Произведение динамических систем

Динамическая система (М, //, (р) называется косым произведением динамических систем (X, р, 8) и (У, д, Т ). [c.143]

Пример П15.1. Если = Т — постоянная функция, то (р = ЯХТ, и косое произведение есть не что иное, как произведение динамических систем (X, р, 8) и (У, q, Т). [c.143]

Прямое произведение динамических систем [c.5]

Кроме того, функция распределения вероятности зависит только или от координаты или только от импульсов. В квантовой механике, ассоциируемой с волновой функцией ц , в отличие от классической механики, квантовое состояние определяется только или координатой или импульсом. И. Пригожин представил функцию квантового состояния ц/ как амплитуду вероятности, для которой соответствующая вероятность р задается произведение амплитуды ij (q) и ц/(я ). Так что, функция квантового состояния у есть функция двух наборов переменных либо координат q и q , либо импульсов р и р . В эволюции квантовых систем И. Пригожин отводит ключевую роль резонансам Пуанкаре, чуждым локальному описанию поведения системы на уровне траекторий. Пуанкаре рассмотрел динамическую систему как характеризуемую суммой кинетической энергии ее частиц и потенциальной энергии, обусловленной их взаимодействием. Если взаимодействие отсутствует (потенциальная энергия равна нулю), то траектория движения частиц описывается интегрируемыми функциями. Пуанкаре доказал, что динамические системы в большинстве случаев являются неинтегрируемыми. Он также [c.66]

Оселедец В. И., Марковские цепи, косые произведения и эргодические теоремы для общих динамических систем. Теория вероятностей и ее применения, 1965, 10, № 3, 551—557 [c.108]

Особенности проектирований важны также в теории бифуркаций положений равновесия динамических систем. В этом случае проектируемое многообразие лежит в произведении пространства параметров и фазового пространства динамической системы оно образовано положениями равновесия для всех значений параметра. Особенности проектирований этого многообразия на пространство параметров ответственны за бифуркации положений равновесия при изменении значений параметров. [c.158]

Таким образом, для определения наибольших напряжений и перемещений при ударе напряжения и перемещения, найденные в результате расчета системы на силу Р, действующую статически, следует умножить на динамический коэффициент /Сд или рассчитать систему на действие статической силы, равной произведению Рк . [c.515]

Обратим внимание на то, что в выражении (118) полной кинетической энергии системы с двумя степенями свободы имеется член с произведением скоростей л и ф и что это выражение может быть либо положительным, либо отрицательным. Это является общей особенностью систем с несколькими степенями свободы, и эта особенность создает значительные трудности при динамическом исследовании таких систем. [c.126]

Для сопоставления динамических характеристик испытательных машин необходимо знать усилия, действующие в упругих элементах соответствующих колебательных систем. Эти усилия могут быть выражены в виде произведения жесткости соответствующих элементов на их абсолютную деформацию. Такой метод расчетного определения усилий достаточно точен, так как в рассматриваемых испытательных машинах скорость задаваемой деформации значительно ниже скорости распространения ее в материале образца и элементов машины, и возможность возникновения в образце и элементах машины волновых явлений фактически исключается. [c.39]

Подынтегральное выражение в (87.21) может быть далее преобразовано следующим образом. Величины У представляют собой предельные значения при - — оо скоростей частиц, имеющих при / = 0 скорости г,- и взаимное расстояние Г12 и образующих замкнутую систему. Вследствие этого величины К,- не зависят от времени, и функции Г1(У1, /) зависят от времени только посредством аргумента /. Это значит, что полная производная по времени от функции 1( ), /) совпадает с частной производной. С другой стороны, У и У2, вследствие динамических уравнений движения, являются однозначными функциями начальных условий, т. е. величин V], и2 и Г12. Поэтому, считая аргументы У[ и У2 выраженными через Нь Н2, Г12, имеем для разности полной и частной производной по времени от произведения Г](У1, )Х Х 1(К2, /) выражение [c.489]

В случае непрерывной среды локальные динамические переменные й (г) характеризуются непрерывным индексом г, поэтому величины типа дельта-функции (9.1.2), содержащие произведения по всем переменным, не являются вполне определенными. Для перехода к дискретному набору динамических переменных можно, например, воспользоваться следующим приемом [72, 166]. Разделим систему на малые кубические ячейки с объемом AV, положение центров которых в пространстве задается векторами г , где индекс с нумерует ячейки. Тогда можно ввести дискретный набор базисных динамических переменных [c.218]

