Квазилинейные уравнения первого порядка

Метод послойного сглаживания. В последние годы применяют метод сквозного расчета, основанный на послойном сглаживании решений. Для того чтобы пояснить идею метода, рассмотрим снова модельное квазилинейное уравнение первого порядка (6.5). Предположим, что начальная кривая u=Uo x) содержит участок, порождающий волну сжатия, которая переходит в ударную волну. Рассматривая последовательность кривых u=u x)=u nx, х), п—0, 1, 2,..., будем наблюдать постепенное увеличение крутизны кривой на участке волны сжатия. Для того чтобы препятствовать образованию разрыва (ударной волны), введем сглаживание [c.155]

Полученную систему уравнений при решении конкретных задач необходимо интегрировать с учетом конкретных граничных и начальных условий. Система уравнений Эйлера представляет собой систему квазилинейных уравнений первого порядка. В случае На, = О получим основную систему уравнений классической газодинамики. В курсе газовой динамики показано, что эта система гиперболического типа. Поскольку при решении уравнений Эйлера с соответствующими начальными и граничными условиями мы получаем с определенной степенью точности информацию о реальных течениях сжимаемых газовых сред, уместно ввести понятие о математической модели реального явления. [c.135]

Ниже на простейшем примере одного квазилинейного уравнения первого порядка будет продемонстрирована основная схема применения характеристического ряда для решения смешанной задачи Коши. Будет также показано, что применение специальных преобразований переменных позволяет эффективно описать окрестность зоны градиентной катастрофы. [c.230]

В настоящей заметке предлагается метод представления решений квазилинейных гиперболических уравнений, обобщающий результаты работ [2-5] в отношении возможностей выбора системы функций Sjj. Подробное рассмотрение проводится для одного квазилинейного уравнения первого порядка вида [c.332]

Описание нестационарного течения сводится к квазилинейному уравнению первого порядка — уравнению дрейфа [c.295]

После несложных преобразований система (6) сводится к двум комплексным квазилинейным уравнениям первого порядка, которые могут быть легко проинтегрированы численно [c.366]

Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка без условия выпуклости как пределов решений параболических уравнений с малым параметром. [c.401]

Возьмем систему двух однородных квазилинейных уравнений первого порядка (9.18) при О (с = 0) [c.65]

Таким образом, используя метод характеристик, можно заменить систему квазилинейных уравнений первого порядка с частными производными эквивалентной ей системой обыкновенных дифференциальных уравнений (10.11) вдоль характеристик. [c.71]

Напомним предварительно некоторые определения для систем квазилинейных уравнений первого порядка [c.50]

Общее квазилинейное уравнение первого порядка линейно по и рж, но может содержать свободный член. Коэффициенты при р , Рж и свободный член могут быть произвольными функциями переменных р, х и 1. Если коэффициент при р отличен от пуля, то уравнение можно разделить на зтот коэффициент и записать в виде [c.66]

Рассмотрим квазилинейную систему дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными [c.49]

Если эта система уравнений может быть разрешена относительно производных искомых функций по какому-либо одному переменному, например по д , то говорят, что она приводима к нормальной форме. В нормальной форме квазилинейная система уравнений первого порядка имеет вид [c.49]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

Квазилинейное дифференциальное уравнение первого порядка [c.257]

Общий вид квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка [c.257]

Вычтя из первого уравнения (3.11) второе, сведем систему к одному квазилинейному уравнению второго порядка гиперболического типа [c.78]

Граничные задачи для квазилинейных гиперболических систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными [c.65]

Уравнения 1 азовой динамики (3.16) образуют систему квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка из пяти уравнений для пяти искомых функций от четырех независимых переменных. Фундаментальное свойство этой системы состоит в ее гиперболичности и описывается с помощью характеристик. Поэтому вначале уместно напомнить ряд общих фактов, связанных с понятием характеристик. [c.51]

Рассматривается система из т квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка для т искомых функций и = и ,. .., ") от п независимых переменных х -= (х ,. ..,. т") [c.51]

Подробное описание (с повсеместным выявлением аспектов нелинейности) двух конкурирующих математических моделей трёхмерной теории упругости-, это,во-первых, краевая задача, состоящая из системы трёх квазилинейных уравнений второго-порядка с частными производными, к которой добавлены те ил№ иные краевые условия, и, во-вторых, задача минимизации соответствующей энергии (главы 1—5). [c.8]

Уравнение первого порядка (1.12) называется квазилинейным, так как оно нелинейно по ф, но линейно по производным ф и фд.. В общем нелинейном уравнении первого порядка для функции Ф х, 1) допускается произвольная функциональная связь между ф, Ф( и фа . Об этом более общем случае, а также о его распространении на уравнения первого порядка с п независимыми переменными речь пойдет в гл. 2. [c.13]

Рассмотрение квазилинейного уравнения подняло много вопросов, требующих дальнейшего изучения. Прежде чем приступить к этому, заметим, однако, что аналогичные построения, использующие характеристики, можно провести в общем случае произвольного нелинейного уравнения первого порядка. Эти результаты нам также понадобятся в дальнейшем. [c.69]

Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка. [c.76]

Получившееся уравнение (ХУ.53) является квазилинейным (так как при производной стоит коэффициент/ (з), зависяш ий от з) дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. [c.338]

Квазилинейное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка (8.3.3) преобразуется к виду (8.1.5), рассматривавшемуся в связи с анализом безынерционных кинематических волн [c.315]

Имеем два квазилинейных дифференциальных уравнения с частными производными первого порядка относительно толщины пограничного слоя. [c.147]

