Уравнение Больцмана и законы сохранения

Упаковочный множитель I 94 Упругое рассеяние и закон Видемана — Франца II 322, 323 Уравнение Больцмана I 318—328 вариационный принцип I 327, 328 и законы сохранения I 327 обоснование приближения времени релаксации для изотропного упругого рассеяния на примесях I 324—326 решение в приближении времени релаксации I 319, 320 См. также Приближение времени релаксации [c.412]

Как видно из формулы (85.9), уравнение Больцмана представляет собой сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, приближенное решение которого возможно только в некоторых весьма частных случаях. Однако, как мы увидим в последующих параграфах, уравнение Больцмана позволяет получить ряд важных следствий весьма общего характера. Ограничиваясь рассмотрением только упругих столкновений и считая массы молекул одинаковыми, запишем законы сохранения импульсов и энергии при ударе в форме [c.470]

Однако прежде чем перейти к построению этого решения, заметим. что часто делаются попытки установления условий скольжения без решения уравнения Больцмана. Можно было бы пытаться отыскивать условия скольжения, используя законы сохранения, подобно тому как это делается при выводе условий Гюгонио в ударных волнах. В качестве контрольных поверхностей можно взять, например, линию 55 и стенку. Однако легко видеть, что этот вывод не может [c.318]

Теорема (закон сохранения момента количества движения). Для любой сплошной среды, удовлетворяющей уравнению неразрывности (5.3), уравнениям движения (6.7) и постулату Больцмана (7.1), мы имеем [c.25]

Чтобы получить законы сохранения из уравнения переноса Больцмана, надо умножить обе части этого уравнения на х и затем проинтегрировать по всем V. Член, учитывающий столкновения, обращается в нуль согласно (5.8), и мы имеем >) [c.113]

Хотя эти законы сохранения являются точными, они имеют практическую ценность только в том случае, если мы решим уравнение переноса Больцмана и воспользуемся найденной функцией распределения для вычисления величин (5.24) — (5.29). Несмотря на то что эти величины имеют вполне определенные названия, их физический смысл, если таковой имеется, может быть установлен только после определения функции распределения. Мы увидим, что если эта функция известна, то законы сохранения становятся уравнениями гидродинамики, имеющими вполне определенный физический смысл. [c.118]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

Уравнение (18.8.1), так ще как и классическое уравнение Больцмана, представляет собой зфавнение баланса, содержащее члены, соответствующие прибыли и убыли . Столкновительный член описывает скорость изменения ф (р ), обусловленного двумя процессами убылью за счет столкновений частиц с импульсами Рх и р2, в результате которых частицы оказываются в состояниях с импульсами pi + Й1, Ра — Й1, и прибылью за счет обратных столкновений, конечными состояниями которых являются р и pj. Отметим, что аргумент б-функции в сечении рассеяния (18.8.2) этих процессов представляет собой разность энергий начального и конечного состояний. Следовательно, произвольное рассматриваемое столкновение возможно лишь в том случае, если оно удовлетворяет закону сохранения энергии. Число столкновений первого типа пропорхщонально вероятности появления частиц с импульсами Pi и р2, т. е. произведению ф (р ) ф (рг) (аналогично классическому случаю), а также вероятности того, что конечные состояния Pi -Ь Й1, р2 — Й1 пусты, т. е. произведению [1 — [c.252]

Первый член этого выражения представляет собой не что иное как интеграл столкновений Больцмана-Боголюбова [см. выражение (3.1.73)] ). Второй член, описывающий основной вклад эффектов запаздывания, впервые был получен Климонтовичем [34]. Им же была показана необходимость учета этого члена в законах сохранения энергии и импульса, включающих главные поправки по плотности к неравновесным термодинамическим величинам. Более подробное обсуждение свойств кинетического уравнения с интегралом столкновений (3.3.5) читатель найдет в книге [35]. [c.199]

