Разрывы производных

На отраженном же слабом разрыве производные скорости вообще не испытывают скачка, но распределение скоростей имеет своеобразную логарифмическую особенность. Вычислив из функции (121,3) (сохранив в ней лишь первый член в скобках) координаты X и у в функции от Т1, 0, можно представить зависимость т) от при заданном у вблизи отраженного разрыва в следующем параметрическом виде [c.635]

Отметим, что в простой волне на характеристиках, разделяющих область движения от области с постоянными параметрами (в частности от области покоя в нестационарном течении), терпят разрывы производные параметров течения. [c.59]

Такими характеристиками, несущими разрывы производных являются характеристики АВ (рис. 2.7, а, в), отделяющие область покоя 1 от области движения в нестационарном одномерном течении, и характеристики АВ, D (рис. 2.8,а), АВ (рис. 2.8,6). и ЛВ и ЛС (рис. 2.8,в), ВС (рис. 2.8,г), АВ и АС (рис. 2.8,5), [c.60]

Сказанное здесь о разрывах производных от термодинамических функций, естественно, не распространяется на те случаи, когда дифференцирование приводит к потенциалу или координате состояния, например [c.26]

Формула Кармана обладает тем недостатком, что при ее дифференцировании нельзя получить физически правильные значения коэффициентов турбулентной вязкости. Предложенная в [17] и в других работах формула свободна от этого недостатка, не имеет разрыва производных и лучше описывает скорость на оси трубы [c.152]

Отметим, что если профиль очерчен дугами окружностей, то функция ol(s) на соответствующих участках линейна, а в точках сопряжения окружностей различных радиусов имеет изломы (разрывы производных = К = , где г — радиус кривизны контура профиля). [c.163]

Восприимчивость (Я, 0) испытывает более значительные колебания. Как видно из рис. 78, в некоторых диапазонах значений Я восприимчивость становится отрицательной, что свидетельствует о преобладании диамагнитного эффекта над парамагнитным. Критические поля Я = Я/, при которых функции /г(Я, 0), х Н, 0) испытывают разрывы производных, определяются из условия [c.293]

Если производные заданных функций о (s) и 0 (s) на дуге А В разрывны, например в точке С, то решения единственны лишь в областях АСР ВСР". Решения же, построенные в промежуточной области СР РР", имеют разрывы производных вдоль линий скольжения СР и СР". [c.288]

Существование и единственность указанного выше решения имеют место при выполнении условий гладкости дуги АВ и непрерывности начальных данных. Если же производные начальных данных разрывны в некоторой точке С, то упомянутые результаты будут справедливы лишь в треугольных областях АСР , ВСР". Решение можно строить и в остальной части области СР РР", но вдоль характеристик СР, СР" будут разрывны производные решения. Разрывы производных распространяются только вдоль характеристик, причем не могут исчезнуть вдоль последних. [c.151]

Пусть пространственная волна разрежения распространяется по области покоя, и на фронте ее не равны нулю первые производные газодинамических величин, а течение за волной достаточно гладкое (сильные разрывы не догоняют фронт волны разрежения). Тогда, если в какой-либо точке пространства xi, Ж2, жз, t происходит фокусировка слабого разрыва (в нуль обращается хотя бы один из радиусов кривизны главных нормальных сечений поверхности слабого разрыва), то в этой точке обращаются в бесконечность нормальные к поверхности разрыва производные давления и скорости — происходит явление градиентной катастрофы. [c.351]

Разрывы вторых производных происходят, следовательно, единственно из-за разрывов производных от потенциалов простого слоя, например, [c.212]

Отсюда легко заключить, что в рассматриваемой модели переход через скорость звука без разрыва производных модуля или аргумента скорости невозможен. Этот факт отражает особенность нашей модели, он связан с тем, что коэффициенты основных уравнений этой [c.150]