В теории пластичности, газовой динамике, статике сыпучей среды и других разделах механики встречаются системы из двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка для двух функций и, V двух независимых переменных х, у [c.311]

Получено представление решений смешанных задач Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и аналитическими коэффициентами в виде рядов по некоторым специальным системам функций, зависящих от характеристической переменной. Исследована сходимость рядов для конкретных систем функций. Приведены результаты численных расчетов. [c.332]

В разд. 3 определяющее уравнение объединяется с уравнением сохранения количества движения при плоской деформации, и в результате получается квазилинейная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Переход от этой системы уравнений к уравнениям в конечных разностях вкратце обсуждается в разд, 4, где вво- [c.150]

Объединив это уравнение с соотношениями (7), (8), получим квазилинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с независимыми переменными t, X. Нетрудно показать, что при выполнении определенных ограничений, наложенных на полиномиальные разложения в (7) и (8), эта система уравнений есть система гиперболического типа. [c.154]

Это система семи квазилинейных уравнении первого порядка содержит семь неизвестных функций. Введя вектор-фуп1 цию [c.311]

Многие физические задачи приводят к системам квазилинейных уравнений первого порядка. Такие уравнения линейны по производным первого порядка от зависимых переменных, но их коэффициенты могут быть функциями от зависимых переменных. Если такие уравнения описывают волновое двинчение, то во многих вопросах можно разобраться, изучая плоские волны. Учитывая это, мы 1тачнем со сл чая двух независимых переменных. Этими двумя переменными часто являются время и одна пространственная координата, так что будем обозначать их через и ж и использовать соответствующую терминологию, хотя наши рассуждения применимы к любым системам с двумя независимыми переменными. Если зависимые переменные обозначить через х,Л), I = 1,. . . . . ., п, то общая квазилипейпая система первого порядка будет иметь вид [c.115]

Квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка (1)—(3) образуют замкнутую систему относительно пяти неизвест- [c.90]

Неоднородное квазилинейное дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в общем виде следующим обра-зом [c.253]

В дальнейшем (обзор работ дан в [14]) этот метод был обобщен для некоторых систем базисных функций Sk, в частности при Sk (f) = для случая квазилинейных гиперболических систем уравнений, и хорошо зарекомендовал себя при решении ря да сложных пространственных задач газовой динамики. Оказалось, что коэффициенты go gi определяются геометрией поверхности (7) (в том числе и для многомерного слу чая), коэффициент д2 — из нелинейного уравнения первого порядка, а последующие коэффициенты — из линейных дифференциальных уравнений. Применение специаль ных независимых переменных позволило для большой серии пространственных задач газовой динамики проинтегрировать в квадратурах системы уравнений для gk и полу чить их явные представления. Решение конкретных задач показало быструю сходимость зядов (6) и возможность их применения для описания зон течения газа с большими гра диентами газодинамических величин, в частности, в зонах сильных волн разрежения, расчет которых с высокой точностью обычными численными методами весьма труден. [c.20]

В [15] для систем линейных уравнений первого порядка получено обыкновенное дифференциальное уравнение (уравнение переноса), в соответствии с которым скаляр а распространяется по бихарактеристическим лучам, и указано на возможность получения уравнения переноса для квазилинейных систем. Подробно уравнение переноса для случая системы двух квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными (когда а распространяется вдоль характеристик) изучено в работе [16]. Ниже выведем уравнение переноса для системы (0.1), (0.2) в случае примыкания к покою. Оно будет существенно использовано в дальнейшем. [c.94]

Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих функций (2.7) или (4.4), являются в общем случае неоднородными квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых числах Кнудсена. По предположению аппроксимирующая функция при определенном выборе ВХ0ДЯИ1ИХ в нее моментов дает точное решение уравнения Больцмана при Кп = оо. т. е. когда правая часть равна нулю. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удовлетворять любой системе однородных (без интегральной части) моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Но так как при Кп = со однородная система моментных уравнений при этих граничных условиях имеет решение, то и для неоднородной системы (т. е. при произвольном числе Кнудсена) справедлива та же постановка граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения. [c.125]

Нелинейной заменой искомых функций, используя алгсбраичность условия текучести, можно систему уравнений Д.ТЯ напряжений, описывающую плоскую задачу, I-вести к квазилинейной гиперболической системе уравнений первого порядка для двух неизвестных функций. При интегрировании этой системы удобно перейти к специальным криволинейным координатам, так называемой сетке линий скольжения, являющимися характеристиками этой системы. [c.115]

Уравнения (3.72), (3.76) и (3.84) образуют систему гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными, которыми являются осевая координата х и время Решение этой системы находится путем интегрирования. Функцию можно проинтегрировать на некотором интервале, если она непрерывна на этом интервале. Метод характеристик позволяет проинтегрировать известные непрерывные функции, вид которых типичен для рассматриваемой системы уравнений. Поэтому метод характеристик представляет собой, по существу, строгую математическую процедуру замены квазилинейных неоднородных уравнений в частных производных системой общих дифференциальных уравнений, обычно называемых совместными уравнениями, которые справедливы и интегрируемы на поверхностях, называемых характеристиками или характеристическими поверхностями. Мы дали в какой-то степени упрощенное описание этой процедуры более строгое математическое описание можно найти в классической монографии Куранта и Фридрихса [50] или в содержательной работе Цукроу и Хофмана [41]. [c.340]

Таким образом, замена переменных (3) определяется систе-Mdil п квазилинейных уравнений в частных про11зводных первого порядка с искомыми функциями Ut,. .Un и с начальными ус-Допипми (6). [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...