Теорема взаимности обобщенная

Уравнение (7) представляет окончательный вид теоремы взаимности, обобщенной на дисторсию. Легко убедиться, что для частного случая температурных дисторсий, когда = уравнение (7) переходит в теорему о взаимности работ для термоупругости (ср. с уравнением (40а) 8.1). [c.537]

Понятно, что найти решение задачи в столь общей постановке представляется весьма затруднительным. Однако на помощь приходит теорема взаимности работ. Одновременно с заданной нагрузкой будем рассматривать случай нагружения тела равномерно распределенным давлением р, действующим по поверхности. Тогда имеем две обобщенные силы систему двух сил Р, с одной стороны, и давление р — с другой. [c.193]

Согласно обобщенной теореме взаимности работ можно сказать, что [c.193]

Изменение площади рассматриваем как обобщенное перемещение. Соответствующая этому перемещению обобщенная сила представляет собой распределенную нагрузку постоянной интенсивности q. Поэтому наряду с заданным случаем нагружения рассмотрим нагружение той же рамы равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 222). Тогда, согласно теореме взаимности работ, имеем [c.215]

Это соотношение называют теоремой взаимности перемещений.-. перемещение, создаваемое обобщенной силой Pi = 1 по направлению Pj численно равно перемещению, создаваемому обобщенной силой Р/ = 1 по направлению Р(. [c.235]

Обобщенная теорема взаимности 105" [c.105]

Обобщенная теорема взаимности [c.105]

Обобщенная теорема взаимности 107 [c.107]

Формулируется она так перемещение в направлении первой обобщенной силы, вызванное второй обобщенной силой, равно перемещению в направлении второй обобщенной силы, вызванное первой обобщенной силой, если эти силы равны между собой. В этом случае, когда Р =Р =1, теорема взаимности перемещений записывается так [c.210]

Так же как и в статическом случае, который обсуждался в гл. 4 и 6, из динамической теоремы взаимности могут быть получены динамические интегральные уравнения теории упругости. Динамическая теорема взаимности [3, 48—51] фактически является непосредственным обобщением классической теоремы Бетти в статической теории упругости и может быть сформулирована следующим образом. [c.290]

Утверждение 7.5 теорема взаимности теорема Бетти). Пусть и 5 ,, Pj и 5 — системы обобщенных сил и соответствующих им перемещений для двух состояний равновесия упругого тела. Тогда [c.215]

Это теорема взаимности Максвелла ), Бетти ) и Рэлея ). Она является обобщением соотношений (14) и (15), обычно известных как соотношения взаимности Максвелл а . [c.21]

Широкое применение в исследовании статически неопределимых систем получили линии влияния. Построение их основано на теореме взаимности, доказанной Максвеллом для простого случая двух сил общее доказательство этой теоремы было дано позднее итальянским ученым Бетти ). Лорд Рэлей распространил теорему также и на колебания упругих систем ), доказав, что если сила гармонического типа с заданными амплитудами и периодом действует на систему в точке Р, то получающееся в результате этого воздействия перемещение во второй точке Q будет иметь ту же амплитуду и ту же фазу, что и перемещение в точке Р, если бы сила была приложена в Q. Отсюда он вывел теорему взаимности для статических условий как частный случай, в котором сила имеет бесконечно большой период ). В этой работе Рэлей пользуется понятиями обобщенной силы и соответствующего обобщенного перемещения, рассматривая силу и пару, в обычном смысле, как частные случаи. Он сопровождает это обобщение следующим замечанием Для тех, кому понятие обобщенных координат представляется недостаточно отчетливым, здесь можно привести доказательство более специального случая этой общей теории... . Рэлей подтвердил правильность своей теоремы опытами и, производя их для балки, получил линию влияния для прогиба в заданном поперечном сечении. Это— первый случай построения линии влияния экспериментальным путем. [c.383]

Научная деятельность Рэлея и, в особенности, опубликование им книги Теория звука ) оказали сильное влияние на оживление научной работы по теории сооружений в России. Идея использования теоремы взаимности вместе с понятием обобщенных сил получила практическое осуществление в трудах проф. Виктора Львовича Кирпичева (1845—1913), применившего ев для построения линий влияния в разнообразных задачах, относящихся к простым и неразрезным балкам и аркам ). В дальнейшем понятия обобщенных сил и обобщенных координат были широко использованы В. Л. Кирпичевым в его получившей большое значение книге Лишние неизвестные в строительной механике ). Таким путем ему удалось значительно упростить изложение различных методов расчета статически неопределимых конструкций. В предисловии к своей книге В. Л. Кирпичев указывает, что все инженеры, интересующиеся теорией сооружений, должны изучить Теорию звука Рэлея. Книга В. Л. Кирпичева ) и его лекции сыграли большую роль в развитии науки о прочности материалов в России в конце XIX и начале XX века. [c.384]