Уравнение (18.И) представляет собой соотношение между фурье-сопряженными от функций v z) и (г), т. е. от v z, 0) при 2 С О, дополненной нулем при 2 О, и от разрыва производной ди х, г)/дх при = 0, 2 > О, дополненной нулем при г С 0. Для установления этой связи введем фурье-сопряженную от v x, г) при всех х, а не только при х = й, как выше. Эта функция зависит и от х, и от к [c.184]

Дифференцируя (18.20) по л и полагая лс = 0, получим требуемое соотношение между разрывом производной функции У х, Н) и значением этой функции при д — О ( ) [c.184]

Аналогично, дифференцируя соотпогаения (1.16), (1.17) по любому направлению п, присоединяя соотпогаения (1.9), (1.11), получим исходную систему уравнений. Переходя к разрывам производных компо- [c.87]

Вследствие гипотезы сплошности среды функции ж предполагаются непрерывными. Как показано в [15], для разрывов производных таких функций имеют место следующие геометрические и кинематические условия совместности [c.763]

Кроме кинематических условий (4.5), нам следует подчинить разрывы производных от различных гидродинамических элементов условиям динамическим, проистекающим оттого, что элементы эти должны, в положительной и отрицательной областях отдельно, удовлетворять уравнениям гидродинамики. Считая, что v , можем написать [c.23]

Мы говорили о скорости распространения поверхности слабого разрыва для производных первого порядка. Можно показать, что скорость б распространения любого слабого разрыва (т. е. разрыва производных любого порядка) будет либо 6 = 0, либо [ 0 = а. Напротив, как мы вскоре увидим, скорость О для сильного разрыва со скоростью звука никак не связана. [c.24]

Из теории уравнений в частных производных известно, что характеристики — это те кривые, вдоль которых распространяются разрывы производных Л, /3 — слабые разрывы решения. Слабые разрывы могут также распространяться вдоль линий тока — если полное давление, как произвольная функция претерпевает слабые разрывы на некотором множестве линий тока. В динамике идеального газа обычно предполагается, что это множество конечно, и, следовательно, ро ф) — кусочно непрерывно дифференцируемая функция. Более того, и решение обычно ищется в классе функций, кусочно непрерывно дифференцируемых, т.е. разрывы первых производных скорости и давления распространяются лишь по конечному множеству характеристик. (Необходимое условие этого — кусочная гладкость границы области определения решения.) В дозвуковой области течения, где действительных характеристик не существует, слабые разрывы могут распространяться лишь вдоль линий тока. [c.25]

Решение (9) аналитично во всей области определения. Однако кроме него на базе формул (9) может быть построено кусочно аналитическое решение с разрывами производных вдоль характеристик, проходящих через точку Kj . Это решение имеет вид (9), но с разными постоянными Ai A2 вместо А в областях (р —А ф /А., (р Аф /2. Первая соответствует М-области, вторая — области определения решения задачи Коши с данными на оси симметрии ф = О при (р 0 и = А2(р v = О для вырождающейся в точке гиперболической системы (7). [c.59]

Условия (3.12) называются условиями кинематической совместности. Из этих условий следует, что на заданной поверхности слабого разрыва достаточно знать одну функцию х(д , у, г, 1), чтобы определить все разрывы производной данного параметра далее, если по одной производной разрыва нет, то и другие производные этого параметра не терпят скачка. Очевидно множитель пропорциональности для каждого параметра свой. [c.129]

Можно показать, что поверхность разрыва производных любого порядка от параметров газа распространяется со скоростью звука. [c.132]

Воспользуемся выражением для первой вариации 61 в форме (2.21), но в качестве контрольного контура выберем аЛЬ, как это было сделано в 3.2.4. При выводе выражения (2.33) было установлено, что вариация I за счет перемещения точки к по направлению характеристики второго семейства равна нулю. Это объясняется тем, что в силу непрерывности функций в точке к имеет место равенство Фье = Фм- Характеристика ак является линией разрыва производных от функций а(х,у), в х,у). Поэтому и производные от Ф е и Фнь на ак не совпадают. Имея ввиду вычисление второй вариации, включим в выражение для 61 и член с 6ул2 В этом случае будем иметь [c.108]