Чтобы изучить силы взаимодействия частиц, возникающие вследствие их неравномерного движения, целесообразнее всего", как и при определении любых динамических реакций, воспользоваться принципом Даламбера. Следует мысленно остановить движущуюся систему и к каждой частице тела приложить дополнительную силу, равную произведению массы частицы на ее ускорение, взятое с обратным знаком. Эти условно вводимые силы называются силами инерции. [c.8]

Косое произведение динамических систем. Пусть М, Ж, (г) есть прямое произведение пространств с мерой МиЖг,111) и М2,Ж2,щ)- Рассмотрим автоморфизм Г1 пространства Мг и измеримое семейство автоморфизмов ГгСАгО пространства М2, измеримым образом зависящее от Х1 М1. Последнее означает, что для любой измеримой функции f xux2) функции п х1,Х2)=ЦТ Хи Т2 х1)х2) тнкже измеримы. Введем преобразование Г, действующее по рмуле Т х, х2)=-= (Г1, хь Т2 Х )Х2). Нетрудно проверить, что Г сохраняет меру [г. Автоморфизм Г называется косым произведением автоморфизма Г1 и семейства Г2(х1) . [c.30]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

П Ра. затем продолжаем на борелевскую сг-алгебру = 1 стандартным образом. Меры определяются аналогично. Меры /z и таким образом, по определению инвариантны относительно сдвига. Иногда меры-произведения называются бернуллиевскими мерами, и сдвиги, рассматриваемые как сохраняющие такую меру преобразования, часто называются бернуллиевскими сдвигами. Термин топологический бернуллиев-ский сдвиг для топологических динамических систем возник в результате имитации более распространенного термина, используемого в эргодической теории. Заметим, что, когда лишь одна компонента вектора р отлична от нуля, меры j, и fj. становятся атомарными, так что мы исключим этот случай. [c.166]

В заключение подчеркнем следующие два обстоятельства.. Во-первых, при выводе систем (1.3) и (1.4) условие конечномерности алгебры не накладывалось. Однако в отличие от конечномерного, в бесконечномерном случае интегрирование возникающих систем в конечном виде невозможно как будет показано в гл. V, решение задачи Гурса для них дается бесконечными формальными рядами, исследование сходимости которых, требует дополнительного рассмотрения с привлечением свойств алгебр типа конечности роста. Во-вторых, представление (1.1) применимо также и для суперсимметричных динамических систем, когда операторы вида (1.2) принимают значения в соответствующей супералгеб ре Ли = снабженной градуировкой (1.4.7). При этом в соответствии с (1.4.20) четным (нечетным) образующим подалгебры q( -) в скалярных произведениях сопоставляются функции z+, z с коммутирующими (антикоммутирующими) значениями. Как и в случае алгебр Ли системы уравнений, ассоциируемые с конечномерными супералгебрами Ли, интегрируемы в конечном виде, тогда как для бесконечномерных супералгебр Ли — в формальных рядах. [c.117]

Наоборот, операторы и и 17 двух динамических систем могут быть эквивалентны (о таких системах говорят, что они одного и того же спектрального типа) без того, чтобы эти системы были изоморфными (см. гл. 2, 12. Энтропия. См. также о косых произведениях Анзаи [1 в приложении 15). [c.30]

Хотя в нашем изложении траекторная теория выглядела чисто геометрически, имеется ее функционально-алгебраическая версия. Более того, она, как уже отмечалось, формировалась одновременно с геометрическим языком. Напомним, что измеримое разбиение описывается адекватно кольцом функций (из или Ь ), постоянных на элементах разбиения. Поэтому теория измеримых разбиений или о-подалгебр о-алгебры измеримых множеств есть теория подколец коммутативного кольца Ь". Поскольку траекторные разбиения в наиболее интересных случаях не являются измеримыми, то подобного эквивалента здесь нет Выход оказывается в том, чтобы рассматривать некоммутативные алгебры. Исторически это построение было впервые приведено в статье [99] в форме скрещенного произведения по действию группы и лишь гораздо позже было осознано, что это скрещенное произведение фактически зависит лишь от траекторного разбиения, а не от действия. Эта широко известная конструкция используется как для изучения С - и 1 -алгебр, факторов, представлений и построения примеров с помощью эргодической теории, так и наоборот, для изучения динамических систем, траекторных разбиений", слоений и др. с помощью алгебраических методов. Вот в чем она состоит. [c.105]

