Седло и фокус

Медленное уравнение общего положения на двумерной поверхности в может иметь особенности трех типов сложенные узлы, седла и фокусы (см. 2). Вырожденные утки существуют только для сложенных седел и для некоторых сложенных узлов (рис. 83). В случае сложенного седла (при дополнительных условиях невырожденности, которые мы здесь явно не формулируем) справедлив аналог теоремы 1 [126] для любой простой вырожденной утки, проходящей через сложенное седло, уравнение (13е) имеет решение, фазовая кривая которого стремится к вырожденной утке при е- 0. [c.206]

Движение в окрестности центра. Здесь мы рассмотрим критический случай. Выше было установлено, что в окрестности особых точек типа узла, седла и фокуса движение происходит, по существу, так же, как если бы оно описывалось соответствующим линейным приближением. Однако для особой точки типа центра это не имеет места. В этом случае линейное приближение дает устойчивость, в то время как точные уравнения могут привести либо к устойчивому, либо к асимптотически устойчивому, либо, наконец, к неустойчивому движению. [c.379]

Седло и фокус. Рассмотрим сначала случай седла. Система (приведенная к канонической форме) имеет вид [c.199]

В случае более высоких размерностей структурно устойчивые локальные бифуркации возникают, когда одно из собственных значений дифференциала диффеоморфизма равно 1 или -1, а остальные лежат вне единичной окружности. В качестве простого примера мы опишем семейство, получающееся как прямое произведение отображений (7.3.2) с линейным сжимающим отображением. Возникающие в результате бифуркации называются бифуркациями типа седло — узел. Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, которые возникали в одномерном примере (7.3.2), теперь являются седлом и фокусом соответственно (см. 1.2). При приближении параметра к нулю они сливаются, и для значений параметра т > О неподвижные точки отсутствуют. Таким образом, мы получаем следующую картину (см. рис. 7.3.4). [c.309]

Как мы увидим, движение в окрестности узла, седла или фокуса подобно соответствующему движению для поля Fq. Исключение составляет вихревая точка. В этом случае линейных членов недостаточно, чтобы решить вопрос об устойчивости. Это является несколько неожиданным, в особенности если учесть, что сюда относится задача о малых колебаниях (гл. IX). Однако в случае малых колебаний мы располагаем некоторыми дополнительными данными, получаемыми из уравнения энергии, факт устойчивости мы знаем заранее, и линейная теория в этом случае дает хорошее приближение к действительному движению. Но в общем случае оснований для такого рода утверждений нет. [c.372]

Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости а) центр, б) седло в) фокус (устойчивый). г) фокус (неустойчивый) д) узел (устойчивый) е) узел (неустойчивый) ж, э) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже.

Разрыв в решении за седловой особенностью может возникать и тогда, когда между седлом и ж = 0 имеется особенность типа узла, фокуса и при отсутствии особых точек. [c.615]

Кинетическая картина фазового перехода представляется фазовыми портретами, показанными на рис. 2, 3, 5, 6, 8-11, и временной зависимостью пути, пройденного точкой по траектории (рис. 4). В случае перехода второго рода (рис. 2-6) фазовый портрет имеет при Se < S притягивающий узел D, отвечающий неупорядоченной фазе при Se > 5с он трансформируется в седло и появляется дополнительный узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе. В отличие от этого на фазовом портрете первого рода (рис. 8-11) при 5е = 5 происходит бифуркация, в результате которой появляются седою 5, отвечающее энергетическому барьеру на зависимости V t ), и притягивающий узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе при этом притягивающий узел D неупорядоченной фазы остается неизменным. С ростом управляющего параметра в интервале (5 , 5с) седло 5 стремится к узлу D, поглощая его в точке 5с, а узел/фокус О смещается в сторону возрастания величин параметра порядка и сопряженного поля. [c.43]

