Матрица Лагранжа

Поэтому при произвольном преобразовании х, у) х, у ) матрица Лагранжа L связана с матрицей Якоби J соотношением [c.304]

Производная матрицы Лагранжа по времени удовлетворяет матричному равенству [164] [c.199]

Матрица Лагранжа Л системы функций Р, от старых переменных в соответствии с (8) записывается в виде [c.520]

Матрица Пуассона Р вводится аналогично матрице Лагранжа — ее элементами являются скобки Пуассона (а , а ), ( , р ), (Р , а ,), (р , p ). Запись, аналогичная (П. 23), имеет вид [c.760]

Пример 3. При транспонировании матрицы [[а ]], входящей в состав матрицы Лагранжа (П. 1.23), приходим, согласно (П. 1.20) и (П. 1.22), к равенству [c.762]

Пример 9. Определим произведение ЛР матриц Лагранжа и Пуассона (П. 1.23) и (П. 1,28). По правилу (П. 36) получаем [c.766]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Действительно, поскольку вид функции Лагранжа не изменяется при преобразовании с матрицей 5, то 5и — собственный вектор, соответствующий значению Л, а так как А — простой корень, то эти собственные векторы коллинеарны [c.592]

Доказательство. Воспользуемся теоремой 8.7.1 Лагранжа. Если матрица В положительно определена, то потенциальная энергия системы [c.596]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

Из равенства (8.42) видно, что скобки Пуассона являются как бы обратными величинами скобок Лагранжа. Равенство (8.44) придает этому утверждению более точный смысл. Если символ щ, <) рассматривать как элемент Lu квадратной матрицы L, а символ [Ui.Uj] —как элемент Рц квадратной матрицы Р (каждая из которых имеет порядок 2п), то равенство (8.44) можно будет записать в виде [c.278]

Если матрица (2") имеет ранг п, то, исключив п лагранже- [c.275]

Приложение к контактному преобразованию. Рассмотрим частный случай, когда в качестве щ, и ,. . -, Мгп берутся ( 2, < п> Pi, Р2, . . Рп1 входящие в уравнения контактного преобразования. Благодаря свойствам (24.7.2) скобок Лагранжа матрица к принимает вид [c.498]

Это соотношение между матрицами Пуассона и Лагранжа справедливо для произвольного преобразования х, г/)—> (а , г/ ). Кроме того, для произвольных независимых вариаций имеем [c.304]

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА. Можно доказать обратное утверждение (о неустойчивости), предполагая невырожденность критической точки д, не являющейся минимумом. Невырожденность означает, что определитель матрицы Гесса i V d V [c.176]

Приведем таблицу 17.10 с уравнениями колебаний в матричной форме при получении их различными способами и покажем в этой таблице индексацию матриц, используемую в приводимых ниже примерах. Уравнения Лагранжа второго рода, учитывая, что сопротивление колебаниям принимается равным нулю, прИ обретают вид [c.151]

Подставив в дифференциальные уравнения Лагранжа выражение кинетической энергии диска (3. 98), выражения обобщенных сил от гироскопического действия дисков (3. 99) и выражения обобщенных сил упругости со стороны вала, вызванных перемещениями и поворотами дисков на основании матрицы (3. 100), получим две системы из 2п уравнений (одну — для колебаний в плоскости XS, другую — для колебаний в плоскости уs) [c.156]

Найдем связь между матрицами [А] и [Л . Стержневая система находится в равновесии. Запишем для нее выражение работы в соответствии с принципом Лагранжа, приняв в качестве возможных действительные перемещения системы [c.16]

Для описания процессов, происходящих с Э.ч., в КТП используется Лагранжев формализм. В лагранжиане, построенном из полей, участвующих во взаимодействии частиц, заключены все сведения о свойствах частиц и динамике их поведения. Лагранжиан включает в себя два гл. слагаемых лагранжиан i o, описывающий поведение свободных полей, и лагранжиан взаимодействия отражающий взаимосвязь разл. полей и возможность превращения Э. ч. Знание точной формы позволяет в принципе, используя аппарат матрицы рассеяния (S -матрицы), рассчитывать вероятности переходов от исходной совокупности частиц к заданной конечной совокупности частиц, происходящих под влиянием существующего между ними взаимодействия. Т. о., установление структуры открывающее возможность количеств, описания процессов с Э. ч., является одной из центр, задач КТП, [c.605]

