Матрицы координатных преобразований

Если начала координатных систем совпадают (Oi = Oj), то аг = = bi = j = Q и для преобразования координат точек можно использовать матрицу третьего порядка Tij, которая получается из матрицы четвертого порядка (3.25) путем исключения четвертой строки и четвертого столбца. В этом случае обратная матрица Г,-,- получается как транспонированная Tji=T. . [c.105]

Вторым примером служит совокупность равенств (1) или (2), которые можно рассматривать как преобразования, переводящие вектор-радиусы точек пространства из старого в повое положение, т. е. как поворот абсолютно твердого тела, связанного с координатными системами. Тензор, матрицей которого служит таблица косинусов углов между старыми и новыми осями, называется тензором поворота. [c.117]

Тензор характеризует сразу три напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам и используется для описания физических явлений и процессов, происходящих в упругой среде. В механике сплошной среды используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат. Примененный для описания напряженного состояния точки тензор напряжений инвариантен относительно преобразования прямоугольных координатных осей. Тензор напряжений симметричный, так как коэффициенты матрицы симметричны относительно главной диагонали и равны между собой. Задать тензор напряжений— значит определить напряженное состояние в данной точке тела. В частных случаях напряженное состояние точки определяет напряженное состояние всего тела (при простом растяжении — сжатии), такое напряженное состояние называется однородным. [c.8]

В качестве примера найдем матрицу преобразования L при произвольном смещении и повороте тройки базисных векторов (рис. П.6). Так как при поступательном с.мещении координатных осей базисные векторы совпадают с исходными, то можно рассмотреть только преобразование, связанное с поворотом базисных векторов. Произвольный поворот координатных осей можно представить как три независимых поворота. Рассмотрим поворот исходных координатных осей относительно оси, совпадающей с направлением вектора ею, на положительный угол Й1 (рис. П.6,а), в результате получим [c.295]

Общая матрица L перехода от базиса е,о к базису е, (матрица преобразования) при повороте координатных осей равна произведению матриц и L [c.296]

Другой способ, более удобный при рещении различных задач в теории твердого тела, называется матричным. В этом случае каждому преобразованию симметрии сопоставляется матрица преобразования координат тела (или координатной системы). [c.128]

Чтобы сделать все эти формальные выкладки более наглядными, мы рассмотрим один простой пример. Пусть рассматриваемое движение является плоским. Тогда соответствующие координатные системы также будут плоскими и индексы при. коэффициентах ац будут принимать лишь два значения 1 и 2. Матрица преобразования будет тогда иметь вид [c.115]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

Отметим, что если в окрестности точки qi = q2 =. .. = = О координатного пространства i, 25 5 Qn ввести евклидову структуру при помощи удвоенной кинетической энергии 2Т, т. е. принять за скалярное произведение векторов и и v величину (Аи v), то преобразование (12) можно выбрать ортогональным в смысле этой евклидовой структуры. Это означает, что, если Uj (j = 1, 2,. .., n) —j-й столбец матрицы и, т. е. замена переменных (12) имеет вид [c.503]

Формулы преобразования компонентов напряжений при повороте системы координатных осей. Даны матрицы [c.412]

Прямые (VII.77), (VII.78), (VII.79) особенно интересны тем, что каждая из них становится осью поступательной жесткости амортизирующего крепления в том частном случае, когда оказывается равным нулю соответствующий ей элемент матрицы (VII.69) из числа расположенных на диагонали — Если, например, Oj то осью поступательной жесткости г/ является прямая (VII.78) достаточно при параллельном переносе координатных осей поместить точку О на эту прямую и совместить таким образом с ней новую координатную ось О у, чтобы во второй строке и втором столбце преобразованной матрицы жесткостей элемент 22 остался единственным не равным нулю элементом. [c.288]

Введение определенных правил взаимной ориентации координатных систем (см. гл. 19 и п. 51) приводит к упрощению составления взаимного преобразования координат за счет стандартизации этой операции. Сокращение количества систем координат, а следовательно, и отображающих их преобразование матриц ведет к сокращению вычислительных операций. [c.188]

