной мере объясняет прагматические успехи аналитической динамики. В частности, ее использование совсем не означает, что тело Я в действительности занимает не более чем дискретное множество точек пространства, оио означает лишь то, что наша любознательность вполне удовлетворяется определением движений такого множества точек. Стандартным примером здесь является Солнце с его планетами н кометами. Этот пример типичен в том отношении, что достаточность или недостаточность аналитической динамики для описания движений зависит от того, насколько глубоко мы намереваемся проводить исследование. Для некоторых задач или в некоторых тонких случаях бывает необходимо принять во внимание спии и даже форму тел, и тогда аналитическая динамика в том виде, как оиа представлена соотношениями (17), (1.5-23) й (1.8-23), оказывается уже недостаточной. [c.72]

Бифуркационные множества и интегральные многооб разня в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Пусть л 1 — главные моменты инерции твердого тела, хи Хг, хз — координаты центра масс относительно осей инерции. Если ш — угловая скорость тела, е — единичный вертикальный вектор (заданные в подвижном пространстве), то Н=<А(й, (л>12+е(.х, е> и /=<Лй), е>, где А = =(Над(Ль Лг, Лз). Наша задача — описать бифуркационную диаграмму 2 в плоскости / = Л, с и топологическое строение приведенных интегральных многообразий 7 , . Полезно сначала рассмотреть вырожденный частный случай, когда е=0 (задача Эйлера). Положения относительных равновесий — суть критические точки приведенного потенциала 7/с=с / /2<Ле, е> на единичной сфере <е, е> = 1. Если тело несимметрично (Л1>Л2>Лз), то таких точек ровно шесть ( 1,0,0), (О, 1, [c.119]

Анализ и распознавание изображений осуществляется с помощью телевизионно-вычислительной системы, важной частью которой является телевизионный датчик, преобразующий световое изображение наблюдаемого объекта в видеосигнал, содержащий информацию, необходимую для определения параметров объекта с заданной точностью. Из телевизионных датчиков интегрального и растрового типа рассмотрим последние, так как они позволяют компоновать системы искусственного зрения для решения достаточно сложных технологических задач, таких как выделение нужного объекта среди множества других независимо от их положения, размера, ориентации определение координат центра масс и угла поворота выделен ного объекта относительно заданного положения. Так как точность преобразования изображения объекта в видеосигнал в значительной степени определяет точность всей системы распознавания, то к телевизионному датчику как к входному элементу предъявляются следующие требования малые геометрические искажения, высокая линейность развертки, высокая стабильность размеров и центровок растра высокая линейность и устойчивость усилительного тракта работа в заданном диапазоне освещенностей. Только при соблюдении перечисленных требований от телевизионных датчиков могут быть получены многократно повторяемые идентичные и достоверные данные. Наиболее рациональным является не самостоятельная разработка телевизионных датчиков, а применение в качестве датчика серийной телекамеры на основе видикона, основные параметры которого лежат в следующих диапазонах разрешающая способность 150—500 линий минимальная освещенность 30—350 л к геометрические искажения растра 3 % нелинейные искажения растра 4 %. Стандартная телекамера на видиконе укомплектована объективами со следующими характеристиками фокусное расстояние З/— [c.92]

В действительности тело состоит из множества элементов. Но так как точка О есть цетр тян4ести, то мы всегда можем так попарно скомбинировать элементы Ат,- и Aw/j, чтобы их общий центр тяжести лежал в точке О. Поэтому для каждой пары соответствующих элементов масс момент ннернии относительно оси О будет отличаться от момента инерции относительно О на величину (А/я,- -Am ,)d . А момент ннерцин всего тела массы т относительно оси О будет отличаться от момента инерцин относительно оси О на величину md . Таким образом, момент инерции тела относительно любой оси [c.406]

Первый из приведенных четырех принципов, а именно принцип сохранения живых сил, был открыт Гюйгенсом, однако в форме, несколько отличной от той, какую ему придают в настоящее время об этом мы уже упомянули выше в связи с проблемой определения центров колебания. Это положение, поскольку оно было применено для решения указанной задачи, сводится к равенству между снижением и повышением neHffpa тяжести множества тяжелых тел, которые падают, будучи соединены вместе, и затем поднимаются отдельно, причем каждое из них поднимается вверх с той скоростью, какую оно приобрело при падении. Но согласно известным свойствам центра тяжести путь, пройденный центром в каком-либо направлении, выражается отношением суммы произведший массы каж- [c.314]

Можно двумя способами достичь того, что внешняя сила, действующая на магнит, не будет изменяться периодически во время неварьированного движения, а будет медленно изменяться со временем только в том случае, когда движение варьируется. Первый способ состоит в том, что мы считаем время обращения массы т очень малым, а момент инерции магнита относительно его оси вращения очень большим, так что за время перехода массы т из перигелия в афелий магнит поворачивается на исчезающе малый угол. Во-вторых, можно себе представить, что на горизонтальной плоскости вместо одной массы имеется бесконечное множество совершенно одинаковых масс т, которые находятся во всех возможных фазах одного и того же центрального движения и, не мешая друг другу, движутся одна независимо от другой и все находятся одинаковым образом под воздействием магнита через посредство одинаковых вышеописанных устройств. Таким путем система может быть превращена в изокинетическую в смысле Гельмгольца, а также и в подлинно циклическую. Последнее — в том случае, если все эти массы уже в начальный момент непрерывно распределены соответствующим образом по площади, которую они описывают с течением времени в центральном движении. Но в этом случае для определения положения одной из материальных точек, находящихся в состоянии центрального движения, кроме медленно изменяющихся координат, которые определяют положение магнита или магнитов, недостаточно задания одной циклической переменной для этого нужны две переменные (две прямоугольные координаты на плоскости, или длина дуги траектории и направление движения на заданном расстоянии 0т центра сил). [c.473]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...