Значение Х°, соответствующее точке условной стационарности и°, может быть не единственным. Чтобы обеспечить единственность Х°, обычно накладывают требование независимости на уравнения, содержащиеся в дополнительном условии (2) это требование выражается в том, что матрица Якоби множества функций, сокращенно записанных ф(и), должна иметь соответствующий ранг (см., например, [0.9, 1.6]). В данной книге нет необходимости заботиться об единственности множителей Лагранжа. В гл. 3 и 4 будут часто встречаться случаи, когда существует бесконечное множество Х° (например, функционал Эпз (е, ф), где тензор функций напряжений ф является множителем Лагранжа, гл. 3). В этих случаях нас устраивает любое из бесконечного множества значений так как все они определяют одно и то же решение исходной задачи (I), (2). [c.37]

Возвратимся к произвольному преобразованию х, у) —> х, у ). Пусть и А представляют переменные х[,. . a V+b Уи у nбольшие латинские индексы принимают значения 1,2,. . ., 2N + 2 с обычным условием суммирования. Мы имеем затем две кососимметричные 2N + 2) X 2N + 2) матрицы — матрицу Пуассона Р, элементами которой являются Pab = [ua, ub], и матрицу Лагранжа L с элементами Zab = Wa, ub - Элемент АС произведения LP равен тогда [c.303]

Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны нулю, а элементы, симметрично расположенные относительно диагональных, равны по величине, но противоположны по знаку, называется К0С0 симметричной.- Примерами являются матрицы Лагранжа (П. 1.22) и Пуассона (П. 1.28). Кососимметричными будут также матрицы [[аа]], [рр]] или ((аа)), ((33)), входяш.ие в состав этих матриц. [c.760]

Матрица С может не обладать этим свойством, даже если выполнены условия теоремы Лагранжа —Дирихле. Так, например, у консервативной системы с V = q - -q в положении равновесия qi = q% = 4 функция V имеет строгий минимум, а С = 0. [c.236]

I ijl/ld. Здесь 1 1, с — определители матриц и Су, Ip.jl, I ijl — алгебраические дополнения элементов р,-,- н Су соответствующих матриц. По теореме Лагранжа Qi = dU/dqi, Qj = = dU/dqj, отсюда следует [c.151]

Из общих рассуждений п. 32 следует, что так как в рассматриваемом нами случае все связи двусторонние, то множители Лагранжа будут однозначно определены при единственном условии, что уравнения связей независимы между собой, т. е. что функциональная матрица левых частей этих уравнений, рассматриваемых как функции от координат точек системы, имеет ранг, равный числу самих уравнений. В нашем случае число уравнений равно т — 1 = = 2 (и — 2) [поскольку должно быть исключено равенство (29), со-ответствз ющее i = a, i= ] в силу самого определения неизменяемой системы без лишних стержней, их левые части независимы (гл. XIV, н. 14) по отношению к 2 (и — 2) координатам различных узлов Fi (i < а, р). [c.282]

Если скобку Лагранжа [ut, Uj] обозначить через Хг , а скобку Пуассона ur, Us) — через Ors, то равенство (24.10.1) можно будет очень просто выразить через матрицы и со размером 2п X 2п с элементами Vs и 03rs- В матричной форме равенство (24.10.1) тогда будет иметь вид [c.498]

АДИАБАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА — продпологксние, лежащее в основе представления о механизме рассеяния в квантовой теории поля (КТП). Процесс рассеяния, согласно А. г., происходит след, образом. В нач. состоянии, к-рому приписывается время t— — со, частицы находятся далеко друг от друга и взаимодействие между ними полностью отсутствует. По мере сближения частиц взаимодействие постепенно (включается , достигает наиб, силы при макс. сближении и постепенно выключается , когда частицы разлетаются после рассеяния. Конечному состоянию приписывается время t — +oa. В начальном и конечном состояниях частицы описываются свободным лагранжианом т. е. лагранжианом без взаимодействия. Строго говоря, А. г. не применима к КТП, поскольку лагранжианы со взаимодействием, обычно рассматриваемые в КТП, приводят к тому, что частицы постоянно взаимодействуют с вакуумом как своего рода физ. средой, в к-рой они движутся, и поэтому не могут описываться свободным лагранжианом (см. Хаага теорема). Трудности, возникающие при введении А, г. в КТП, устраняются с помощью процедуры перенормировок при построении матрицы рассеяния. г. в. Ефимов. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ — возмущения состояний квантовой системы под воздействием медленно (адиабатически) меняющихся внеш. условий. Медленность означает, что характерное время изменения внеш. условий значительно превышает характерные времена движения системы. Метод А. в. противопоставляется внезапных возмущений методу (встряхиванию), при к-ром упомянутые времена удовлетворяют противоположному неравенству. А. в. могут приводить к значит, изменению структуры самих состояний, но при этом переходы между разными состояниями происходят с малой вероятностью. Исключение из этого правила составляют случаи, когда в процессе эволюции два или неск. уровней. энергии системы становятся близкими или пересекаются (см. Пересечение уровней). При этом переходы между пересекающимися состояниями могут происходить с заметной вероятностью и наз. неадиабатическими. Теорию Л. в. применяют для описания столкновений атомов и молекул, взаимодействия атомов и молекул с эл.-магн. полями, взаимодействия разл. возбуждений в твёрдом теле и т. д. [c.26]