Легко видеть, что для состояния равновесия с абсциссами ж > х, и X <С Х2 имеем Д > О, т. е. эти состояния равновесия являются узлами или фокусами, а для состояний равновесия с абсциссами, удовлетворяющими неравенству Хг состояния равновесия являются седлами. Установим характер устойчивости узлов и фокусов. Очевидно, а = О при = —2 V2 соответствующие значения б [c.164]

У Траектория, стремящаяся к состоянию равновесия (как в сл>чае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. [c.45]

Интегральные кривые плоскости перейдут при этом в соответственные кривые сферы, причем седла, узлы и фокусы сохраняют тот же вид. [c.107]

Если все точки простые, то вдоль изоклины без кратных точек, расположенной в пределах одной полусферы, особые точки располагаются так, что вслед за седлом будет фокус или узел и наоборот. Если на изоклине две точки разделены экватором, то за седлом следует опять седло, а за узлом или фокусом — узел или фокус. [c.117]

Кроме того, как мы видели, при фиксированном значении параметра [г при всех К =0 начало координат — фокус или узел, точка i/ц, 0)—седло, и положение и характер состояний равновесия на экваторе не меняются. [c.244]

Координаты х и х могут соответствовать как фокусу, так и седлу, и поэтому при переходе через прямые (7) и (8) может менять знак или фокусная, или седловая величины Рх + Qy [c.294]

При дальнейшем продвижении вдоль прямой Ь внутрь области, ограниченной дискриминантной кривой, седло-узел распадается на седло и неустойчивый узел, который затем превращается в фокус. Точке пересечения X = Хо прямой L = О с линией симметричных структур Ь = 0 соответствует фазовое пространство, содержащее два сложных фокуса, расположенных симметрично относительно седла (а-сепаратрисы седла идут к устойчивому циклу, охватывающему все три состояния равновесия, ( -сепаратрисы скручиваются с неустойчивых сложных фокусов). [c.297]

При уменьшении X состояние равновесия седло-узел внутри устойчивого предельного цикла разделяется на седло и неустойчивый узел, который при дальнейшем уменьшении X превращается в фокус (рис. 160,77). [c.301]

Отсюда следует, что каждая из кривых (3) имеет не более двух экстремумов и пересекается с любой из прямых г/о = С не более чем в трех точках. Система имеет, следовательно, не более трех состояний равновесия. Рассмотрим, какие из состояний равновесия — узлы и фокусы и какие — седла. Дифференцируя по X выражение (2), где г/ = 1/ф(х) есть решение уравнения [c.326]

Перейдем к выяснению устойчивости узлов и фокусов и установлению знака седловой величины в седле. Для этого выразим для каждого состояния равновесия [c.327]

При 1-1, близком к 1, кривая а целиком лежит под кривой Д 0 = 0 только в седле. Узлы и фокусы (им соответствуют на плоскости х, уо) точки над кривой Д, а значит, в рассматриваемом случае и над кривой о ) устойчивы. [c.330]

Абсцисса общей точки Д и о х < х (х — абсцисса максимума А ), но максимум а лежит снаружи от кривой А (см. рис. 170,6). На плоскости (хо, уо) кривая а имеет, как нетрудно видеть, самопересечение и общую точку М с кривой А ) (рис. 171,6). Отметим при этом, что, опираясь на монотонность поворота касательной вдоль кривой А и кривой а, можно показать, что кривая о может иметь с верхней частью кривой А не более двух общих точек пересечения. При этом эти точки не соответствуют системам, имеющим двукратное состояние равновесия с 0 = 0, а соответствуют наличию у системы седло-узла и фокуса с 0 = 0. (Эти общие точки А и а соответствуют на кривых А и о различным значениям х.) [c.330]

Структура разбиения на прямой Я = ц. При возрастании Я и [X от значения Я = [х = 1 вдоль прямой отрезок покоя распадается, и на его концах возникают особые точки 0з4(0, 1) — сшитая из фокуса и седла и 02(я/2, 0)— сшитый узел (неустойчивый). Изоклина горизонтальных наклонов располагается на интервале О < ф < я/2 выше изоклины вертикальных наклонов, и сепаратриса седла О1, заканчивавшаяся при Я = х = 1 на устойчивом куске отрезка покоя, превращается в траекторию, накручивающуюся на предельный цикл, охватывающий цилиндр (бес- [c.434]