Открытие Х-перехода в жидком гелии побудило Эренфеста [12] рассмотреть этот тип перехода в более обш их чертах. Эренфест предложил различать типы переходов по характеру разрывов производных термодинамических потенциалов. Род перехода ои определил в зависимости от того, какая из производных претерпевает разрыв—первая, вторая или третья. Так, переход, сопровождаюш ийся поглощением скрытой теплоты (как, например, плавление), нужно рассматривать как переход первого рода, в то н е время Х-переход является переходом второго рода, так Kaii при этом переходе нет разрыва в тепловой энергии, а происходит лишь скачок теплоемкости. Из смещения Х-точки с давлением следует, что [c.788]

Важно подчеркнуть, что в силу определения характеристики являются линиями, ограничивающими области распространения малых возмущений. На характеристиках могут иметь место слабые разрывы производных газодинамических параметров в отличие от сильных разрывов, возникающих на ударных волнах и контактных поверхностях. В соответствии с отмеченными свойствами в течениях со слабыми разрывами характеристики разделяют области различных аналитических решений. Такая ситуа-"иия имеет место, например, в простой волне, а именно в течении Ирандтля Мейера и волне Римана (см. 2.3), когда область поступательного течения отделяется характеристикой от течения р азреженм или сжатия. Эта граничная характеристика является Лйнйёй слабого разрыва. [c.44]

Ui( t — x), МЫ предлшагаем, что функции щ по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и Сг требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. [c.441]

Функция неоднородности старения р (х) в уравнении для прогибов предполагается ограниченной, кусочно-непрерывно диффе-.ренцируемой и имеющей конечное число точек разрыва производной. [c.260]

Допуская разрывы производных полной энергии П(/, р), что будет, например, в случае системы, содержащей односторонние связи, можно получить точки бифуркации, изобраясениые на рис. 18.74, две. [c.416]

На основании дифференциальных соотношений термодинамики легко устанавливается наличие разрыва производных и от других термодинамических функций. Для дальнейших выводов термодинамической скорости звука и показателя изоэнтропы рассмотрим лишь скачок величины (dvldp)s на пограничной кривой. [c.19]

Нетрудно убедиться, что во всех формулировках, приведенных выгае, авторы, говоря о тропопаузе, имеют в виду подвижную гакалу порядков и берут за основу классификации функций Т, и, v, w. Но Адамару и Лихтенгатейну, тип тропопаузы, предлагаемый этими высказываниями, следует отнести к разрывам второго порядка так как речь идет о разрывах производных первого порядка от компонентов скорости и, v, w. [c.215]

Пока разность А,- небольшая, используется обычный квадратичный критерий ( (A.) = A ), а при больших остатках, превышающих некоторый порог, результат измерения считается аномальным и учитывается с меньшим, чем А весом О Ч (А )<А . Выбор функций FIA,) осуществляется в классе функций, не имеющих разрыва производной в критической точке (А,- равно пороговому значению), что дает возможность применять градиентные методы, в частности методы итеративного МНК. При этом для произвольной Ч (А) методы Флетчера — Г ранта — Хеблена и Мудрова — Кушко могут привести к различным итерационным процессам. Объясняется это тем, что в общем случае веса p p по (1.97а) и (1.99) не совпадают. Например, если функция Ч (А,) имеет вид, представленный на рис. 1.7, в, т. е. при больших А,- функция потерь постоянна и веса р,р по (1.97а) равны p. = kA , то г 5(А,) при тех же А,- имеет нулевое значение, т. е. веса / ,р по (1.99) равны нулю и соответствующие измерения попросту не учитываются. [c.56]

Петровский И. Г., О скорости распространения разрывов производных смещений иа поверхности неоднородного упругого тела произвольной формы, ДАН СССР, XLVII, № 4 (1945). [c.187]

Несмотря на наличие разрыва производной, функции (8.49) и (8.50) часто вполне достаточны для описания профилей ветра и температуры в приземном слое при неустойчивой стратификации. В тех же случаях, когда желательно иметь функцию /(С) с непрерывной производной, можно, например, следуя Пристли (1960а), отказаться от определения значений С1 и Сг из эмпирических данных, а положить С1==—(Сг/З) и Сг=—Того [c.398]