Это утверждение и составляет содержание теоремы взаимности работ. Для случая двух сил эта теорема была доказана в 1864 г. Д. Максвеллом. Но, как следует из самого понятия обобщенных сил и обобщенных перемещений, соотношение (9.7.3) не изменится, если под Pi и Р2 понимать обобщенные силы, а под 6i и S2 — соответствующие им обобщенные перемещения. Это было впервые понято итальянским ученым Е. Бетти в 1872 г. Как мы уже отмечали в связи с интегралом Мора, работа Д. Максвелла осталась незамеченной, и Е. Бетти сформулировал теорему взаимности работ независимо. Поэтому ее часто называют теоремой Бетти. [c.283]

Вообще развитие в XIX в. энергетических методов в теории упругости тесно связано с разработкой методов расчета статически неопределимых систем. Применительно к этим расчетам в конце XIX в. широкое применение получили линии влияния, введенные в строительную механику Э. Винклером и О. Мором в конце 60-х годов. Построение их основано на теореме взаимности, сформулированной в простейшем случае Максвеллом и обобщенной на произвольные условия равновесия Э. Бетти и на колебания упругих систем Рэлеем Последнему принадлежит широкое применение понятия обобщенных сил и перемещений, сыгравшего важную роль в последующем развитии прикладной теории упругости. В частности, В. Л. Кирпичев применил теоремы взаимности, вводя обобщенные силы для расчета неразрезных балок и арок [c.62]

Из формул (2) следует замечательная теорема взаимности, впервые доказанная Гельмгольцем для воздушных колебаний и позднее в значительной степени обобщенная Рэлеем. Рассмотрим другой случай вынужденных колебаний (соответственные величины будем отмечать штрихом), для которого Q[ = 0, а Q пропорционально os pf, тогда [c.69]

Очевидно, что тензор перемещений является симметричным тензором. Соотношения (15) являются обобщением теоремы взаимности Максвелла на динамические задачи теории упругости. [c.600]

В заключение следует указать, что поскольку для следующих закону Гука анизотропных тел самого произвольного типа удельная энергия деформации является однородной квадратичной формой от компонентов деформации, для них остается справедливым ряд положений, доказанных ранее для линейно упругих изотропных тел. В частности, остается справедливой формула (12.6) и вытекающая из нее теорема Клапейрона (13.4), а также обобщение этой теоремы (13.3). Остается справедливой и теорема взаимности работ (что было показано в 15) и сохраняются в силе рассуждения при доказательстве теоремы единственности. Рассмотрение задач теории упругости анизотропных тел (в классической постановке) производится аналогично случаю изотропных тел, только при выражении напряжений через деформации приходится пользоваться не формулами (6.2) или (6.6), а более сложными линейными зависимостями (19.2), причем в последних (оставаясь в рамках допущений классической теории упругости) надо положить В дальнейшем заниматься [c.227]

Теорема взаимности перемещений была впервые сформулирована Дж. Максвеллом в 1864 г. на примере статически нагруженной плоской статически неопределимой фермы для случая двух сил (см. его статью, цитированную в п. 3.3). Обобщение этой теоремы на случай произвольного числа сил различного типа и на случай гармонических колебаний было дано Релеем (см. сноску 5). Теорема взаимности перемещений представляет собой частный случай теоремы взаимности работ. [c.466]

Обобщенная теорема взаимности (3.67) слабее обычной теоремы взаимности (3.61) в том смысле, что для соблюдения теоремы (3.67) нужно рассматривать поле в среде, в которой знак Bg изменен на обратный (по сравнению со случаем, когда вычислялось поле от источников ). Именно нарушение теоремы взаимности (3.60) позволяет создать в магнитоактивной среде оптический вентиль, пропускающий электромагнитные волны лишь в одном направлении. [c.121]

О — матрица-столбец обобщенных координат 6 — квадратная матрица коэффициентов податливостей, симметричная относительно главной диагонали (по теореме взаимности) ЦаЦ — диагональная матрица коэффициентов инерции системы. [c.50]

Следует отметить, что теорема Бетти о взаимности работ может быть подобным же образом доказана и для любого анизотропного тела, для которого обобщенный закон Гука в самом общем виде может быть представлен выражениями (2.2). [c.45]

Так как определитель А(о2) является симметричным, то == , Следовательно, коэфициент перед в выражении для тождественно равен, коэфициенту при Q, в выражении для q . Это является основанием важной теоремы взаимности", формулированной Гельмгольцем и после него обобщенной, Рэлеем. Эта теорема как и некоторые предыдущие теоремы, наиболее важйое применение имеет для систем с бесконечным числом степеней свободы, а также в акустике. [c.241]