Другой крайний случай — ударные волны бесконечно большой интенсивности. Грэд [115] предположил, что предел / при 8 >оо существует (для операторов с конечной частотой столкновений) и выражается через сумму величины, кратной дельтафункции, которая сосредоточена в точке, соответствующей скорости набегающего потока, и сравнительно гладкой функции, для которой нетрудно вывести уравнение. Последнее, видимо, более сложно, чем само уравнение Больцмана, но предполагаемая гладкость позволяет надеяться на получение простого приближенного решения. Проще всего в качестве гладкого остаточного члена взять максвеллиан [115], параметры которого определяются из законов сохранения. [c.413]

Исследования Планка отличаются глубиной проникновения в физическую сущность изучаемых явлений, широтой охвата, строгостью обоснований и выводов. Его острый, критический ум, большой талант исследователя, прекрасные знания современного состояния науки и истории ее развития неоднократно приводили его к исключительно важным открытиям. Они позволяли ему находить новые особенности и неоткрытые стороны явлений, которые до того, казалось, были полностью изучены. Так было даже с первыми его исследованиями, посвященными закону сохранения энергии, установлению основных особенностей необратимых процессов, развитию второго начала термодинамики и выявлению свойств энтропии. Эти исследования привели Планка к установлению термодинамического метода изучения процессов — метода термодинамических потенциалов. Это можно видеть также в его работах, посвященных исследованиям Арениуса, Больцмана, Нернста и др. И всюду Планк, применяя термодинамический метод исследования, находит основания для углубления и развития высказанных законов, научных положений, выявления еще не открытых их особенностей. Так, в уравнении Больцмана 5 = й1п IV Планк показал сущность величины к и вычислил [c.604]

Термин молекулярный диффузионный перенос охватывает явления диффузии, теплопроводности, термодиффузии и вязкости. Эти явления описываются некоторыми частями уравнений сохранения массы, количества движения и тепла, приведенных в предыдущем параграфе (см. уравнения (2.1.57)-(2.1.60)). В каждое из этих уравнений входит дивергенция потока некоторой величины, связанной, хотя бы и неявно, с градиентами термогидродинамических параметров (так называемыми термодинамическими силами). Существуют два способа получения линейных связей определяющга соотношений) между этими потоками и сопряженными им термодинамическими силами, основывающихся на макроскопическом (феноменологическом) и кинетическом подходах. Кинетический подход связан с решением системы обобщенных уравнений Больцмана для многокомпонентной газовой смеси и до конца разработан только для газов умеренной плотности, когда известен потенциал взаимодействия между элементарными частицами (см., например, Чепмен, Каулинг, 1960 Ферцигер, Капер, 1976 Маров, Колесниченко, 1987)). Феноменологический подход, основанный на применении законов механики сплошной среды и неравновесной термодинамики к макроскопическому объему смеси, не связан с постулированием конкретной микроскопической модели взаимодействия частиц и годится для широкого класса сред. В рамках феноменологического подхода явный вид кинетических коэффициентов (коэффициентов при градиентах термогидродинамических параметров в определяющих соотношениях) не расшифровывается, однако их физический смысл часто может быть выяснен (например, для разреженных газов) в рамках молекулярно-кинетической теории Маров, Колесниченко, 1987) [c.85]

По ходу вывода макроскопических уравнений сохранения из кинетического уравнения Больцмана сделаем два замечания во-первых, при применении стандартной процедуры вывода макроскопических уравнений сохранения методом моментов (умножение исходного кинетического уравнения на определенную величину и последующее интегрирование) мы, естественно, должны получить в качестве первого уравнения уравнение сохранения массы. Для этого уравнение (1.183) следует умножить на массу фотона и проинтегрировать по всем ш и Й. Поскольку масса фотона равна нулю, в уравнения сохранения для излучения не входит уравнение сохранения массы. Второе заключение сводится к следующему. Метод моментов, вообще говоря, позволяет получить бесконечный ряд уравнений типа законов сохранения. Первые три уравнения, получаемые таким образом, т., е. умножением исходного кинетического уравнения соответственно на массу, импульс и энергию частиц и последующим интегрированием по всем частицам (в нашем случае фотонов по частоте и направлению), отождествляются с микроскопическими уравнениями сохранения массы, импульса и энергии. Система этих уравнений сохранения является неполной, т. е. число неизвестных макроскопических параметров в этих уравнениях превышает число уравнений. Конкретно в случае фотонного газа неизвестными являются величины плотности энергии излучения, потоки излучения и тензора давления излучения, т. е. десять скалярных величин (тензор давления излучения — симметричный тензор), тогда как набор уравнений сохранения ограничивается четырьмя уравнениями. Можно было бы пытаться получить недостающие соотношения тем же методом, рассматривая более высокие моменты. Например, умножая исходное уравнение на поток энергии частицы и интегрируя по частицам, мы получим уравнение типа уравнения сохранения для потока тепла и т. п. JMoжнo показать, что система получающихся таким образом уравнений никогда не будет замкнутой в новые уравнения войдут новые переменные и т. д. В этом смысле задача интегрирования бесконечной системы моментов полностью эквивалентна задаче интегрирования исходного кинетического уравнения. Именно этой задаче посвящена третья глава настоящей книги. [c.74]