Современные ЭЦВМ позволяют выполнить исследования колебаний механической системы практически любой сложности. Но изменение структуры модели требует разработки новых алгоритмов и программ расчета, поэтому в последние годы уделяется большое внимание исследованию общих закономерностей колебания сложных механических систем, не зависящих от их конкретной структуры. Наиболее полно эти вопросы освещаются в литературе по акустике, в особенности в работах Е. Скучика [1]. При этом вместо принятых в литературе по механике понятий динамической жесткости, податливости и гармонических коэффициентов влияния применяется терминология, установившаяся для описания переходных процессов в электрических цепях импеданс, сопротивление, проводимость и т. ц. Это связано с использованием получившего широкое распространение в последние годы математического аппарата теории автоматического регулирования и, в частности, с рассмотрением задач в комплексной области. Переход в комплексную область позволяет свести динамическую задачу для линейной системы при гармоническом возбуждении к квазистатической с комплексными коэффициентами, зависящими от частоты. После определения комплексных амплитуд сил и перемещений у, действующие силы и перемещения выражаются действительными частями произведений и [c.7]

Ускоренное прогрессирующее разрушение стержневых систем в связи с влиянием сжимающих нормальных усилий изучалось, в частности, Девисом [107, 108]. Майер [164] предложил учесть изменение геометрии в основных теоремах о приспособляемости путем введения геометрического члена в уравнения равновесия. Последний определяется как произведение матрицы жесткости, соответствующей некоторой (принимаемой за начальную) конфигурации при нагружении, и вектора перемещений от дополнительной, изменяющейся во времени нагрузки. Несмотря на ограниченность данного подхода, он приводит к существенному усложнению задачи. К сожалению, какие-либо конкретные примеры его применения пока неизвестны. Предложенный Майером подход распространен Корради и Донато [98, 99] на динамические задачи теории приспособляемости в статической и кинематической формулировках. - [c.29]

Дуги схемы, соединяющие отдельные вершины, представляю1 собой в общем случае динамические каналы, по которым передаются изменения от одной вершины к другой в направлении, отмеченном у каждой дуги стрелкой. За счет как внутренних обратных связей, так и обратных связей, создаваемых систе-мами регулирования и управления, схемы причинно-следственных связей и.меют замкнутые контуры. Для упрощения анализа схемы может быть произведен разрыв всех имеющихся обратных связей в точках, откуда они ведут [c.227]

Теорема о главном моменте динамической неуравновешенности. Имеем нек-рую систему, состоящую из силы Р и момента Мперпендикулярных оси г (фиг. 2) перенося силу Р вдоль оси, для получения эквивалентной системы необходимо одновременно прикладывать моменты М , равные произведению Рх на расстояние переноса. [c.104]

В заключение мы рассмотрим класс гиперболических отталкивающих множеств, которые возникают для рациональных отображений сферы Римана ( 17.8). Эти множества называются множествами Жулна и несут в себе большую часть динамической сложности данного отображения. Они подобны универсальному отталкивающему множеству для отображений интервала ( 16.1). Однако топологическая структура этих множеств может существенно отличаться от простой марковской структуры в случае интервала. В частности, эти множества позволяют строить примеры систем, топологически отличных от всех предыдущих примеров, которые локально выглядели либо как канторовские множества, либо как многообразия, либо как их произведения. [c.533]

Автоморфизмом динамической системы на линейном фазовом пространстве называется линейное преобразование фазового пространства, сохраняющее данную систему Множество всех автоморфизмов динамической системы является группой с операцией произведения линейных преобразований. Данное представление группы автоморфизмов определяется динамической системой и при линейной замене координат преобразуется в эквивалентное. предг ставление. [c.239]

На основании принципа Даламбера движущуюся систему (или точку) можно в любой момент времени рассматривать как находя1цуюся в равновесии, если к действующим на систему (или точку) заданным силам и динамическим реакциям связей присоединить силы инерции. Сила инерции материальной точки равна произведению ее массы на ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...