А — 1)/ 1 < р <(А + 1)/ л, на которых производная меняет знак. При (А — 1)/ л > 1 на полосе —л < ф < я будет только два состояния равновесия 0 п/2, 0)—седло и 02(л/2, 0)—неустойчивый узел. При (А—1)/ 1 = 1 изоклины смыкаются и возникает сшитая сложная особая точка (О, 1), качественно эквивалентная вырожденному седло-узлу без узловой области (гл. 4) (рис. 235). При (А —1)/р,<1 сложная особая точка распадается на две 0з(0, 1)— сшитый фокус и 04 (ф4, Р4)— седло. При (Я, + 1) / д. 1 [c.439]

Если фо невелико, то сложная особая точка Оз4(фо, (Я - 1)/ц) на интервале О <Сц< (п /2)фо сшивается из седла О4 и фокуса или узла Оз. Для [г>(я/2)ф7 сложная особая точка 0з4(0, 1) [c.442]

Качественный характер седла и седло-фокуса тождествен (в смысле, полностью аналогичном такому понятию, введенному для двумерных систем). [c.468]

Рассмотрим биллиардное отображение, соответствующее биллиарду в эллипсе. Покажите, что две точки, соответствующие длинному диаметру, являются седлами и орбиты, проходящие через фокусы, задают устойчивые и неустойчивые многообразия. [c.354]

У грубых динамических систем на фазовой плоскости могут быть только простые состояния равновесия типа фокус , узел и седло и притягивающие замкнутые фазовые траектории — устойчивые или неустойчивые предельные циклы. [c.312]

Рис. 15.6. К объяснению индексов Пуанкаре замкнутой кривой, окружающей одну или несколько точек равновесия а — j = О (внутри контура состояний равновесия нет) б— j = +1, центр (то же самое для узла и фокуса) в — j = -1, седло г — j = -2 ( = -1-1 = -2) д — ] = -1 lj = -1 + 1-1 = -1) е — j = +1 ( = —1 + 1 + 1 = +1) А — предельный цикл
Модель (19.2) можно рассматривать как нелинейный осциллятор с затуханием, где — аналог времени, а и — координата материальной точки. Уравнение потенциальной ямы имеет вид ТУ(и) = —Уи /2 + - - и /6. Состояния равновесия находятся в точках Ио1 = О и Ио2 = 2У. Для определения типа состояний равновесия составим характеристическое уравнение Зр —ир- - ио — У) = 0 (предполагалось, что и = Ио + - - и, и ехр(р )). Отсюда состояние равновесия Ио1 — седло, а Ио2 — узел при 1/ — 4/ЗУ > О и фокус, если 1/ — 4/ЗУ < 0. Фазовые портреты для различных значений и и соответствующие им изменения поля на фронте ударной волны приведены на рис. 19.2. Зависимости и от на всей оси получаются из аналогии модели (19.2) с нелинейным осциллятором [6]. Решение начинается при —оо, затем материальная точка, попав в потенциальную яму , колеблется в ней с затуханием, пока не достигнет значения и = 2У при ——оо. [c.393]

Седло, узел, фокус, центр. Невырожденная особая точка линейного векторного поля на вещественной плоскости бывает одного из следующих четырех типов седло, узел, фокус, центр (рис. 2). Пусть и Яг — собственные значения соответствующего линейного оператора А, отличные от нуля в силу предположения невырожденности. Тогда если Яг Яг<0, особая точка уравнения [c.25]

Особые точки, удовлетворяющие перечисленным условиям в точке складки, называются сложенным седлом, узлом и фокусом соответственно. Их интегральные кривые и их проекции на плоскость х, у) изображены на рис. 86, в, г (обозначения те же, что и на рис. 8 а). [c.39]