Здесь уместно заметить, что в аналитических методах кинематического анализа пространственных механизмов в настоящее время используются все достижения современного математического аппарата теория множеств, теория групп, матрицы, тензоры, бивекторы, винты и винтовые аффиноры. И тем не менее успех решения поставленной задачи в каждом конкретном случае анализа пространственного механизма зависит не от формы записи основных уравнений, а от выбора системы координатных осей и геометрии применяемых преобразований. Особенно наглядно это свойство задач кинематического анализа пространственных механизмов можно проследить, если обратиться к обобщающей монографии П. А. Лебедева, В ней не только дан сравнительный анализ различных методов, но и предложен новый метод, позволяющий использовать минимальное число применяемых систем координат. [c.4]

Было бы смешением понятий отождествлять матрицу с тензором. Последний является самостоятельной физической величиной, задание которой требует знания этой матрицы. Основываясь на законах преобразования (1.3.6), (1.3.7), можно дать второе определение тензора второго ранга как физической величины, компоненты которой подчиняются этим законам при преобразовании поворота координатной системы. [c.804]

K j — элементы матрицы Ко, Фр(о 1,0 2) — преобразование Фурье координатных функций [c.131]

Перенос объекта в новую координатную систему с началом координат в точке (X, У, 2). Это преобразование описывается матрицей (12.1) (матрица Т). Объект задан в правосторонней системе координат. [c.263]

Поворот новой координатной системы на угол б вокруг оси Е. Это преобразование задается матрицей (12.4) (матрица е)- [c.263]

Четвертый и пятый этапы предназначены для возвращения объекта в первоначальную систему координат. Временные координатные системы, построенные на первом и втором этапах, выполняют в процессе преобразования лишь вспомогательные функции. Ниже приводятся упомянутые матрицы Т, 11 - 2> - е- [c.263]

Заметим, что уравнения (6.17) линейны и однородны относительно производных, поэтому формулы (6.18) и (6.19), которые являются следствием (6.17), не зависят от периода функции Л таким образом, выполнены условия частного случая, рассмотренного выше. Следовательно, множество 3 лежит на координатных осях. Совершая обратное преобразование с ортогональной матрицей получим, что точки исходного множества 3 лежат на двух прямых, ортогонально пересекающихся в начале координат. Теорема 3 полностью доказана. [c.414]

Пусть (г т , i = 1, 2,..., п - все материальные точки нашей замкнутой системы, - координатные векторы, т, - массы точек. Применим ко всем координатным векторам преобразование поворота с матрицей А и преобразование параллельного переноса на вектор а, причем йА/йг = О, (а/й = 0. Тогда [c.30]

Доказательство. Матрица А определяет преобразование координатных векторов при преобразовании реперов [c.31]

Чтобы выполнить преобразование переноса в двумерном пространстве, его надо представить матрицей типа 3x3. Для обеспечения согласованного переноса точка должна задаваться в виде (х, у, 1). Этот (и + 1)-мерный вектор в п-мерном пространстве называется однородным координатным представлением. Таким образом, для переноса точки однородное представление будет иметь вид [c.150]

Мы знаем, что матрицу можно интерпретировать, во-первых, как оператор, преобразующий вектор, и, во-вторых, как оператор, преобразующий координатную систему. Мы сейчас рассмотрим задачу, в которой имеют место обе эти интерпретации. Это — задача о преобразовании оператора при изменении системы координат. Пусть А означает оператор, действующий на вектор F (или матрицу F, состоящую из одного столбца) и преобразующий его в вектор G. Тогда можно написать [c.123]

Симметрия и ее следствия. Пусть имеется симметричная механическая конструкция, точки которой характеризуются координатным вектором г = (д , z . Симметричность конструкции означает, что существуют такие линейные векторные преобразования, отличные от тождественного, которые в результате применения к вектору г совмещают конструкцию саму с собой. Положим для определенности, что констру1щия обладает поворотной симметрией N-to порядка, т. е. что она совмещается сама с собою при повороте вокруг оси z па угол, кратный ф i= 2я/М (рис. 7.24). Преобразование симметрии, осуществляющее поворот конструкции на угол ф, имеет вид следующей матрицы [c.245]