В работах Бреннера [9—И] показано также при помощи теоремы взаимности (см. разд. 3.5), что макроскопические свойства деформированной сферы можно получить непосредственно вплоть до членов первого порядка по 8, зная стоксово поле скорости для недеформированноео тела, причем для этого не требуется решения уравнений движения. В принципе этот метод является достаточно общим и может быть использован применительно к телам, имеющим форму, отличную от сферической (например, слегка деформированный эллипсоид). Однако подобно другим интегральным методам этот метод не дает столь подробного описания поля течения, которое необходимо для обобщения результатов до более высоких порядков по 8 (это, вероятно, необходимо для получения результатов при Сд 0) или же для теоретических расчетов коэффициентов тепло- и массопереноса, [c.254]

Уравнение (4.37) позволяет получить смещения и в любой внутренней точке при любой допустимой комбинации tt у . и i на 5 и данном распределении ij , в объеме — это уравнение фактически представляет собой известное тождество Сомильяны для вектора смещений [Ц, 121. Функции Gij и Fij определяются уравнениями (4.7) и (4.10), но их "использование в теореме взаимности приводит к трем довольно тонким изменениям в трактовке смысла (х, ) и (t, /). Тщательное сравнение, скажем, (4.11) и (4.37) показывает, что для (4.37) характерны в обобщенном виде те же свойства, которые обсуждались в связи с (3.29), а именно следующие [c.116]

Теорема взаимности связьгоает решения двух различных краевых задач для одной и той же области R. Теорема представляет прямое следствие линейности уравнения равновесия и обобщенного закона Гука. Читатель, интересующийся доказательством теоремы, может обратиться к книге [49] . [c.112]

Телеграфные уравнения обобщенной регулярной МСПЛ могут быть получены разными путями (краткая историческая справка по данному вопросу приведена в работе М. X. Захар-Иткина [27]). Они выводятся из уравнений Максвелла [28— 30, 107], записываются как следствие теоремы взаимности электротехнических цепей [27] или получаются из законов Кирхгофа предельным переходом от уравнений цепи с сосредоточенными параметрами к уравнениям для структуры с распределенными параметрами. Подробный вывод телеграфных уравнений для двухпроводных СПЛ без учета потерь дан в работах [2, 75]. [c.14]

Главный вклад Рэлея в нашу науку содержится в его книге Теория звука ( Tie theory of sound ) ), В первом томе этой замечательной книги исследуются колебания струн, стержней, мембран, пластинок и оболочек. Автор демонстрирует те преимущества, которые может извлечь инженер из применения понятий обобщенных сил и обобгценных координат. Введение этих понятий и использование теоремы взаимности Бетти—Рэлея внесло большое упрощение в расчеты статически неопределимых систем. Труд этот охватывает не только собственно звуковые колебания, но и колебания не акустические. Автор обращает внимание на те удобства, которые может представить применение нормальных координат, и показывает, каким образом, приравнивая скорости нулю, можно извлекать решения для статических задач из исследования колебаний. Таким путем он находит прогибы для стержней, пластинок и оболочек, выражая их через нормальные функции эта методика приобрела в технике большое значение. [c.404]

Обобщенная теорема взаимности, относящаяся к задачам термоупругости, была полностью сформулирована Ионеску-Кази-миром ). Элементы этой теоремы, хотя и выраженные в менее общей форме, мы найдем у Био ). [c.768]

Теорема взаимности была доказана для всех систем, в которых силы трения могут быть представлены с помощью функции F, но она допускает и дальнейшее важное обобщение. В самом деле, мы доказали существование функции F для большого класса случаев, где движению противодействуют силы, пропорциональные абсолютным или относительным скоростям су1цествуют, однако, другие источники рассеяния энергии, которые не входят в эту категорию, но эффект которых в одинаковой степени важно учесть таково, например, рассеяние энергии, обязанное теплопроводности или тепловому излучению. Хотя силы в этих случаях не для всех возможных движений находятся в постоянном [c.179]

При выводе соотношений взаимности мы считали, что поверхности, расположенные в звуковом поле, являются либо абсолютно мягкими, либо абсолютно жесткими, либо импеданц-ными. В работе [50] показано, что теорема взаимности остается справедливой также при наличии в пространстве упругих тел и оболочек, свойства которых не описываются нормальным локальным импеданцем. В этой же работе принцип взаимности обобщен на случай внешних сил, действующих на поверхность тела, и найдены общие соотношения, связывающие звуковое поле, дифрагированное на упругой поверхности, и звуковое поле, излученное этой поверхностью под действием внешних сил. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...