Изложим вкратце основные этапы вывода уравнения Больцмана, ограничиваясь простейшим случаем одноатомного газа. Предположим, что молекулы газа можно моделировать идеально гладкими и идеально упругими шариками с диаметром й. Таким образом, предполагаем, что при ударе молекул не происходит взаимного превращения внутренней энергии и энергии поступательного движения, нет потерь энергии вследствие деформации при ударе. Считаем, что возможны только бинарные столкнове ния, длина среднего пути свободного пробега достаточно велика по сравнению с диаметром молекулы, все направления движения равновероятны и удовлетворяются ньютоновские законы сохранения количества движения и энергии. [c.602]

На переднем краю зоны, где температура ниже Тк, излучение по-прежнему неравновесно и справедливо решение типа (7.54), (7,55), в котором Т, S ж и экспоненциально спадают с оптической толщиной. В точке, где температура достигает величины Тк, плотность излучения становится порядка равновесной и поток S порядка стефан-больцма-новского потока аГ. При дальнейшем продвижении по направлению к разрыву поток излучения растет в силу закона сохранения (7.50) пропорционально температуре S Т), т. е. становится меньше стефан-больцмановского потока Это означает, что в области температур, где Т > Тк, односторонние потоки противоположного направления (которые порядка аГ ) в значительной степени компенсируют друг друга, генерация излучения в каждой точке сравнима с поглощением и, следовательно, плотность излучения близка к термодинамически равновесной. Другими словами, в указанной области зоны прогревания излучение находится в локальном равновесии с веществом и перенос излучения имеет характер лучистой теплопроводности. Поток S теперь определяется градиентом температуры и малость его по сравнению со стефан-больцмановским соответствует тому, что температура мало меняется на расстоянии порядка длины пробега света. Чтобы получить решение в зоне лучистой теплопроводности, следует заменить в уравнении диффузии (7.43) плотность [c.417]

В рамках данного подхода уравнение Больцмана решается конечно-разностным методом на фиксированной пространственно-скоростной сетке. Для вычисления интеграла столкновений применяется проекционный метод [8,9], обеспечивающий строгое вьшолнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также обращение интеграла столкновений в ноль на локально-максвелловской функции распределения. Последнее свойство значительно повышает точность расчета при малых числах Кп. Для вычисления интеграла столкновений применяются многомерные сетки узлов интегрирования, метод Монте-Карло не используется. На каждом временном шаге сначала строится кубатурная сетка, которая затем применяется во всех узлах физического пространства для вычисления интегралов столкновений. В типичных примерах использование одной и той же сетки сокращает время счета почти на два порядка. [c.160]

При решении кинетического уравнения Больцмана конечно-разностными методами важен вопрос будет ли интеграл столкновений после аппроксимации стремиться к интегралу столкновений Больцмана, когда шаг сетки в пространстве скоростей стремится к нулю Основным критерием точности вычислений является вьшолнение законов сохранения. В методе [8] законы сохранения удовлетворяются приближению в пределах ошибки вычисления и используются как мера точности. В методе [11] выполняется закон сохранения массы, в [5] развит метод коррекции промежуточного решения, делающий метод консервативным. В консервативных методах [12-16] используется специальный выбор узлов кубатурной формулы, при котором скорости до и после столкновения принадлежат одной сетке дискретных ординат. Благодаря этому законы сохранения выполняются точно при каждом столкновении. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...