Помимо сред плоскослоистой структуры, в связи с поверхностными волнами рассматривались и непрерывно-неоднородные среды (В. М. Бабич и И. А. Молотков, 1966), а также области с неплоскими границами. В последнем -случае изучались высокочастотные волны, быстро затухающие с удалением от границы. Предельный случай этого рода — распространение разрыва производной от смещения по граничной поверхности (И. Г. Петровский, 1945). Для криволинейных границ простейших типов (сфера, цилиндр) могут быть получены точные частные решения задачи о поверхностных волнах. Помимо упомянутых здесь типичных поверхностных волн, были обнаружены и изучены волновые движения, имеющие характер поверхностных волн, но формирующиеся в более сложных условиях (Л. П. Зайцев, 1960 Г. С. Подъяпольский и Ю. И. Васильев, 1960). [c.298]

Однако большинство скачков, начинающихся на звуковой линии, инициируется слабым разрывом (разрывом производных) вдоль характеристики, приходящей от стенки сопла к его центру К можно сказать, что такие скачки вызваны неаналитичностью контура в точке, отделяющей его часть, принадлежащую М-области. Особый случай представляет пример сопла со скачком уплотнения к = 20/11, гл. 2, 4) при аналитическом контуре стенки сопла. В [98] (см. гл. 2, 4) приведен пример возникающего в центре сопла слабого разрыва (А = 4/3). [c.177]

В соответствии с правилами матричного исчисления числители выражений для А > и В > представляют собой матрицы размерности ЫхМ, а знаменатели являются скалярами. Определив новое направление поиска, проводят одномерный поиск и продолжают итерационный процесс. При выполнении описываемого алгоритма поиск после первой попытки ведется в тех направлениях, в которых целевая функция в ближайщей окрестности имеет значения, приближающиеся к оптимальному. Лишь в редких случаях эти направления совпадают с направлением градиента. Поэтому данный алгоритм часто называют методом отклоненного градиента. Указанное свойство метода Дэвидона — Флетчера — Пауэлла позволяет обходить трудности, связанные с разрывами производных в пространстве проектирования. Широко распространено мнение, что этот метод является наиболее эффективным из всех градиентных методов. В отличие от метода Флетчера — Ривса он дает полную ин( юрмацию [c.178]

Этот метод [12] облегчает поиск и не требует вычисления производных. Поиск ведется вдоль линий разрыва производных в предположении, что смещения в пространстве проектирования, оказавшиеся удачными на ранней стадии поиска, могут привести к успеху и на его более поздних стадиях. Метод Хука — Дживса предназначен для отыскания минимума унимодальной функции многих переменных [c.178]

После нескольких изменений направления поиска метод Хука — Дживса обеспечивает совпадение распределения расчетных точек с линией разрыва производных. Обычно после завершения выбора схемы поиска сдвиг на каждом следующем шаге увеличивается, пока не превысит величину исходного шага в 10 или даже в 100 раз. Поэтому в случае, когда сдвиг оказывается неудачным, единственный способ продолжить поиск — вернуться к наиболее удачной из базовых точек и начать все сначала. Тот факт, что данный алгоритм обладает свойством [c.180]

Метод конфигураций Розенброка [17] основан на поиске минимума вдоль линий разрыва производных и часто оказывается эффективным, когда другие методы не позволяют получить решение. Его нередко называют методом вращения осей координат , поскольку исследование в окрестности выбранной точки ведется именно таким способом. В отличие от предыдущих методов, в которых исходным переменным сообщают независимые приращения, в методе Розенброка система координат поворачивается так, чтобы одна из осей была направлена вдоль линии разрыва производных, положение которой определяется в результате предварительного исследования. Остальные оси образуют с ней ортогональную систему координат. Метод Розенброка основан на предположении об унимодальности целевой функции и предназначен для отыскания минимума функции многих переменных вида [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...