Теория Дирака. К гамильтонову формализму со связями обычно приходят, отправляясь от лагранжиана, вырожденного по скоростям (определитель матрицы производных лагранжиана по скоростям равен нулю). Требование непротиворечивости дияамич. ур-ний означает, что подмногообразие связей F в С. м. М ин-волютивно пространство / связей (ф-ций на М, нулевых на F) замкнуто относительно скобки Пуассона [c.522]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

Значение интегрального критерия определяется тем, что в ряде случаев потенциальная функция имеет определенный физический смысл. Например, в ряде задач о синхронизации динамических систем (см. гл. VIII) она равна среднему за период значению функции Лагранжа системы, взятой с противоположным знаком и вычисленной для порождающего рещения [7]. Кроме того, в условиях справедливости интегрального критерия условия устойчивости могут быть записаны в явной форме, ибо согласно критерию Сильвестра условия минимума функции О сводятся к требованию положительности всех главных миноров матрицы, D/da,daj II. [c.62]

В настоящей главе дается описание известных искривленных конечных элементов тонких оболочек, поотроенных в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Исходным вариационным принципом для всех злементов из зтой главы является принцип Лагранжа, и вое они объединяются единым методом построения матрицы жесткости - классическим методом перемещений ( I.I). Большое внимание уделено качественным аспектам используемых аппроксимаций с точки зрения даваемой ими точности при изменении геометрических параметров злемента - толщины и степени непологости ( 1.2,4,7). Рассмотрены вопросы построения аппроксимаций, удовлетворяющих необходимым условиям глад- кости, как для треугольных ( 1.3,4), так и четырвхугольннх злементов ( 1.2,5). Описаны способы ослабления требований гладкости первых производных от прогиба с помощью методов штрафа и множителей Лагранжа и даются примеры их использования для оболочек ( 1.9,10). Много места уделено особенностям расчета оболочек сложной геометрии в отличив от оболочек канонических форм ( 1.4, 5,7). Затронуты вопросы параметризации поверхности оболочки в случае дискретного задания ее геометрии и приведены требования к аппроксимации радиуса-вектора средин-нйй поверхности ( 1.5,6). Дается сравнительный анализ точности, даваемой различными КЭ, на примере некоторых общепринятых задач ( 1.8). [c.16]

В настоящем параграфе сделаем несколько общих замечаний, относящихся к описанным выше злементам, которые объединяет метод построения матрицы жесткости. Речь идет о последовательном применении метода песемещений и функционала Лагранжа в предложении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Другие возможные варианты элементов, получаемые при использовании иных подходов, будут рассмотрены далее. [c.93]

При реализации подобной методики целесообразнее пользоваться функционелом в виде суммы слагаемых (9.12), чем вводить условия (9.5) уже после построения глобальной матрицы жесткости [к] и переходить к расширенной матрице (9.8). Последнее неудо(3-но тем, что матрица (9.8) теряет свою диагональную структуру и Для ее восстановления требуется проводить перенумерацию неизвестные. Если же использовать представление (9.12) и считать глобальными степенями свободы узловые перемещения и три множителя Лагранжа на сторонах, то можно получить матрицу жесткости эле-1 ента (вид ее будет подобен (9.8)), которую обычным образом разносим по глобальной мйтрице в соответствии с выбранной ну- ерацией перемещений. [c.113]

Далее обычной стетической конденсацией избавляемся от внутренних степеней свободы U , U , и приходим к окончательному виду матрицы жесткостм размером 30x30 (по 9 перемещений в узле плюс три множителя Лагранжа на каждой из сторон). [c.114]

Увеличение иирины ленты глобальной матрицы жесткости является главным недостатком подобных элементов. Что насается скорости сходимости, то метод штрафа при кубической аппроксимации всех перемещений приводит практически к тем же результатам, что дает метод множителей Лагранжа при аналогичной аппро1 сима-ции поля перемещений [ 268 ]. [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...