На диаграмме С, р эта граница распадается на две кривые гиперболического типа с асимптотами С=0 и р = 0. Граница области устойчивости узлов и фокусов, определяемая уравнением ЯСр — — Ь, представляет собой для второй диаграммы С, р гиперболу с осями координат в качестве асимптот и для первой диаграммы — прямую. Граница области особых точек типа седла дается уравнением [c.321]

Устойчивые и неустойчивые еостояния равновесия. Мы рассмотрели состояния равновесия с точки зрения их топологической структуры. При этом очевидно, что если не принимать во внимание направление движения по I, то топологическая структура устойчивого узла и фокуса и неустойчивого узла и фокуса одинакова. В то же время топологическая структура седла, очевидно, отлична от топологической структуры узла и фокуса. Однако часто в задачах, связанных с приложениями, состояния равновесия рассматриваются просто с точки зрения их устойчивости или неустойчивости без детализации их топологической структуры ). С этой точки зрения состояния равновесия разделяются на два типа. [c.160]

Как было показано выше (см. 7, п. 5, пример 3), эта система имеет два состояпия равновесия 0(0, 0) —седло и Л( —1, 0) — фокус или узел. Легко видеть, что при Ej = eg = О систему можно ироинтегри- [c.236]

В 22 рассматривается случай, когда оба характеристических числа равны нулю (б = 0). В этом с.лучае могут представиться семь возможностей — седло, узел, фокус, центр, седло — узел, а также выроячденное состояние равновесия (два гиперболических сектора) и состояние равновесия с эллиитическо областью (имеющее один эллиптический и один гиперболический сектор). Применяемый в этой главе метод исследования принад.лежит Бендиксону [33]. [c.362]

Структура разбиения на полупрямой и = я(Я-—1) + 1>1. При возрастании Л и л от значений Л = л = 1 вдоль полупрямой кусок изоклины на интервале О < ф < я/2 поворачивается вокруг точки ((я — 1)/2, Я ), и отрезок покоя распадается с возникновением трех особых точек Оз(фз, рз)— устойчивый фокус или узел, 0. ((я — 1)/2, я ) — седло с направлениями для сепаратрис, определяемыми уравнением я А + 2я ( 1-Ь л) А -Ь 4 = О, и 02(я/2, 0)— сшитый узел (неустойчивый). Контактная кривая с кривыми вырожденной системы (и = Я, = 1) при изменении параметров вдоль прямой будет р = я и, следовательно, всегда проходит через седло. Векторное поле в области р > 1 поворачивается при возрастании л по часовой стрелке, и поэтому со-сепа-ратриса, идущая в седло по направлению к < —2я не может пересекать интегральную кривую р = я е" вырожденной системы, касающуюся отрезка покоя как раз в той точке, в которой при и > 1 возникает седло, и входящую в седло по направлению к = —2я . Сепаратриса пересекает ось ф = О в точке р > > я е"" > 2 и входит в область выше максимума изоклины горизонтальных наклонов. Предельных циклов, охватывающих цилиндр, нет при любых значениях Я и л на рассматриваемой полупрямой. Структура разбиения фазового пространства для всех точек этой полупрямой будет одинакова и эквивалентна изображенной на рис. 169, S ( 4 гл. 16). [c.435]

Сложенные седла, узлы и фокусы. Контактная плоскость может коснуться поверхности уравнения. Для уравнения общего положения касание происходит в отдельных точках. Эти точки обязательно лежат на криминанте. В окрестности точки касания поле направлений порождается гладким векторным полем на поверхности уравнения, обращающимся в точке касания в 0. [c.39]

Смотреть страницы где упоминается термин Седло и фокус : [c.262] [c.315] [c.359] [c.136] [c.164] [c.177] [c.314] [c.468] [c.302] [c.319] [c.320] [c.322]

Смотреть главы в:

Качественная теория динамических систем второго порядка -> Седло и фокус

ПОИСК

Седло

Фокус

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...