Д. Денавит использует затем преобразование координатных систем, ассоциированных каждому из звеньев, при помощи соответствующих комплексных унитарных Рис. 35. Сферический четырехзвен- матриц вида (7. 28) при обращении ник в нуль угла прецессии (г(] = 0) [c.146]

Изложенный метод является эффективным алгебраическим методом исследования и синтеза пространственных механизмов, основанным на использовании однородных координат, которые дают возможность объединить сложное преобразование поступательного и вращательного относительных движений в одной матрице 4-го порядка, представляющей соответствующий тензор второго ранга. Применением однородных координат, а также введением фиктивных звеньев можно уменьшить количество вводимых координатных систем по сравнению с методами, в которых используются неоднородные координаты (С. Г. Кислицына, Г. С. Калицына и др.), и тем самым уменьшить количество вычислительных операций при составлении расчетных уравнений для определения искомых параметров. В этом методе преобразование координат и геометрические связи между звеньями полностью отображаются тензорным или эквивалентным ему матричным уравнением замкнутости механизма, которое распадается на двенадцать уравнений относительно искомых и известных параметров. Из этого числа могут быть отобраны в общем случае шесть наиболее простых уравнений, а остальные уравнения использованы для контроля правильрюстн определения параметров. [c.167]

I В качестве примёра найдем значения элементов матрицы L. Рассмотрим случай, когда новые базисные векторы е,- в новом положении координатных осей остались параллельными исходным базисным векторам с одинаковыми индексами (см. рис. 1.2). Такое перемещение координатных осей в пространстве называется поступательным. При преобразовании базисных векторов ei = = е,о. поэтому L = Е, где Е— единичная матрица. [c.9]

Примеры О. преобразований приводились выше. Так, переход к представлению Гейзенберга осуществлялся с помощью О. и ехр —г/ (/Й , к 1 редставлениго взаимодействия — с помощью и — ехр(—переход от координатного представления к импульсному (в одномерном случае) производится с помощью непрерывной матрицы С.х и р > = (1/ Л2яЙ) ехр грд /Я и т. д. [c.416]

С помощью матрицы (1.3.1) один физический объект (вектор а) преобразуется в другой — вектор Ь. Отсюда следует, что этой матрицей в системе осей 0х1х хз определена величина, имеющая самостоятельное фйзическое содержание. Остается потребовать, чтобы ее способность сопоставлять вектору вектор сохранялась в любой координатной системе. Это значит, что элементы q t матрицы s, должны при переходе к новым осям Олг х хз подчиняться закону преобразования, обеспечивающему преобразование чисел bs, как проекций вектора, то есть по правилу (1.1.6), в предположении, что Uk преобразуются по этому же правилу. Итак, [c.803]

Подобным же образом строится матрица X, и в случае, ког да в разных узлах тела учитывается различное число степене свободы, т. е. когда матрицы V,- имеют неод шаковый размер Отметим в заключение, что, как вытекает из сути вывода преобразование к = справедливо не только при поворо те координатных осей, но и вообще при любой замене узловы] перемещений, представленной в форме v — Х. [c.58]

Доказательство. Согласно ( ), преобразование f сохраняет проекции площадей на каждую из плоскостей сопряженных координат. Следовательно, f сохраняет и сумму проекций площадей. Таким образом, матрица 2В = ЭГ/Э/ не изменяет кососкалярного произведения любых двух координатных векторов [c.327]

Ио а1шлогни с зеркальной симметрией пространства из допущения об инвариантности законов нрн-]юды относительно обращения знака времени, казалось бы, должен следовать закон сохранения временной Ч. Это, однако, не так, потому что отражение во времетн в кваптовой теории отличается от всех остальных координатных п1)еобразовапий тем, что ему сопоставляется не унитарное, а т. н. анти-унитарное преобразование векто])а состояния, рав- roe нек-рому унитарному преобразованию, умноженному па нелинейную операцию комплексного сопряжения [13]. Вследствие этого инвариантность относительно обращения знака времени но выражается законом сохранения какой бы то ни было величины, но приводит к новым правилам отбора, выражающимся в форме определ, ограничений на матрицу рассеяния [14], [c.413]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...